2020-2021学年河北省唐山市高二上学期9月质量检测数学试题（解析版）

2020-2021学年河北省唐山市高二上学期9月质量检测数学试题

一、单选题

1．已知向量，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用向量平行的坐标表示即可求出的值.

【详解】

向量，，若，

则，

解得：，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题.

2．在中，已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用正弦定理即可求解.

【详解】

在中，，，，

由正弦定理得：，即，解得：，

所以，

故选：C

【点睛】

本题主要考查了利用正弦定理解三角形，属于基础题.

3．同时抛掷两颗均匀的骰子，得到的点数和为6的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】掷两颗质地均匀的骰子，有种结果，每种结果等可能出现，求出向上的点数之和为的情况包含的结果，利用概率公式即可求解.

【详解】

抛掷两颗均匀的骰子， 有种结果，每种结果等可能出现，出现向上的点数之和为的情况有、、、、有种，

所以得到的点数和为的概率为，

故选：D

【点睛】

本题主要考查了利用古典概率模型求概率，属于基础题.

4．已知等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．2020 B．1021 C．1010 D．1002

【答案】C

【解析】利用等差数列的性质以及等差数列的前项和公式即可求解.

【详解】

由，则，

所以.

故选：C

【点睛】

本题考查了等差数列的性质、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.

5．设，满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】C

【解析】画出不等式表示的平面区域，表示斜率为的平行直线系，平移直线可得当直线经过和的交点时，取到最大值．

【详解】

画出不等式表示的平面区域如图所示

等价于，表示斜率为的平行直线系，的最大值，即直线纵截距的最小值，联立方程，解得，则过时取到最大值

故选：C

【点睛】

本题考查线性规划的应用，考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查学生数形结合能力，属于基础题．

6．下图是一个边长为2的正方形区域，为了测算图中阴影区域的面积，向正方形区域内随机投入质点600次，其中恰有225次落在该区域内，据此估计阴影区域的面积为（    ）

A．1.2 B．1.5 C．1.6 D．1.8

【答案】B

【解析】根据几何概型概率的估计可知落在阴影部分的概率即为面积之比，列出式子即可计算.

【详解】

设阴影部分的面积为，

由几何概型的概率公式可知，

.

故选：B.

【点睛】

本题考查几何概型的计算，属于基础题.

7．已知，，，，则和大小关系为（    ）

A． B． C． D．以上都有可能

【答案】A

【解析】根据，，直接利用作差法比较.

【详解】

因为，，

所以，

.

故选：A

【点睛】

本题主要考查比较大小以及作差法的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

8．以下三个命题：

①对立事件也是互斥事件；

②一个班级有50人，男生与女生的比例为3：2，利用分层抽样的方法，每个男生被抽到的概率为，每个女生被抽到的概率为；

③若事件，，两两互斥，则.

其中正确命题的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】由对立事件的定义可判断①；由分层抽样的定义可判断②；由互斥事件的概率理解可判断③.

【详解】

对于①，由对立事件的定义可知对立事件一定是互斥事件，故①正确；

对应②，可知该班有男生30人，女生20人，由于不知道需要抽取多少人，所以无法得出概率，故②错误；

对应③，事件，，不一定包含所有事件，故，故③错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查考查对事件互斥、对立的理解，考查对分层抽样的理解，属于基础题.

9．已知，，且，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】A

【解析】由基本不等式得，即可由此求出的最小值.

【详解】

由基本不等式可得，

令，，

则，即，解得（舍去）或，

当且仅当，即时，取的最小值为2.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.

10．下图是某校随机抽取100名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），下列说法正确的是（    ）

A．平均数为74 B．众数为60或70

C．中位数为75 D．该校数学月考成绩80以上的学生约占25%

【答案】D

【解析】根据平均数等于小矩形的面积乘以各小矩形底边中点横坐标之和可判断A；取小矩形面积最大的底边中点横坐标作为众数可判断B；从左边开始将小矩形的面积之和等于的横坐标作为中位数可判断C；将成绩80以上的小矩形面积相加可判断D.

【详解】

对于A，

，故A不正确；

对于B，由频率分布直方图可知众数为，故B不正确；

对于C，设中位数为，则，

解得，故C不正确；

对于D，数学月考成绩80以上的学生约占

，即为25% ，故D正确；

故选：D

【点睛】

本题考查了频率分布直方图求平均数、众数、中位数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

11．如图，在中，为中点，在线段上，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】求得关于、的表达式，利用平面向量的减法法则可得出关于、的表达式.

【详解】

为的中点，则，

，，

.

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量的基底分解，考查了平面向量减法法则的应用，考查计算能力，属于中等题.

12．某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把信息通知在南偏东30°，且与处相距的处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度？（    ）

A．30° B．45° C．90° D．60°

【答案】D

【解析】根据余弦定理求出，根据正弦定理求出，从而可得答案

【详解】

解：如图所示，，则，

由题意可知，，

由余弦定理得，

解得，

由正弦定理得，

解得，

所以，

故选：D

【点睛】

此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查方位角问题，属于基础题

二、填空题

13．已知数列为等比数列，，则______________.

【答案】1

【解析】由等比数列的性质可得：，即可求解.

【详解】

因为等比数列满足，

由等比数列的性质可得：，

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了等比数列的性质，属于中档题.

14．已知，则的最小值为______________.

【答案】3

【解析】化简函数为，再利用基本不等式即可求出.

【详解】

，

，

当且仅当，即时等号成立，

故的最小值为3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，属于基础题.

15．已知向量，则与垂直的单位向量的坐标为______________.

【答案】或

【解析】可设坐标为，根据条件建立方程解出即可.

【详解】

设与垂直的单位向量的坐标为，

由题可得，

解得或 ，

所以与垂直的单位向量的坐标为或.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查向量垂直的坐标表示，考查向量坐标的计算，属于基础题.

三、双空题

16．学校餐厅每天供应1050名学生用餐，每周一有A，B两种套餐可供选择.调查表明，凡是本周一选A套餐的，下周一会有20%改选B套餐；而选B套餐的，下周一会有30%改选A套餐.用，分别表示第个周一选A套餐的人数和选B套餐的人数.第一个周一选A套餐的人数为人.

（1）如果每个周一选A套餐人数总相等，则_____________.

（2）若，则从第______________个周一开始，选A套餐人数首次超过选B套餐的人数.

【答案】630    3   

【解析】（1）由题可列出递推关系，利用，代入即可求出；

（2）根据递推关系可得出是首项为，公比为的等比数列，进而求出，再列出不等式即可求出.

【详解】

（1）由题意可得，

如果每个周一选A套餐人数总相等，则，

则，解得.

（2）由可得，

整理得，则，

是首项为，公比为的等比数列，

，即，

令，即，即，

由可得，

，即，

故从第3个周一开始，选A套餐人数首次超过选B套餐的人数.

故答案为：630；3.

【点睛】

本题考查数列的应用，属于中档题.

四、解答题

17．为了研究某种菜籽在特定环境下，随时间变化发芽情况，得如下实验数据：

（1）求关于的回归直线方程；

（2）利用（1）中的回归直线方程，预测当时，菜籽发芽个数.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，

【答案】（1）；（2）8.4千个.

【解析】（1）利用已知数据先求出t和y的平均数，代入到中，得到后，再代入到中，而线性回归方程为，代入所有数据即可得到；

（2）将代入回归直线中即可得到所求.

【详解】

（1）由表中数据计算得，，

，，

，.

所以，回归方程为.

（2）将代入（1）的回归方程中得.

故预测时，菜籽发芽个数约为8.4千个.

【点睛】

该题主要考查线性回归方程等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力，属于简单题目.

18．当时，解关于的不等式.

【答案】答案见解析.

【解析】将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合二次不等式的求解方法可得出原不等式的解集.

【详解】

由，可得.

①当时，原不等式即，解得；

②当时，.

方程的两根为，.

当时，原不等式即，即，解得；

当时，，解原不等式得或；

当时，，解原不等式得或.

综上，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为或.

【点睛】

本题考查含参二次不等式的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.

19．街道办在小区东、西两区域分别设置10个摊位，供群众销售商品.某日街道办统计摊主的当日利润（单位：元），绘制如下茎叶图.

（1）根据茎叶图，计算东区10位摊主当日利润的平均数，方差；

（2）从当日利润90元以上的摊主中，选出2位进行经验推介，求选出的2位摊主恰好东、西区域各1位的概率.

【答案】（1）平均数是80，方差是79.4；（2）.

【解析】（1）根据公式求样本的平均数与方差；

（2）东区2摊主分设为A，B，西区3摊主分设为c，d，e. 求出从这5位摊主中随机抽取2个包含的基本事件的个数，以及选出的2位摊主恰好东、西区域各1位包含的基本事件的个数，利用概率公式即可求解.

【详解】

（1）东区10位摊主利润的平均数是80，方差是

（2）由题意可知，东区2摊主分设为A，B，西区3摊主分设为c，d，e.

再从这5位摊主中随机抽取2个，共包含：

，，，，，，，，，，10种等可能的结果；

其中东西两个区域各1位摊主事件包含，，，，，，共计6种等可能的结果；

由古典概型计算公式可得，选出东、西两个区域各1位摊主的概率

.

【点睛】

本题主要考查了由茎叶图求平均值和方差，以及利用古典概率公式求概率，属于中档题.

20．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积S满足.

（1）求A；

（2）若，求的周长的最大值.

【答案】（1）；（2）3.

【解析】（1）由向量数量积公式、的面积S可求得A；

（2）由及正弦定理得，再由余弦定理及基本不等式可得答案.

【详解】

（1），

由已知，得.

因为，所以.

（2）由题设及正弦定理得，

所以，即，

由于，，

所以，

由余弦定理，得

所以，当且仅当时取等号，

解得， ，

即的周长的最大值为3.

【点睛】

本题考查了向量与三角形结合，考查了正弦定理、余弦定理解三角形的问题.

21．已知等差数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式,将已知条件转化为关于和的方程，解出和，即可求出通项；

（2）由（1）知，利用乘公比错位相减即可求和.

【详解】

（1）由得，，代入到得，，

所以的通项公式为.

（2）由（1）知，   

所以，

.

两式相减得

所以，

【点睛】

本题主要考查了求等差数列通项，以及乘公比错位相减求和，属于中档题.

22．如图，某游乐园的平面图呈圆心角为120°的扇形，其两个出入口设置在点B及点C处，且园内有一条平行于的小路.已知某人从C沿走到D用了8分钟，从D沿走到B用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米.

（1）求的面积；

（2）求该扇形的半径的长.

【答案】（1）平方米；（2）370米.

【解析】（1）利用三角形的面积公式可得，代入求解即可.

（2）设扇形的半径为，连结，可得，利用余弦定理即可求解.

【详解】

（1）由题意（米），（米），；

的面积（平方米）

所以的面积为平方米.   

（2）设扇形的半径为，连结，

由题意

在中，，

即，

解得（米）

则该扇形半径的长为370米.

【点睛】

本题考查了三角形的面积公式、余弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题.