2020-2021学年河北省张家口市宣化第一中学高二上学期第四次周考数学试题（解析版）

张家口市宣化第一中学2020-2021学年高二上学期第四次周考数学

一、选择题（本大题共17小题，共85.0分）

1. 若，，则一定有   

A.  B.  C.  D.

2. 设a，，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

3. 已知实数x，y满足，则下列关系式恒成立的是

A.  B.
C.  D.

4. 已知函数且，则

A.  B.  C.  D.

5. 用b，表示a，b，c三个数中的最小值．设，则函数的最大值为     

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

6. 若变量x，y满足约束条件，且的最大值和最小值分别为m和n，则

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

7. 设满足条件，则的最大值为    ．

A. 10 B. 8 C. 3 D. 2

8. 若x，y满足，且的最小值为，则k的值为

A. 2 B.  C.  D.

9. x，y满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为

A. 或 B. 2或 C. 2或 D. 2或1

10. 已知x，y满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为

A. 5 B. 4 C.  D. 2

11. 在平面直角坐标系xOy，已知平面区域，且，，则平面区域的面积为

A. 2 B. 1 C.  D.

12. 对任意x，，的最小值为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

13. 若函数的最小值为3，则实数a的值为

A. 5或8 B. 或5 C. 或 D. 或8

14. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为

A.  B.  C.  D.

15. 已知函数，则不等式的解集是

A.  B.
C.  D.

16. 若不等式对一切成立，则a的最小值为

A. 0 B.  C.  D.

17. 若a，b，且，则的最小值是

A.  B. 3 C. 2 D.

二、解答题（本大题共3小题，共36.0分）

18. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB．

19. 在，已知，求角A，B，C的大小．
    
    
    
    
     
20. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
    Ⅰ求角C的大小；
    Ⅱ已知，的面积为6，求边长c的值．
    
    
     

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查不等式比较大小，特值法有效，倒数计算正确．
利用特例法，判断选项即可．
【解答】
解：不妨令，，，，
则，，、B不正确；
，，
不正确，D正确．

解法二：
，
，
，
，
，
．

故选：D．
2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】
解：若，
，不等式等价为，此时成立；
，不等式等价为，即，此时成立；
，不等式等价为，即，此时成立，
即充分性成立；
若，
当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即；
当，时，；
当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即，
即必要性成立．
综上“”是“”的充要条件，
故选C．
3.【答案】A
 

【解析】解：实数x，y满足，，
A.当时，，恒成立，
B.当，时，满足，但不成立．
C.若，则等价为成立，当，时，满足，但不成立．
D.若，则等价为，即，当，时，满足，但不成立．
故选：A．
本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．
本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．
4.【答案】C
 

【解析】解：由
得，
解得，
则，
由，得，
即，
故选：C．
由列出方程组求出a，b，代入，即可求出c的范围．
本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题．
5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
在同一坐标系内画出三个函数，，的图象，以此作出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．
本题考查了函数的概念、图象、最值问题．利用了数形结合的方法．关键是通过题意得出的简图．
【解答】
解：是减函数，是增函数，是增函数，令，，此时，，如图：

与交点是A、B，与的交点为，
由上图可知的图象如下：

C为最高点，而，所以最大值为6．
故选：C．
6.【答案】B
 

【解析】

【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．
本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由，得，
平移直线，由图象可知当直线经过点A，
直线的纵截距最小，此时z最小，
由，解得，
即，此时，，
平移直线，由图象可知当直线经过点B，
直线的纵截距最大，此时z最大，
由，解得，
即，此时，，
则，
故选：B．
7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，是基础题．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分．
由得，
平移直线，
由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最小，
此时z最大．
由，解得，即
代入目标函数，
得．
故选B．
8.【答案】D
 

【解析】解：对不等式组中的讨论，可知直线与x轴的交点在与x轴的交点的右边，
故由约束条件作出可行域如图，

当，由，得，
由得．
由图可知，当直线过时直线在y轴上的截距最小，即z最小．
此时，解得：．
故选：D．
对不等式组中的讨论，当时，可行域内没有使目标函数取得最小值的最优解，时，若直线与x轴的交点在与x轴的交点的左边，的最小值为，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
9.【答案】C
 

【解析】

【分析】
由题意作出已知条件的平面区域，将化为，z相当于直线的纵截距，由几何意义可得．
本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意目标函数的几何意义是解题的关键之一，属于中档题．
【解答】
解：由题意作出约束条件，平面区域，

将化为，z相当于直线的纵截距，
由题意可得，与或与平行，
故或；
故选：C．
10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．
由约束条件作出可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到的几何意义为坐标原点到直线的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．
【解答】
解：由约束条件，作可行域如图，

联立，解得：．
化目标函数为直线方程得：．
由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，此时z最小．
．
即．
的几何意义为坐标原点到直线的距离的平方，
则的最小值为．
故选：B．
11.【答案】B
 

【解析】解析：令，，
作出区域是等腰直角三角形，
可求出面积
选B
将和看成整体，设，根据题意列出关于u，v的约束条件，画出区域求面积即可．
线性规划主要考查转化能力，与其他知识的结合重点在于问题的转化．
12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
把表达式分成2组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值．
本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法．
【解答】
解：对任意x，，
，
当且仅当，等号成立．
故选：C．
13.【答案】D
 

【解析】解：时，，；
，；
，，
或，
或，
时，，故舍去；
时，，；
，；
，，
或，
或，
时，，故舍去；
综上，或8．
故选：D．
分类讨论，利用的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．
本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．
14.【答案】B
 

【解析】解：当时，
，
由，，得；
当时，；
由，，得．
当时，．
函数为奇函数，
当时，．
对，都有，
，解得：．
故实数a的取值范围是．
故选：B．
把时的改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得时的函数的最大值，由对，都有，可得，求解该不等式得答案．
本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对，都有得到不等式，是中档题．
15.【答案】C
 

【解析】

【分析】
对中的x分两类，即当，和时分别解不等式可得结果．
本题考查分断函数，不等式组的解法，分类讨论的数学思想，是基础题．
【解答】

解：依题意得
所以
故选C．

16.【答案】C
 

【解析】解：设，则对称轴为
若，即时，则在，上是减函数，
应有
若，即时，则在，上是增函数，
应有恒成立，
故
若，即，
则应有恒成立，
故
综上，有．
故选：C
令，要使得在区间恒成立，只要在区间上的最小值大于等于0即可得到答案．
本题主要考查一元二次函数求最值的问题．一元二次函数的最值是高考中必考内容，要注意一元二次函数的开口方向、对称轴、端点值．
17.【答案】A
 

【解析】解：，
当且仅当时取等号，

故选项为A
因为的平方与已知等式有关，现将用已知等式表示，根据一个数的平方大于等于0得不等式，
然后解不等式得范围．
若要求的代数式能用已知条件表示，得不等式，通过解不等式求代数式的范围．
18.【答案】解：在中，．
由正弦定理得．
所以．
在中，．
 

【解析】先根据三角形内角和为得再根据正弦定理求得BC，进而在中，根据求得AB．
本题主要考查了解三角形的实际应用．正弦定理是解三角形问题常用方法，应熟练记忆．
19.【答案】解：设，，
由得所以
又因此由得；
于是
所以，
即
故A或
 

【解析】先用向量的数量积求出角A，再用三角形的内角和为得出角B，C的关系，用三角函数的诱导公式解之．
考查向量的数量积及三角函数的诱导公式．向量与三角结合是高考常见题型．
20.【答案】解：Ⅰ中，
，
，
，
即，


，
，．
Ⅱ已知，的面积为
，
，
．
 

【解析】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式、余弦定理的应用，属于中档题．
Ⅰ中由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式求得，从而得到，由此可得C的值．
Ⅱ根据的面积为求得a的值，再利用余弦定理求得c的值．