2020-2021学年湖北省鄂州市部分高中联考协作体高二上学期期中考试数学试题 Word版

湖北省鄂州市部分高中联考协作体2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷

考试时间：2020年11月20日上午8：00---10：00    满分：150分

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 下列四面体中，直线EF与MN可能平行的是 

A.  B.
C.  D.

2. 若异面直线分别在平面内，且，则直线  

A. 与直线都相交
B. 至少与中的一条相交
C. 至多与中的一条相交
D. 与中的一条相交，另一条平行

3. 在一组样本数据中，1，4，m，n出现的频率分别为，，，，且样本平均值为，则

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

4. 已知数列满足：，设数列的前项和为，则    

A. 1007 B. 1008 C.  D. 1010

5. 正方体的棱长为4，E，F为，的中点，点P是面ABCD上一动点，，则FP的最小值为

A.  B.  C.  D. 5

6. 若无穷等差数列的首项，公差，的前n项和为，则

A. 单调递减 B. 单调递增 C. 有最大值 D. 有最小值

7. 设m，n为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，给出下列命题：

若，，则  若，，，，则

若，，则    若，，，则．
其中所有正确命题的序号是   

A.  B.  C.  D.

8. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离为

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9. ，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
   其中正确的命题有   

A. 如果，，，那么．
B. 如果，，那么．
C. 如果，，那么．
D. 如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等．

10. 在数列中，如果对任意都有为常数，则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是

A. 等差数列一定是等差比数列
B. 等差比数列的公差比一定不为0
C. 若，则数列是等差比数列
D. 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比

11. 下列命题中是真命题的有

A. 有A，B，C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30
B. 一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同
C. 若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲
D. 某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间内的频率为

12. 如图，正方体的棱长为a，线段上有两个动点E，F，且，以下结论正确的有
    A.
    B. 点A到平面BEF的距离为定值
    C. 三棱锥的体积是正方体体积的
    D. 异面直线AE，BF所成的角为定值

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 我国古代数学家杨辉、宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列，的前3项和______．
14. 某公司共有3个部门，第1个部门男员工60人、女员工40人，第2个部门男员工150人、女员工200人，第3个部门男员工240人、女员工160人．若按性别用分层抽样的方法从这3个部门选取51人参加公司年会表演节目，则应选取的女员工的人数为______．
15. 过点，，且圆心在直线上的圆的半径为______．
16. 若直线l：与曲线C：有两个不同的交点，则实数k的取值范围是____________．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 如图，在三棱柱中，，，设O为与的交点，点P为BC的中点．求证：
    平面；

平面平面OCP．

18. 如图，在矩形ABCD中，，，E，F分别为边AB，AD的中点．现将沿DE折起，得四棱锥．
    求证：平面ABC；

若平面平面BCDE，求四面体FDCE的体积．

19. 如图，在直三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，O，M分别为BC，的中点．
    证明：平面．

若四边形是面积为4的正方形，求点M到平面的距离．

20. 某校从高一新生开学摸底测试成绩中随机抽取100人的成绩，按成绩分组并得各组频数如下单位：分：，4；，6；，20；，30；，24；，16．

列出频率分布表；

画出频率分布直方图；
估计本次考试成绩的中位数精确到．
 

21. 已知数列的前n项和为，．

若，求数列的通项公式；

若数列是等差数列，，数列的前n项和为，是否存在，使得？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，请说明理由．

22. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，．
    
    证明：平面平面ABCD；
    若，，求二面角的余弦值．
     

2020秋季鄂州市部分高中联考协作体期中考试

高二数学答案

【答案】

1. C 2. B 3. A 4. D 5. A 6. C 7. D
8. C 9. BCD 10. BCD 11. BD 12. ABC 

13. 10  

14. 24  

15.   

16.   

17. 解：因为在平行四边形中，O为与的交点，
所以O为的中点．

又因为点P为BC的中点，
所以B.-----------------------------------------------------3分

又平面，平面，
所以平面．-------------------------5分

由知，又，
所以，

在平行四边形中，，
所以四边形为菱形，所以，

又OP，平面OCP，且，
所以平面OCP，-------------------------8分

又平面，
所以平面平面OCP．-------------------10分

18. 证明：取线段AC的中点记为M，连接MF、MB，
为AD的中点，
，且，
在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，
，且，
，且，
四边形BEFM为平行四边形，
．--------------------------------------------4分
又因为平面ABC，平面ABC，
平面ABC；---------------------------------------6分
在折叠前，四边形ABCD为矩形，，，E为AB的中点，
、都是等腰直角三角形，且，
，且，
又，
，即，
又因为平面平面BCDE，
平面平面，平面BCDE，
平面ADE，即CE为三棱锥的高，---------------------10分
为AD的中点，
，
四面体FDCE的体积为：．-------12分  

19. 解：证明：如图，

连接，交于点N，连接，ON，则N为的中点． 
因为O为BC的中点，所以，且， 
又 ，，
所以为平行四边形，即，
因为平面，所以平面；-------------------4分
解：因为四边形是面积为4的正方形，
所以 
连接AO，因为，O为BC的中点，所以 
因为三棱柱是直三棱柱，所以， 
又，所以平面C. 
由可知，
所以点M到平面的距离等价于点O到平面的距离，-------8分
设点O到平面的距离为h，
在中，，，，
所以，从而，
所以，
又因为，
所以，
所以点M到平面的距离为．  -----------------------------------------12分

20. 解：由题意列出频率分布表如下：------4分

画出频率分布直方图，如下：------------8分

由频率分布直方图得：
的频率为：，的频率为，
估计本次考试成绩的中位数为：
．  ------------------------12分

21. 解：当时，．

当时，；------------------2分

当时，．

经检验，不符合上式，

故数列的通项公式------------4分

当时，；

当时，．

因为数列是等差数列，
所以，解得，

因为，．

则，-------------------8分

故

所以

．

令，整理得，所以，

故存在满足题意．-------------------------------------------12分

22. 解：证明：过点A作BC的垂线交BC于点G，

因为，，
所以，则，，
四边形ABCD为等腰梯形，且，
易知，
所以，即，--------------------------3分
因为，，PB，平面PAB，
所以平面PAB，
因为平面ABCD，
所以平面平面ABCD；-----------------------------6分
因为，，，
则，所以，
由知平面平面ABCD，平面平面，平面PAB，
平面ABCD，
又平面PBC，
平面平面ABCD，
过点D作于E，

又平面平面，平面ABCD，
则平面PBC，
过E作交PC于F，连接DF，
平面PBC，平面PBC，
故DE，
又，，DE，平面DEF，
故平面DEF，
有平面DEF，则，
则为所求二面角的平面角，--------------------------10分
在梯形ABCD中，求得，
在中，求得，
在中，求得，
在中，求得，
故二面角的余弦值为．  ----------------------------=12分