2020-2021学年山东省济南市第一中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

济南市第一中学2020-2021学年度上学期期中试题

高二数学              

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1．直线的倾斜角(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】可得直线的斜率为，

由斜率和倾斜角的关系可得，

又∵

∴

2.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为(　　)

A.              B．2                 C.              D．2

D　解析：由题意可知，直线l的方程为y＝x，圆x2＋y2－4y＝0可化为x2＋(y－2)2＝4，所以圆心坐标为(0，2)，半径R＝2.圆心(0，2)到直线x－y＝0的距离d＝＝1，所以弦长l＝2＝2.

3．在四面体中，为中点，，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

运用空间向量基本定理及向量的线性运算可解答此问题．

【详解】

解：根据题意得，，

，，

故选：．

【点睛】

本题考查空间向量基本定理的简单应用以及向量的线性运算，属于基础题．

4．设椭圆的离心率为,焦点在轴上且长轴长为26,若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线的标准方程为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为椭圆焦点在轴上且长轴长为26，所以，又因为椭圆的离心率为，

所以，因为曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，

所以，所以曲线的标准方程为.

故选：A

5. 万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（    ）cm

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意先求大椭圆离心率为，根据两个椭圆的离心率相同，小椭圆的离心率为，再根据小椭圆的短轴长为10cm，代入公式即可得解.

【详解】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，

由大椭圆长轴长为40cm，短轴长为20cm，

可得焦距长为cm，故离心率为，

所以小椭圆离心率为，

小椭圆的短轴长为10cm，即cm，

由，可得：cm，

所以长轴为cm.

故选：B.

6．设，向量且，则（    ）

A． B． C．3 D．4

【答案】C

【解析】，

，

，

7. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为渐近线方程为，

所以.故选：A

8、. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,

因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.

9.已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

根据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，

则A、B在直线的异侧或在直线上，

则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，

即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，

即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．

故选C．

10．正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的正弦为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】以点P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则，

，

设平面PEF的法向量，

则，取得，

设平面与平面所成角为，则

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

11．圆和圆的交点为A，B，则有（    ）

A．公共弦AB所在直线方程为

B．线段AB中垂线方程为

C．公共弦AB的长为

D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为

【答案】ABD

【解析】对于A，由圆与圆的交点为A，B，

两式作差可得，即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；对于B，圆的圆心为，，则线段AB中垂线斜率为，即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；对于C，圆，圆心到的距离为，半径， 所以，故C不正确；对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.故选：ABD

12．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（    ）

A．的方程为 B．的离心率为

C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点

【答案】AC

【解析】对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；

对于选项B：由双曲线方程可知，，，从而离心率为，所以B选项错误；

对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确；

对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误.

13．如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（    ）

A．三棱锥的体积为定值

B．异面直线与所成的角为

C．平面

D．直线与平面所成的角为

【答案】AD

【解析】解：对于A，

故三棱锥的体积为定值，故A正确

对于B， ，和所成的角为，异面直线与所成的角为，故B错误

对于C， 若平面，则直线，即异面直线与所成的角为，故C错误

对于D，以为坐标原点，分布以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，

设平面的法向量为则

，即

令，则

所以直线与平面所成的角为，正确

14.已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（    ）

A．的最大值为 B．的最大值为

C．的最大值为 D．的最大值为

【答案】CD

【解析】对于A，设，则，表示直线的纵截距，当直线与圆有公共点时，，解得，所以的最大值为，故A说法正确；

对于B，的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为，所以的最大值为，故B说法正确；

对于C，设，把代入圆方程得，则，解得，最大值为，故C说法错误；

对于D，设，则，表示直线的纵截距，当直线与圆有公共点时，，解得，所以的最大值为，故D说法错误.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

15. 双曲线的其中一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为_______

【答案】

【解析】

【分析】

由双曲线的渐近线方程可得，再由焦点到渐近线的距离为可得，即可得答案；

详解】由题意得：，

双曲线的方程为，

故答案为：.

16．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为棱上的一点，且，则点G到平面的距离为_________．

【答案】

【解析】以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，，

所以，，，

设平面的法向量为，则

令，则，

所以平面的一个法向量．

点到平面的距离为，

17．若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________．

【答案】(1,2]

【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.

18．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________________________．

18.(x－1)2＋(y＋1)2＝2 解析：所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，

所以设所求圆的圆心为(a，－a)．

又因为所求圆与直线x－y＝0相切，

所以半径r＝22|a|＝|a|.

又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，

圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝2|2a－3|，

所以d2＋26＝r2，即2（2a－3）2＋23＝2a2，

解得a＝1，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（本小题10分）若直线的方程为.

（1）若直线与直线垂直，求的值；

（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.

【解析】

解：（1）直线与直线垂直，

，解得．

（2）当时，直线化为：．不满足题意．

当时，可得直线与坐标轴的交点，．

直线在两轴上的截距相等，，解得：．

该直线的方程为：，．

20.（本小题10分）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.

【解析】（1）设所求双曲线方程为

代入点得，即

所以双曲线方程为，即.

（2）.直线的方程为.设

联立得  满足

由弦长公式得

点到直线的距离.

所以

21.（本小题12分）

在直角坐标系中，已知圆与直线相切，

（1）求实数的值；

（2）过点的直线与圆交于､两点，如果，求.

【解析】解:（1）圆的方程可化为，

圆心，半径，其中，

因为圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径，

即，解得；

（2）当直线斜率不存在时，其方程为，

此时圆心到直线的距离，

由垂径定理，，不合题意；

故直线斜率存在，设其方程为，

即，

圆心到直线的距离，

由垂径定理，，即，

解得，

故直线的方程为，

代入圆的方程，整理得，

解得，，

于是，，这里，)，

所以.

22.（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且.

；

（2）求点到平面的距离；

（3）二面角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为

所以平面

（2）解1：过做于，平面，

所以，所以平面，

为点到平面的距离，

在中，，

又是中点，所以点到平面的距离为．

解2：因为，平面，所以，

在中，，所以，

设点到平面的距离为，则，

由，得，所以．

又是中点，所以点到平面的距离为．

（2）解法二：分别以，，所在直线为轴，轴，

轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

设，则，

所以，

由，知，

所以，为中点，

所以，．，，

设平面的法向量为，

由，得，

所以，取，得，

所以是平面的一个法向量．

所以点到平面的距离为

(3)

23. （本小题14分）已知椭圆左、右焦点为、，，若圆方程，且圆心满足.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于两点，过与垂直的直线交圆于两点，为线段中点，求的面积的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用椭圆的焦点坐标以及圆心满足求得椭圆的标准方程；

（2）若的斜率不存在，则与轴重合，则过圆心，点与点重合，可求出的面积；的斜率存在时，设，与椭圆方程联立，分别求出弦长和点到的距离，代入面积公式中，利用的范围求出的面积的取值范围．

【详解】（1）由题意可知：，，

，故，

从而，，椭圆的方程为

（2）①若的斜率不存在，则与轴重合，则过圆心，点与点重合，

此时

②的斜率存在时，设，设，，

由，消，得，

，，，

，直线与椭圆相交，故，即

，为线段中点，，

又，，，又点到的距离，

令，则，

令，在单调递减，故

综上，