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2022届新高考高三上学期期初考试数学试卷分类汇编:新高考新题型汇总
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新高考新题型集中练
说明:2022届高三新高考期初考试题目选自新高考地区,如江苏、山东、河北、湖南、湖北等。
一、新情景题(文化题):
1.(2022·南京9月学情【零模】)取一条长度为1的线段,将它三等分,去掉中间一段,留剩下的两段分割三等分,各去掉中间一段,留剩下的更短的四段;……;将这样的操作一直继续下去,直至无穷,由于在不断分割舍弃过程中,所形成的线段数目越来越多,长度越来越小,在极限的情况下,得到一个离散的点集,称为康托尔三分集.若在第n次操作中去掉的线段长度之和不小于,则n的最大值为
(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】C
【考点】新情景问题下的指对数运算
【解析】由题意可知,第一次操作去掉的线段长度为,第二次操作去掉的线段长度之和为×,第三次操作去掉的线段长度之和为××,…,第n次操作去掉的线段长度之和×,根据条件可知,×≥,化简得≥,两边取常用对数得,≥-lg30=-lg(10×3)=-1-lg3,则n(lg2-lg3)≥-1-lg3,即n≤≈8.39,所以n的最大值为8,故答案选C.
2.(2022·南京9月学情【零模】)如图1所示,抛物面天线是指由抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面)反射器和位于其焦点上的照射器(馈源,通常采用喇叭天线)组成的单反射面型天线,广泛应用于微波和卫星通讯等,具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面,A,B两点关于抛物线的对称轴对称,F是抛物线的焦点,∠AFB是馈源的方向角,记为θ.焦点F到顶点的距离f与口径d的比值为抛物面天线的焦径比,它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线的焦径比等于0.5,那么馈源方向角θ的正切值为 ▲ .
抛物线
d
馈源
f
F
θ
B
图1 图2
【答案】-
【考点】新情景问题下的抛物线的几何性质应用、三角恒等变换
【解析】由题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则f=,因为=0.5,所以d=p,可得到A(,),B(,-),则直线BF的斜率为k==,所以tan=,所以tanθ===-.
y
A
x
O
θ
F
B
3.(2022·江苏第一次百校联考)陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体,是中国民间最早的娱乐工具之一.传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形,玩法是用鞭子抽.中国是陀螺的老家,从中国山西夏县新石器时代的遗址中就发掘了石制的陀螺.如图,一个倒置的陀螺,上半部分为圆锥,下半部分为同底圆柱.其中总高度为8cm,圆柱部分高度为6cm,已知该陀螺由密度为0.7g/cm2的木质材料做成,其总质量为70g,则最接近此陀螺圆柱底面半径的长度为
A.2.0cm B.2.2cm
C.2.4cm D.2.6cm
【答案】B
【考点】新情景问题下的几何体的体积计算
【解析】由题意可求得该陀螺的总体积为=100cm3,设底面半径为r.则可得,解得≈2.2cm,故答案选B.
4.(2022·江苏第一次百校联考)《中国制造2025》提出,坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,通过“三步走”实现制造强国的战略目标:第一步,到2025年迈入制造强国行列;第二步,到2035年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平;第三步,到新中国成立一百年时,综合实力进入世界制造强国前列.今年,尽管受新冠疫情影响,但我国制造业在高科技领城仍显示出强劲的发展势头.某市质检部门对某新产品的某项质量指标随机抽取100件检测,由检测结果得到如图所示的频率分布直方图.
由频率分布直方图可以认为,该产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.设X表示从该种产品中随机抽取10件,其质量指标值位于(11.6,35.4)的件数,则X的数学期望= ▲ .(精确到0.01)
注:①同一组数据用该区间的中点值作代表,计算得样本标准差S≈11.9;②若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.
【答案】6.83
【考点】正态分布的应用
【解析】由题意可知,计算得=5×0.15+15×0.25+25×0.3+35×0.2+45×0.1=23.5.由条件Z~N(23.5,11.92).从而P(11.6<Z<35.4)=0.6826,故从该种产品中随机抽取1件,其质量指标值位于(11.6,35.4)的概率是0.6826,根据题意得X~B(10,0.6826)所以E(X)=10×0.6826=6.826.
5.(2022·沭阳如东中学期初考试)在数学课外活动中,小明同学进行了糖块溶于水的试验,将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中,测量不同时刻未溶解糖块的质量,得到若干组数据,其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克,同时小明发现可以用指数型函数k为常数)来描述以上糖块的溶解过程,其中S(单位:克)代表1分钟末未溶解糖块的质量,则k=
A.ln2 B.ln3 C. D.
【答案】C
【考点】新情景问题下的指对数的运算
【解析】由题意可知,当t=0时,S=a=7,且3.5=7e,解得k=,故答案选C.
6.(2022·泰州中学期初考试)《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺”,则从第2天起每天比前一天多织( )
A.尺布 B.尺布 C.尺布 D.尺布
【答案】D
【解析】设该女子第天织尺布,前天工织布尺,
则数列为等差数列,设其公差为,
由题意可得,解得.
故选:D.
7.(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)7.在用计算机处理灰度图像(即俗称的黑白照片)时,将灰度分为256个等级,最暗的黑色用0表示,最亮的白色用255表示,中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示,这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时,为了增强较黑部分的对比度,可对图像上每个像素的灰度值进行转换,扩展低灰度级,压缩高灰度级,实现如下图所示的效果:
处理前 处理后
则下列可以实现该功能的一种函数图象是
【答案】A
【考点】新情景问题下的函数的图象问题
【解析】由题意,灰度处理从较黑的图象到较黑的图象,灰度值需要从0到255,且扩展低灰度级,压缩高灰度级,则只有选项A满足,故答案选A.
8.(2022·青岛期初考试)《算法统宗》是中国古代数学名著,在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,这位公公最年幼的儿子的岁数为
A.8 B.11 C.14 D.16
【答案】B
【考点】文化题:新情景问题下的等差数列的应用
【解析】由题意可知,这位公公9个儿子的年龄从小到大构成等差数列,则可设年龄最小的儿子年龄为a1,则公差为d=3,由题意,+36×3=207,求得a1=11,即这位公公最年幼的儿子的岁数为11,故答案选B.
9.(2022·江苏如皋期初考试)万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会
开幕式. 在手工课上,老师带领同学们
一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其
俯视图可近似看成是两个大小不同,扁平
程度相同的椭圆,已知大椭圆的长轴长为40cm,
短轴长为20cm,小椭圆的短轴长为10cm,则小椭圆的长轴长为( )cm
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】新情景问题下的圆锥曲线中椭圆的几何性质应用
【考点】新情景问题下的圆锥曲线中椭圆的几何性质应用
【解析】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同,可得两椭圆的离心率相同,由大椭圆长轴长为40cm,短轴长为20cm,可得焦距长为cm,故离心率为,所以小椭圆离心率为,小椭圆的短轴长为10cm,即2b=10cm,由,可得:a=10cm,所以长轴为20cm.故答案选B.
10.(2022·湖南省长郡中学开学考试)饕餮(tāo tiè)纹,青铜器上常见的花纹之一,盛行于商代至西周早期,最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上,如图所示,每个小方格的边长为1,有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度,且向右或向下跳是等可能性的,那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为( )
A. B. C. D.
【解答】解:点P从A点出发,每次向右或向下跳一个单位长度,则有(右,右,右),(右,右,下),(右,下,右),(下,右,右),(右,下,下),(下,右,下),(下,下,右),(下,下,下),共8种不同的跳法(线路),符合题意的只有(下,下,右)这1种,所以3次跳动后,恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为P=.故选:B.
11.(2022·湖南省雅礼中学开学考试)某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种植在点处,其中当k≥2时,
T(a)表示非负实数a的整数部分,例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案,
(i)第6棵树种植点的坐标应为_______;
(ii)第2008棵树种植点的坐标应为______.
【答案】(1,2);(3,402)
【考点】双空题:新情景问题下的数列问题
【解析】法一:由题意,)组成的数列为:*,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1…(k=1,2,3,4,…),一一代入计算得,数列为:1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5…,数列{}为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…,因此,第6棵树种在(1,2),第2008棵树种在(3,402).
法二:由递推公式依次计算得各棵树的坐标如下:
(1,2),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),
(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),
(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),
⋮
第6棵树的坐标为(1,2).
我们发现:若将每五棵树分成一组,则各组树坐标的纵坐标均相同(分别为1,2,3,…,且与组的序号相同),横坐标分别为1,2,3,4,5.因401.6,所以2008在第402组的第3个数位置,因此其坐标为(3,402).
12.(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)2018年5月至2019年春,在阿拉伯半岛和伊朗西南部,沙漠蚂虫迅速繁衍,呈现几何式的爆发,仅仅几个月,蝗虫数量增长了8000倍,引发了蝗灾,到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦,假设蝗虫的日增长率为5%,最初有只,则经过____________天能达到最初的16000倍(参考数据:,.
【答案】199
【解析】
【分析】设过天能达到最初的16000倍,得到方程,结合对数的运算性质,即可求解.
【详解】设过天能达到最初的16000倍,
由已知,解得,
又因为,所以过199天能达到最初的16000倍.
故答案为:199.
二、图表信息题:
1.(2022·南京9月学情【零模】)(多选题)房地产市场与城市经济发展密切相关,更与百姓的生活密切相关.按照房地产市场经济理论,房屋销售量与房价有密切关系.下图是某城市过去一年中七个楼盘的新房成交均价与成交面积折线图,则下列结论中正确的是
421
389
400
500
300
197
240
200
120.0
95.5
112
100
88.8
56.0
51.2
75.0
64.3
80
11
楼盘7
楼盘6
楼盘5
楼盘4
楼盘3
楼盘2
楼盘1
0
---成交面积(百平方米)
——成交均价(百元/平方米)
某市七个楼盘全年成交均价与成交面积折线图
A.这七个楼盘中,每个楼盘的成交均价都在[88.8,120.0]内
B.这七个楼盘中,楼盘2的成交总额最大
C.这七个楼盘,成交面积的平均值低于200
D.这七个楼盘,成交面积与成交均价呈负相关
【答案】BD
【考点】图表信息题:信息的筛选与处理
【解析】由题意,对于选项A,七个楼盘楼盘2、3、4、5的成交均价低于88.8,故选项A错误;
对于选项B,楼盘1的成交总额为112×88.8=9945.6,楼盘2的成交总额为389×56=21784,楼盘3的成交总额为421×51.2=21555.2,楼盘4的成交总额为240×75=18000,楼盘5的成交总额为197×64.3=10086.4,楼盘6的成交总额为80×95.5=7640,楼盘7的成交总额为120×11=1320,则楼盘2的成交总额最大,故选项B正确;
对于选项C,成交面积的平均值为(112+389+421+240+197+80+11)=>200,故选项C错误;
对于选项D,七个楼盘整体均价越低,成交面积越大,即为呈负相关,故选项D正确;
综上,答案选BD.
2.(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)(多选题)10.某公司经营四种产业,为应对市场变化,在三年前进行产业结构调整,优化后的产业结构使公司总利润不断增长,今年总利润比三年前增加一倍.调整前后的各产业利润与总利润的占比如下图所示:
调整前 调整后
则下列结论中正确的有
A.调整后房地产业的利润有所下降
B.调整后医疗器械的利润增长量最大
C.调整后生物制药的利润增长率最高
D.调整后金融产业的利润占比最低
【答案】BCD
【考点】信息图表题:信息的筛选与处理
【解析】由题意可设三年前的年收入为a,由今年总利润比三年前增加一倍可得,今年总利润为3a,则三年前的房地产业利润为0.45a,今年房地产业利润为3a×25%=0.75a>0.45a,即调整后房地产业的利润有所上升,故选项A错误;
三年前的医疗器械利润为0.2a,今年医疗器械利润为3a×40%=1.2a,利润增长量为1.2a-0.2a=a,利润增长率为=500%,
三年前的房地产业利润为0.45a,今年房地产业利润为3a×25%=0.75a,利润增长量为0.75a-0.45a=0.3a,利润增长率为=66.7%,
三年前的金融产业利润为0.25a,今年金融产业利润为3a×10%=0.3a,利润增长量为0.3a-0.25a=0.05a,利润增长率为=20%,
三年前的生物制药利润为0.1a,今年生物制药利润为3a×25%=0.75a,利润增长量为0.75a-0.1a=0.65a,利润增长率为=650%,
则调整后医疗器械的利润增长量最大,调整后生物制药的利润增长率最高,故选项B,C正确;由图可知,调整后金融产业的利润占比为10%,最低,故选项D正确;综上,答案选BCD.
3.(2022·湖南省长郡中学开学考试)(多选题)2020年两会“部长通道”工信部部长表示,中国每周大概增加1万多个5G基站,4月份增加5G用户700多万人,5G通信将成为社会发展的关键动力,图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图.则( )
A.2022年我国5G用户规模年增长率最高
B.2022年我国5G用户规模年增长户数最多
C.从2020年到2026年,我国的5G用户规模增长两年后,其年增长率逐年下降
D.这十年我国的5G用户数规模,后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差
【解答】解:根据柱状图得知:
对于选项A:从2021年的7085.4万人经过一年时间增长到27583.5万人.增长率是最快的,故选项A正确;
对于选项B:2024年到2025年的我国的5G用户规模的增长的户数最多,故选项B错误;
对于选项C:从2020年到2026年,我国的5G用户规模增长两年后,其年增长率逐年下降,故选项C正确;
对于选项D:这十年我国的5G用户数规模,后5年的平均数与方差都分别小于前5年的平均数与方差,故选项D错误.
故选:AC.
三、逻辑推理题
1.(2022·江苏海安中学期初)已知幂函数f(x)的图象为曲线C,在命题:①f(x)为偶函数;②曲线C不过原点O;③曲线C在第一象限呈上升趋势;④当x≥1时,f(x)≥1中,只有一个假命题,则该命题是
A.① B.② C.③ D.④
【答案】B
【考点】逻辑推理题:幂函数的性质应用
【解析】由题意可知,由②可知a<0,且由④可知a>0,则两者矛盾,即②、④中只有一项正确,则①③一定正确,而③曲线C在第一象限呈上升趋势,则a>0,则综合可得命题是②,故答案选B.
2.(2022·沭阳如东中学期初考试)已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断,有下列四个命题:
甲:f(x)是奇函数; 乙:f(x)的图象关于直线x=1对称;
丙:f(x)在区间[-1,1]上单调递减; 丁:函数f(x)的周期为2.
如果只有一个假命题,则该命题是
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】D
【考点】逻辑推理题:函数的性质综合应用
【解析】由函数f(x)的特征可知:函数在区间[-1,1]上单调递减,其中该区间的宽度为2,所以函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,与函数f(x)的周期为2互相矛盾,即:丙和丁中有一个为假命题,若甲乙成立,故f(-x)=-f(x),则f(x+1)=f(1-x),故f(x+2)=f[1-(1+x)]=f(-x)=-f(x),故f(x+4)=f(x),所以函数的周期为4,即丁为假命题,由于只有一个假命题,故答案选D.
三、开放性试题:
1.(2022·南京9月学情【零模】)将函数y=cosx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象与y=sinx的图象重合,则φ的一个可能的值为 ▲ .(写出一个正确答案即可)
【答案】(2kπ+,k∈N,写对一个即可)
【考点】开放性试题:三角函数的图象与性质应用
【解析】由题意,cos(x-φ)=cos(φ-x)=sinx=cos(-x),则φ=2kπ+,k∈N,所以φ=可满足题意.
2.(2022·江苏海安中学期初)已知函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)f(y),且当x>y时,f(x)>f(y),请你写出符合上述条件的一个函数f(x)= ▲ .
【答案】2x
【考点】开放性试题:抽象函数的性质应用
【解析】由题意可知,当f(x)=2x,则f(x+y)=2,f(x)f(y)=2x×2y=2=f(x+y),且函数f(x)单调递增,则满足题意.
3.(2022·泰州中学期初考试)在数列中,,,则______,对所有恒成立,则的取值范围是______.
【答案】 .
【详解】
解:由于,
所以当时,有,
两式相减可得,即当时,,当时,求得,即也符合该递推关系,所以.
由于,令,
由于,当时,,当单调递增,当单调递减,所以,故数列最大项为,
即.
故答案为:;.
4.(2022·河北衡水一中一调)若集合A={x|x>2}, B={x|bx>1},其中b为实数.
(1)若A是B的充要条件,则b= ;
(2)若A是B的充分不必要条件,则b的取值范围是: ;(答案不唯一,写出一个即可)
【答案】;(,+¥)(答案不唯一)
【考点】双空题:利用充分不必要条件求参数的值或范围
四、双空题:
1.(2022·南京9月学情【零模】)已知(1+x)n(n∈N*)的展开式中x2的系数是7,则n= ▲ ;若xr与(r∈N)的系数相等,则r= ▲ .
【答案】8;2
【考点】双空题:二项式定理展开式的应用
【解析】由题意,展开式的通式为(x)r,当r=2时,x2的系数为()2=7,即化简得n(n-1)=56,解得n=8;因为xr与(r∈N)的系数相等,所以()r=(),可化为2=,即2=,可化为=,解得r=2.
2.(2022·江苏第一次百校联考)已知定义在[0,1]上的函数f(x),对于任意x1,x2∈[0,1],当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),又f(x)满足f(0)=0,f(1-x)+f(x)=1,f()=f(x),则f()= ▲ ,f()= ▲ .(本题第一空2分,第二空3分)
【答案】;
【考点】函数的性质综合应用
【解析】由题意,令x=,则f()+f(1-)=1,即f()=,又f(0)=0,所以由f(0)+f(1)=1,可得f(1)=1,令x=,则f()+f(1)=,所以f()=;因为对于任意x1,x2∈[0,1],当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),且<<,所以<<,所以=f()≤f()≤f()=.
3.(2022·江苏海安中学期初)若点A(-1,0),B(1,0),P满足,则点P的轨迹C的方程为= ▲ ,设M,N是轨迹C与x轴的两个交点,则△PMN面积的最大值为 ▲ .
【答案】;
【考点】双空题:解析几何的轨迹方程、面积的最值问题
【解析】由题意可设P(x,y),则=
=
===,所以(x2+y2)2-2(x2-y2)+1=,所以(x2+y2)2-2(x2-y2)=;上式中,令y=0,解得x2=,所以x=±,则M(-,0),N(,0),则MN=3,所以(x2+y2)2-2(x2-y2)=可化为(y2+x2+1)2=+4x2,所以y2=-(x2+1),可令=t(t>),则y2=t-(t2+)=-t2+t-=-(t-2)2+,则y2max=,所以|y|max=,所以(S△PMN)max=×3×=.
4.(2022·河北衡水一中一调)若集合A={x|x>2}, B={x|bx>1},其中b为实数.
(1)若A是B的充要条件,则b= ;
(2)若A是B的充分不必要条件,则b的取值范围是: ;(答案不唯一,写出一个即可)
【答案】;(,+¥)(答案不唯一)
【考点】双空题:利用充分不必要条件求参数的值或范围
五、结构不良题:
1.(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分12分)
请在①·=2;②sinB=;③a+b=5这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin(A-C)+sinB=sinA,c=2, ▲ ,若该三角形存在,求该三角形的面积;若该三角形不存在,请说明理由.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【考点】结构不良题:解三角形与三角恒等变换综合应用
【解析】
在△ABC中,A+B+C=π,所以sinB=sin(A+C).
因为sin(A-C)+sinB=sinA,所以sin(A-C)+sin(A+C)=sinA,
即2sinAcosC=sinA.………………………………………………………………3分
因为sinA≠0,所以cosC=.
因为C∈(0,π),所以C=.………………………………………………………5分
若选择①:
因为·==bccosA=2,c=2,
由余弦定理得cosA=,所以b2+4-a2=4,故a=b.………………8分
又因为C=,所以△ABC是边长为2的等边三角形.…………………………10分
因此△ABC的面积.……………………………12分
若选择②:
因为C=,所以.又因为sinB=,
由正弦定理,得.……………………………………7分
因为c2=,
即,
解得或.…………………………………………………………………………10分
因此△ABC的面积或.…………………………………………12分
若选择③:
因为a+b=5,所以.
因为C=,c=2,所以由余弦定理得,……………………………………8分
所以,ab=7.……………………………………………………………………10分
这与矛盾,
故该三角形不存在.…………………………………………………………………………12分
2.(2022·江苏第一次百校联考)(本题满分12分)
现有下列三个条件:
①函数f(x)的最小正周期为π;
②函数f(x)的图象可以由y=sinx-cosx的图象平移得到;
③函数f(x)的图象相邻两条对称轴之问的距离.
从中任选一个条件补充在下面的问题中,并作出正确解答.
已知向量,1),ω>0,函数f(x)=m·n.
且满足_________.
(1)求f(x)的表达式,并求方程f(x)=1在闭区间[0,π]上的解;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知()=2,求
cosA的值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【考点】结构不良题:三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三角形应用
【解析】
(1)因为,1),
所以ωx=.……3分
若满足条件①,所以ω=1,故. …………4分
因为无法由y=sinx-cosx的图象经过平移得到的图象,因此不能选②. …………4分
若满足条件③:因为,所以,故ω=1,即.
综上,无论选条件①或③,所求. …………4分
因为x∈[0,π],所以.
又,所以,
所以或或,即x=0或或x=π.
所以方程f(x)=1在闭区间[0,π]上的解为x=0或或x=π. …………6分
(2)由(1)知,
所以,即,
因为C∈(0,π),所以. …………7分
又(3a-c)cosB=bcosC,由正弦定理,
得(3sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
整理得3sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA.
因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosB=. …………10分
又B∈(0,π).得,
所以cosA=cos[π-(B+C)]=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC
. …………12分
3.(2022·青岛期初考试)(10分)
在①2bsinA=atanB,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面横线上,并解答.
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且________.
(1)求角B的大小;
(2)若b=2,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【考点】结构不良题:解三角形与三角恒等变换
【解析】
(1)选择条件①:
因为2bsinA=atanB,
所以由正弦定理可得2sinBsinA=sinAtanB,
所以,
因为A,B∈(0,π),所以sinAsinB>0,
所以,
因为B∈(0,π),所以B=;
选择条件②:
因为,整理得,
所以由余弦定理得
=,
因为B∈(0,π),所以;
选择条件③:
因为,所以,
,
因为B∈(0,π),,
所以;
(2)因为B=,所以△ABC的面积,
所以ac=2,
因为b=2,所以由余弦定理得:
=a2+c2,
所以,
所以△ABC的周长为.
4.(2022·湖南省长郡中学开学考试)在①数列{an}为等差数列,且a3+a7=18;②数列{an}为等比数列,且a2a6=64,a2a3<0;③Sn﹣1=an﹣1(n≥2)这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并加以解答.
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,______.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在正整数k∈{8,9,10},使Sk>512,若存在,求出相应的正整数k的值;若不存在,请说明理由.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【解答】解:选择条件①.(1)因为数列{an}为等差数列,且a3+a7=18,a1=1,
可得2a1+8d=18,即2+8d=18,解得d=2,
则an=1+2(n﹣1)=2n﹣1;
(2)由(1)可得Sn=n(1+2n﹣1)=n2,
当n=8时,Sn=64<512,当n=9时,Sn=81<512,当n=10时,Sn=100<512,
所以不存在正整数k∈{8,9,10},使得Sk>512.
选择条件②.(1)数列{an}为等比数列,设公比为q,且a2a6=64,a2a3<0,a1=1,
可得a1q•a1q5=64,a12q3<0,解得q=﹣2(2舍去),
则an=a1qn﹣1=(﹣2)n﹣1;
(2)Sn==[1﹣(﹣2)n],
当n=8时,Sn=<0<512,当n=9时,Sn==271<512,
当n=10时,Sn=<0<512,
所以不存在正整数k∈{8,9,10},使得Sk>512.
选择条件③.(1)Sn﹣1=an﹣1(n≥2),可得S1=a2﹣1=a1=1,即a2=2,
当n≥3时,Sn﹣2=an﹣1﹣1,又Sn﹣1=an﹣1,
两式相减可得an﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2=an﹣1﹣an﹣1+1,
化为an=2an﹣1,即{an}从第二项起为公比为2的等比数列,
可得an=2•2n﹣2=2n﹣1,对n=1也成立,故an=2n﹣1,n∈N*;
(2)由(1)有Sn==2n﹣1,
当n=8时,Sn=28﹣1=255<512,当n=9时,Sn=29﹣1=511<512,
当n=10时,Sn=210﹣1=1023>512,
所以存在正整数k∈{8,9,10},使得Sk>512.
5.(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个:①函数的最大值为2;②函数的图象可由的图象平移得到;③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)请写出这两个条件序号,并求出的解析式;
(2)求方程在区间上所有解的和.
【答案】(1)满足的条件为①③;(2)
【解析】
【分析】(1)根据题意,条件①②互相矛盾,所以③为函数满足的条件之一,根据条件③,可以确定函数的最小正周期,进而求得的值,并对条件①②作出判断,最后求得函数解析式;
(2)将代入方程,求得,从而确定出或,结合题中所给的范围,得到结果.
【详解】(1)函数满足的条件为①③;
理由如下:由题意可知条件①②互相矛盾,
故③为函数满足的条件之一,
由③可知,,所以,故②不合题意,
所以函数满足的条件为①③;
由①可知,所以;
(2)因为,所以,
所以或,
所以或,
又因为,所以x的取值为,,,,
所以方程在区间上所有的解的和为.
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