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人教版新课标A选修2-1第二章 圆锥曲线与方程综合与测试同步训练题
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这是一份人教版新课标A选修2-1第二章 圆锥曲线与方程综合与测试同步训练题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教新课标A版选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
一、单选题
1.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的两个焦点分别为 F1 ， F2 ， P 是椭圆 C 上的动点， |PF1|+|PF2|= 10 ， |PF1| 的最小值为1，则 C 的焦距为（ ）
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
2.双曲线 x23−y26=1 的焦点到渐近线的距离为（ ）
A. 63 B. 2 C. 3 D. 6
3.“椭圆 x29+y2m=1 的离心率为 53 ”是“ m=4 ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知抛物线 y2=2mx 与椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 有相同的焦点 F ， P 是两曲线的公共点，若 |PF|=5m6 ，则椭圆的离心率为（ ）
A. 32 B. 3−32 C. 2−22 D. 12
5.抛物线 C ： y2=2px (p>0) 的焦点为 F ，过点 A(4,6) 且平行于 x 轴的直线与线段 AF 的中垂线交于点 M ，若点 M 在抛物线 C 上，则 |MF|= （ ）
A. 52 或 72 B. 32 或 52 C. 1或3 D. 2或4
6.若双曲线 y2a2−x2b2=1(a>0,b>0) 的实轴长为6，离心率 e=53 ，则其焦点坐标为（ ）
A. (±4,0) B. (0,±4) C. (±5,0) D. (0,±5)
7.已知抛物线 C:x2=3y ，过点 P(m,−34)(m∈R) 作抛物线的切线 PA 、 PB ，切点分别为 A 、 B ，则 A 、 B 两点到 x 轴距离之和的最小值为（ ）
A. 3 B. 32 C. 332 D. 334
8.设复数 z1=−1+i ， z2=3−i （ i 是虚数单位），若复数 z 满足 |z−z1|−|z−z2|=4 ，则 |z−z1+z22| 的最小值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 2 D. 3
9.已知点 P 为椭圆 E ： y2a2+x2b2=1(a>b>0) 的下顶点， M,N 在椭圆上，若四边形 OPNM 为平行四边形， α 为直线 ON 的倾斜角，且 α∈(π6,π4] ，则椭圆 E 的离心率的取值范围为（ ）
A. (0,63] B. (0,32] C. [63,32] D. [63,223]
10.已知抛物线 x2=2py(p>0) 的焦点F是椭圆 y2a2+x2b2=1(a>b>0) 的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若 ΔFAB 是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. 12 B. 22 C. 33 D. 32
二、填空题
11.已知椭圆方程为 x24+y23=1 ，则其长轴长为 ， 焦点坐标为 .
12.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 过点 (1,2), 其长轴长的取值范围是[4，6]，则该椭圆离心率的取值范围是________.
13.已知不过原点的动直线 l 交抛物线 C:x2=2py(p>0) 于 A,B 两点， O 为坐标原点，且 |OA+OB|=|OA−OB| ，若 △OAB 的面积的最小值为 64 ，则 p= ；直线 l 过定点，该定点的坐标为 .
14.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率e=________．
15.设椭圆 C1:x2a12+y2b2=1(a1>b>0) 与双曲线 C2:x2a22−y2b2=1(a2>0) 有公共焦点，过它们的右焦点 F 作 x 轴的垂线与曲线 C1 ， C2 在第一象限分别交于点 M ， N ，若 S△OMNS△OFM=12 （ O 为坐标原点），则 C1 与 C2 的离心率之比为________.
16.如图，过抛物线焦点F的直线交抛物线C1：y2=4x于A，B两点，且|AF|=4，双曲线C2： y2a2−x2b2 =1（a>0，b>0)过点．B，则双曲线的离心率是________ ．
17.意大利画家达·芬奇在绘制《抱银貂的女子》（下图）时曾仔细思索女子脖子上的黑色项链的形状是什么曲线？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究发现悬链线方程与双曲余弦曲线密切关联，双曲余弦曲线 C 的解析式为 coshx=ex+e−x2 （ e 为自然对数的底数）.若直线 y=m 与双曲余弦曲线 C 交于点 A ， B ，曲线 C 在 A ， B 两点处的切线相交于点 P ，且 △APB 为等边三角形，则 m= ， |AB|= .
18.已知P为椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，B为椭圆右顶点，若 ∠PF1F2 平分线与 ∠PF2B 的平分线交于点 Q(6,6) ，则 SΔF1BQ+SΔF2BQ= ________.
19.已知F1､F2为双曲线 x2a2−y2b2 =1(a>0，b>0)的左､右焦点，过F2作倾斜角为60°的直线l交双曲线右支于A，B两点(A在x轴上方)，则 △AF1F2 的内切圆半径r1与 △BF1F2 的内切圆半径r2之比 r1r2 为________.
三、解答题
20.
（1）求与双曲线 x2−y24=1 有相同渐近线且过点 A(2,0) 的双曲线方程；
（2）已知双曲线的离心率为 3 ，求该双曲线渐近线方程.
21.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为（0,1）
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l2：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P ， 且与直线l1：y＝﹣1相交于点Q ， 试问，在坐标平面内是否存在点N ， 使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．
22.已知椭圆C： x2a2+y2b2= 1（a＞b＞0）的离心率为 22 ，短轴一个端点到右焦点的距离为3 2 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝x﹣1与椭圆C交于不同的两点A、B，求|AB|．
23.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上的点 P 到左，右两焦点为 F1 ， F2 的距离之和为 22 ，离心率为 22 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点，若 y 轴上一点 M(0,37) 满足 |MA|=|MB| ，求直线 l 的斜率 k 的值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】由已知得 {2a=10a−c=1 ，
解得 {a=5c=4 ，
∴焦距为8.
故答案为：B
【分析】由椭圆的定义及性质列方程组，即可得到结果.
2.【答案】 D
【解析】解：根据题意，双曲线的方程为 x23−y26=1 ，
其焦点坐标为 (±3,0) ，其渐近线方程为 y=±2x ，即 2x±y=0 ，
则其焦点到渐近线的距离 d=|32|1+2=6 ；
故答案为：D.
【分析】根据题意由双曲线的方程可得其渐近线方程及焦点坐标，可得焦点到渐近线的距离.
3.【答案】 C
【解析】由椭圆 x29+y2m=1 的离心率为 53 ，得 m=4 或 m=814 ；
由 m=4 ，得椭圆 x29+y2m=1 的离心率为 53 ．
故“椭圆 x29+y2m=1 的离心率为 53 ”是“ m=4 ”的必要不充分条件．
故答案为：C
【分析】先等价转化椭圆的离心率，再利用充分条件与必要条件的定义判断，即可得出答案。
4.【答案】 D
【解析】抛物线 y2=2mx 与椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 有相同的焦点 F , P 是两曲线的公共点,
所以 F(m2,0) ,即椭圆中的 c=m2
设 P(y22m,y) ,由抛物线定义可知 |PF|=y22m+m2
由题意 |PF|=5m6 ,即 y22m+m2=5m6
化简可得 y2=2m23
将 c=m2 变形为 m=2c 代入等式可得 y2=8c23
则 P 的坐标可化为 P(2c3,26c3)
由点 P 在椭圆上,代入可得 {49c2a2+83c2b2=1b2=a2−c2 ,化简可得 4c4−37a2c2+9a4=0
除以 a4 可化为 4e4−37e2+9=0 即 (4e2−1)(e2−9)=0
解得 e2=14 或 e2=9
因为 e∈(0,1)
所以 e=12
故选:D
【分析】根据两个曲线的焦点相同,可得 c=m2 .由抛物线定义可得 y2=2m23 .结合两式即可用 c 表示出 P 点坐标.代入椭圆方程,化简后根据齐次式形式即可求得离心率.
5.【答案】 A
【解析】若 A 点在抛物线外部，如下图，设线段 AF 的中点为 B ，
因为线段 AF 的中垂线是 MB ，所以 |MF|=|MA| ，
由抛物线定义， |MF| 又等于点 M 到准线 l 的距离 d ，而图中 |MA|
若 A 点在抛物线内部，如下图，
设线段 AF 的中点为 B ， F(p2,0) ， M(3p,6) ，
因为线段 AF 的中垂线是 MB ，所以 |MF|=|MA| ，
再由抛物线定义得 4−3p=3p+p2 ，解得 p=2 或 p=6 ，
所以 p=2 时， |MF|=3p+p2=52 ，
p=6 时， |MF|=3p+p2=72 ，
故答案为：A.
【分析】由抛物线定义， |MF| 又等于点 M 到准线 l 的距离 d ，而图中 |MA|
【解析】因为双曲线 y2a2−x2b2=1(a>0,b>0) 的实轴长为6，所以 2a=6⇒a=3 ，
又因为双曲线 y2a2−x2b2=1(a>0,b>0) 的离心率 e=53 ，所以 e=ca=53⇒c3=53⇒c=5 ，双曲线 y2a2−x2b2=1(a>0,b>0) 的焦点在纵横上，
所以该双曲线焦点的坐标为 (0,±5) .
故答案为：D
【分析】根据双曲线离心率的公式，结合实轴长的定义，焦点坐标公式进行求解即可。
7.【答案】 B
【解析】【解答】设 A(x1,x123), B(x2,x223) ，由抛物线 C:x2=3y 知： y′=2x3 ，
∴切线 PA 、 PB 分别为： y−x123=2x13(x−x1) ， y−x223=2x23(x−x2) ，
联立 PA 、 PB 的方程，可得： P(x1+x22,x1x23) ，而 P(m,−34)(m∈R) ，
∴ x1x2=−94 ，若设直线 AB 为 y=kx+b ，联立抛物线方程得： x2−3kx−3b=0 ，
∴ x1x2=−3b=−94 ，即 b=34 ，
而 x1+x2=3k ，
∴ y1+y2=k(x1+x2)+32=3k2+32 ，故当 k=0 时 y1+y2 有最小值 32 ，
故答案为：B
【分析】由题意得到切线 PA 、 PB 的方程，联立求得 P 点坐标，结合已知 P(m,−34)(m∈R) ，即可的 x1x2=−94 ，设直线 AB 为 y=kx+b 联立抛物线方程可求 b=34 ，即可求 A 、 B 两点到 x 轴距离之和的最小值.
8.【答案】 B
【解析】设复数 z 在复平面内对应的点 Z ,
因为 z1=−1+i , z2=3−i ,
所以 z1,z2 在复平面内所对应的点 Z1 、 Z2 之间的距离为 25 >4 ,
由 |z−z1|−|z−z2|=4 ,可得 Z 的轨迹是以 Z1,Z2 为焦点,,实半轴长 a=2 ,半焦距 c=5 的双曲线的右支,
而 z1+z22 =−1+i+3−i2=1 ,且点 (1,0) 在直线 Z1Z2 上,
所以 |z−z1+z22| 的最小值等于 (3,−1) 与 (1,0) 之间的距离减去 (c−a) ,
即 (3−1)2+(−1−0)2 −(5−2) =2.
故答案为： B .
【分析】由题意可得复数 z 在复平面内对应的点 Z 的轨迹为以 Z1,Z2 为焦点,实半轴长为2,半焦距为 c=5 的双曲线,求出 z1+z22 对应的点 (1,0) ,然后利用双曲线的性质可得答案.
9.【答案】 A
【解析】如图所示：
因为 OP 在 y 轴上，且 OPNM 为平形四边形，
所以 OP//MN ，且 M,N 的横坐标相等，纵坐标互为相反数.
由题意得 P(0,−a) 则点 M(x,a2) ， N(x,−a2) .
将 N(x,−a2) 代入椭圆 y2a2+x2b2=1 得 x2=34b2 ， x=−32b .
即 N(−32b,−a2) ， kON=tanα=−a2−32b=a3b .
因为 α∈(π6,π4] ，所以 33
【分析】首先根据题意得 P(0,−a) ，则设点 M(x,a2) ， N(x,−a2) ，将 N(x,−a2) 代入椭圆 y2a2+x2b2=1 得到 N(−32b,−a2) ，求出 kON ，根据 α 的范围即可得到 33
【解析】由题意可知,画出几何图形如下图所示:
由椭圆与抛物线的对称性可知, AB与 y 轴交于椭圆的另一焦点 F' ,则 |FF'|=2c .
由椭圆定义可知 |AF'|+|AF|=2a ,且 ΔFAB 为正三角形
所以 |AF'|=12|AF|, 则 |AF'|=2a3,|AF|=4a3
由正三角形性质可知 ΔAF'F 为直角三角形
所以 (|AF'|)2+(|FF'|)2=|AF|2
即 (2a3)2+(2c)2=(4a3)2 ,化简可得 3c2=a2
所以 e=c2a2=13=33
故答案为：C
【分析】根据题意画出几何图形,由椭圆和抛物线的对称性可知AB与 y 轴交于椭圆的另一焦点 F' ,则 |FF'|=2c .根据正三角形性质可得 |AF'|=12|AF|, 结合椭圆定义 |AF'|+|AF|=2a ,可由勾股定理求得椭圆的离心率.
二、填空题
11.【答案】 4；(±1,0)
【解析】根据椭圆的方程得 a2=4,b2=3 ，
所以长轴长 2a=4 ，又 c2=a2−b2=4−3=1 ，即 c=1 ，
所以焦点坐标为 (±1,0) .
故答案为：4； (±1,0)
【分析】 直接利用椭圆方程求解,长轴长以及椭圆的焦点坐标即可.
12.【答案】 [33,32]
【解析】由题意可得 1a2+2b2=1 ，
所以 b2=2a2a2−1 ，
所以 b2a2=2a2−1 ，
又 e=ca=c2a2=1−b2a2=1−2a2−1 ，且 2≤a≤3 ，
所以 14≤2a2−1≤23 ，即 33≤e≤32 ，
该椭圆离心率的取值范围是 [33,32] .
故答案为： [33,32]
【分析】将点 (1,2), 代入可得 b2a2=2a2−1 ，由e=ca=c2a2=1−b2a2=1−2a2−1结合a的取值范围即可求解。
13.【答案】 4；（0,8）
【解析】设直线与抛物线交于 A、B 两点， A(x1,y1),B(x2,y2) ，
因为 |OA+OB|=|OA−OB| ，可得 (OA+OB)2=(OA−OB)2 ，
即 OA2+2OA⋅OB+OB2=OA2−2OA⋅OB+OB2 ，可得 OA⋅OB=0 ，
可得 OA⋅OB=x1x2+y1y2=0 ，所以 x1⋅x2+x122p⋅x222p=0 ，得到 x1⋅x2=−4p2 ，
设 l:y=kx+m ，代入抛物线 x2=2py 中，可得方程 x2−2pkx−2pm=0 ，
由韦达定理得 x1+x2=2pk,x1⋅x2=−2pm ，所以 m=2p ，
所以面积 S=12|m||x1−x2|=12|m|4p2⋅k2+8pm=p⋅4p2(k2+4)
=2p2⋅k2+4≥4p2 ，当且仅当 k=0 时，等号成立，即 4p2=64 ，解得 p=4 ，
所以 m=8 ，此时直线 y=kx+8 过定点（0,8）.
【分析】根据题意设出两个点的坐标再由直线与抛物线相交的性质结合韦达定理即可得到两根之和与两根之积关于m、p的关系式，结合三角形的面积公式结合基本不等式求出最小值即可。
14.【答案】 12
【解析】依题意 c=12a ，所以 e=12。
【分析】利用椭圆的定义结合等边三角形的性质，再利用焦距的定义推出a,c的关系式，再利用椭圆的离心率公式变形，从而求出椭圆的离心率。
15.【答案】 23
【解析】【解答】设右焦点为 F(c,0) ，根据椭圆和双曲线方程可得得 M(c,b2a1) ， N(c,b2a2) ， a1>a2 ，
若 S△OMNS△OFM=12 ，则 |FM||FN|=23 ，即 2⋅b2a2=3⋅b2a1 ，即 a2a1=23 ，
所以 e1e2=ca1ca2=a2a1=23 .
故答案为： 23 .
【分析】根据题意设出焦点坐标，利用椭圆与双曲线的abc关系，结合三角形的面积的比值，转化求解离心率之比即可．
16.【答案】 666
【解析】解：根据题意,抛物线y2=4x的焦点为F1，0 ， 准线方程为x=−1 ，
设Ax1，y1、Bx2，y2 ，
∵|AF|=4
∴x1+1=4 ，
解得x1=3 ，
∴y1=23 ，
∴直线AB的斜率为23−03−1=3
∴直线AB的方程为y=3x−1 ，
由y2=4xy=3x−1,整理可得3x2−10x+3=0 ，
解得x1=3，x2=13
当x2=13时，y2=233
∴A3，23 ， B13，233
∵双曲线C2过点A，B
把A，B代入双曲线C2的方程得12a2−9b2=143a2−19b2=1
解得a=305 ， b=1
∵c2=a2+b2
∴c=555
∴e=ca=555305=666
故答案为：666
【分析】根据抛物线的定义和性质，设Ax1，y1、Bx2，y2 ， 可以求出A坐标，再求出直线AB的方程，再求出点B的坐标，把A，B代入双曲线C2的方程，解得a，b的值，最后求出c ， 再根据双曲线的离心率e=ca ， 求出双曲线的离心率的值。
17.【答案】 2；2ln(2+3)
【解析】设 f(x)=coshx=ex+e−x2 ，则 f′(x)=ex−e−x2 ，
设 B(x0,ex0+e−x02) ，则 m=ex0+e−x02 ， kBP=ex0−e−x02 ，
所以直线 BP 为 y−ex0+e−x02=ex0−e−x02(x−x0) ，
又因为 f(−x)=f(x) ，
所以函数图象关于 y 轴对称，故点 P 在 y 轴上，
所以 P(0，(1−x0)ex0+(1+x0)e−x02) ，
因为 △APB 为等边三角形，则 3x0=ex0+e−x02−(1−x0)ex0+(1+x0)e−x02 ，
整理 ex0−e−x0=23 ，所以 ex0+e−x0=(ex0+e−x0)2=(ex0−e−x0)2+4=4 ，
因此 m=ex0+e−x02=2 ，
由 {ex0−e−x0=23ex0+e−x0=4 ，解得 ex0=2+3 ，所以 x0=ln(2+3) ，
则 |AB|=2x0=2ln(2+3) ，
故答案为：2； 2ln(2+3) .
【分析】结合导数的几何意义表示出切线BP的方程，进而根据函数的对称性，求出点P的坐标，然后根据等边三角形的性质求出ex0−e−x0=23 ， 进而可以求出ex0+e−x0=4 ， 因此可以得出m的值，结合{ex0−e−x0=23ex0+e−x0=4求得ex0的值，进而求出x0的值，从而可以求出 |AB| 。
18.【答案】 36
【解析】由题意可知， Q(6,6) 是三角形的旁心，可以判断出 Q(6,6) 点在直线 x=a 上，故 a=6 ， SΔF1BQ+SΔF2BQ=12|F1B|yQ+12|F2B|yQ=12×2a×6=12×2×6×6=36 .
【分析】根据Q坐标，求出a，表示三角形面积，即可求出面积之和.
19.【答案】 3
【解析】由内切圆的性质可知，△AF1F2 的内切圆 O1 和 △BF1F2 的内切圆 O2 都与 x 轴相切于双曲线的右顶点 C ，可知 O1,C,O2 三点共线，连接 O1O2 交 AB 于 D 点，
如图：
直线l的倾斜角为60°，所以 ∠CO1T1=60∘ ，
∠DO2T2=60∘ ，在 Rt△DO1T1 与 Rt△DO2T2 中，
则 O1D=2r1=2r2+r2+r1 ，则 r1r2 为 3。
故答案为：3
【分析】由内切圆的性质可知，△AF1F2 的内切圆 O1 和 △BF1F2 的内切圆 O2 都与 x 轴相切于双曲线的右顶点 C ，可知 O1,C,O2 三点共线，连接 O1O2 交 AB 于 D 点，再结合直线的倾斜角
为60°，所以 ∠CO1T1=60∘ ，∠DO2T2=60∘ ，在 Rt△DO1T1 与 Rt△DO2T2 中，结合直角三角形中角300所对的边等于斜边的一半的性质，进而求出O1D，r1的关系式，进而求出r，r2的关系式，再变形求出三角形 △AF1F2 的内切圆半径r1与三角形 △BF1F2 的内切圆半径r2之比。
三、解答题
20.【答案】 （1）解：由题意可设要求的双曲线方程为 x2−y24=λ≠0 ，
把点 A(2,0) 代入可得 4=λ .
∴双曲线方程为： x24−y216=1 .
（2）解：双曲线的离心率为 3 ，可得 ca=3 ，可得 a2+b2a2=3 ，所以 b=2a ，
当双曲线的焦点坐标在 x 轴时，双曲线的渐近线方程为： y=±2x ；
当双曲线的焦点坐标在 y 轴时，双曲线的渐近线方程为： y=±22x .
【解析】【分析】（1）由条件设双曲线方程为 x2−y24=λ≠0 ，将点 A(2,0) 代入可得答案.(2) 双曲线的离心率为 3 ，可得 ca=3 ,即 b=2a ，然后分焦点的位置进行分类讨论求解即可.
21.【答案】 （1）解：由题意， p2=1 ，
所以p＝2，
∴抛物线C的方程为：x2＝4y
（2）解：由 {x2=4yy=kx+m 得x2﹣4kx﹣4m＝0（*），
由直线y＝kx+m与抛物线C只有一个公共点，
可得 Δ=0 ，解得m＝﹣k2 ， 代入到（*）式得x＝2k，
∴P（2k,k2），
当y＝﹣1时，代入到y＝kx﹣k2
得Q（ k−1k，−1 ）， ∴以PQ为直径的圆的方程为： (x−2k)[x−(k−1k)]+(y−k2)(y+1)=0 ， 整理得： (1−y)k2−3x⋅k+x⋅1k+(x2+y2+y−2)=0 ， 若圆恒过定点，则 {1−y=0−3x=0x=0x2+y2+y−2=0 ， 解得 {x=0y=1 ，
∴存在点N（0,1），使得以PQ为直径的圆恒过点N．
【解析】【分析】（1）根据抛物线的交点坐标，即可得到 p ，从而求得抛物线方程；（2）根据抛物线与直线相切，求得切点的坐标，以及 k,m 之间的等量关系，再求出点 Q 的坐标，从而写出圆的方程，再求圆恒过的定点即可.
22.【答案】 （1）解：由题意：e =ca=22 ，a＝3 2 ，a2＝b2+c2 ， ∴a2＝18，b2＝9，
所以椭圆的标准方程： x218+y29=1
（2）解：设A（x，y），B（x'，y'），与椭圆的方程联立整理：3x2﹣4x﹣16＝0，
∴x+x' =43 ，xx' =−163 ，
所以弦长|AB| =1+12 •|x﹣x'| =2 • (x+x')2−4xx'=2 • (43)2−4⋅−163=4263 ，
所以弦长|AB|的值： 4263
【解析】（1）由题意得离心率及短轴一个端点到右焦点的距离即为a的值，和a，b，c之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆联立得两根之和与两根之积，由弦长公式求出弦长．
23.【答案】 （1）解： |PF1|+|PF2|=2a=22 ，∴ a=2 ，
e=ca=22 ，∴ c=22×2=1 ，∴ b2=a2−c2=2−1=1 ，
椭圆的标准方程为 x22+y2=1
（2）解：已知 F2(1,0) ,设直线的方程为 y=k(x−1) ， A(x1,y1) B(x2,y2) -，
联立直线与椭圆的方程 {y=k(x−1)x22+y2=1 ，化简得： (1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0 ，
∴ x1+x2=4k21+2k2 ， y1+y2=k(x1+x2)−2k=−2k1+2k2 ，
∴ AB 的中点坐标为 (2k21+2k2,−k1+2k2) ．
①当 k≠0 时， AB 的中垂线方程为 y−−k1+2k2=−1k(x−2k21+2k2) ，
∵ |MA|=|MB| ，∴点 M 在 AB 的中垂线上，将点 M 的坐标代入直线方程得：
37+k1+2k2=2k1+2k2 ，即 23k2−7k+3=0 ，
解得 k=3 或 k=36 ．
②当 k=0 时， AB 的中垂线方程为 x=0 ，满足题意，
∴斜率 k 的取值为 0， 3， 36
【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，求出a，结合离心率求出c，得到b，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设出直线斜率，根据点斜式，写出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，写出中点坐标和中垂线方程，解方程，求出k的值即可.
人教新课标A版选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
一、单选题
1.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的两个焦点分别为 F1 ， F2 ， P 是椭圆 C 上的动点， |PF1|+|PF2|= 10 ， |PF1| 的最小值为1，则 C 的焦距为（ ）
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
2.双曲线 x23−y26=1 的焦点到渐近线的距离为（ ）
A. 63 B. 2 C. 3 D. 6
3.“椭圆 x29+y2m=1 的离心率为 53 ”是“ m=4 ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知抛物线 y2=2mx 与椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 有相同的焦点 F ， P 是两曲线的公共点，若 |PF|=5m6 ，则椭圆的离心率为（ ）
A. 32 B. 3−32 C. 2−22 D. 12
5.抛物线 C ： y2=2px (p>0) 的焦点为 F ，过点 A(4,6) 且平行于 x 轴的直线与线段 AF 的中垂线交于点 M ，若点 M 在抛物线 C 上，则 |MF|= （ ）
A. 52 或 72 B. 32 或 52 C. 1或3 D. 2或4
6.若双曲线 y2a2−x2b2=1(a>0,b>0) 的实轴长为6，离心率 e=53 ，则其焦点坐标为（ ）
A. (±4,0) B. (0,±4) C. (±5,0) D. (0,±5)
7.已知抛物线 C:x2=3y ，过点 P(m,−34)(m∈R) 作抛物线的切线 PA 、 PB ，切点分别为 A 、 B ，则 A 、 B 两点到 x 轴距离之和的最小值为（ ）
A. 3 B. 32 C. 332 D. 334
8.设复数 z1=−1+i ， z2=3−i （ i 是虚数单位），若复数 z 满足 |z−z1|−|z−z2|=4 ，则 |z−z1+z22| 的最小值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 2 D. 3
9.已知点 P 为椭圆 E ： y2a2+x2b2=1(a>b>0) 的下顶点， M,N 在椭圆上，若四边形 OPNM 为平行四边形， α 为直线 ON 的倾斜角，且 α∈(π6,π4] ，则椭圆 E 的离心率的取值范围为（ ）
A. (0,63] B. (0,32] C. [63,32] D. [63,223]
10.已知抛物线 x2=2py(p>0) 的焦点F是椭圆 y2a2+x2b2=1(a>b>0) 的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若 ΔFAB 是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. 12 B. 22 C. 33 D. 32
二、填空题
11.已知椭圆方程为 x24+y23=1 ，则其长轴长为 ， 焦点坐标为 .
12.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 过点 (1,2), 其长轴长的取值范围是[4，6]，则该椭圆离心率的取值范围是________.
13.已知不过原点的动直线 l 交抛物线 C:x2=2py(p>0) 于 A,B 两点， O 为坐标原点，且 |OA+OB|=|OA−OB| ，若 △OAB 的面积的最小值为 64 ，则 p= ；直线 l 过定点，该定点的坐标为 .
14.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率e=________．
15.设椭圆 C1:x2a12+y2b2=1(a1>b>0) 与双曲线 C2:x2a22−y2b2=1(a2>0) 有公共焦点，过它们的右焦点 F 作 x 轴的垂线与曲线 C1 ， C2 在第一象限分别交于点 M ， N ，若 S△OMNS△OFM=12 （ O 为坐标原点），则 C1 与 C2 的离心率之比为________.
16.如图，过抛物线焦点F的直线交抛物线C1：y2=4x于A，B两点，且|AF|=4，双曲线C2： y2a2−x2b2 =1（a>0，b>0)过点．B，则双曲线的离心率是________ ．
17.意大利画家达·芬奇在绘制《抱银貂的女子》（下图）时曾仔细思索女子脖子上的黑色项链的形状是什么曲线？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究发现悬链线方程与双曲余弦曲线密切关联，双曲余弦曲线 C 的解析式为 coshx=ex+e−x2 （ e 为自然对数的底数）.若直线 y=m 与双曲余弦曲线 C 交于点 A ， B ，曲线 C 在 A ， B 两点处的切线相交于点 P ，且 △APB 为等边三角形，则 m= ， |AB|= .
18.已知P为椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，B为椭圆右顶点，若 ∠PF1F2 平分线与 ∠PF2B 的平分线交于点 Q(6,6) ，则 SΔF1BQ+SΔF2BQ= ________.
19.已知F1､F2为双曲线 x2a2−y2b2 =1(a>0，b>0)的左､右焦点，过F2作倾斜角为60°的直线l交双曲线右支于A，B两点(A在x轴上方)，则 △AF1F2 的内切圆半径r1与 △BF1F2 的内切圆半径r2之比 r1r2 为________.
三、解答题
20.
（1）求与双曲线 x2−y24=1 有相同渐近线且过点 A(2,0) 的双曲线方程；
（2）已知双曲线的离心率为 3 ，求该双曲线渐近线方程.
21.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为（0,1）
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l2：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P ， 且与直线l1：y＝﹣1相交于点Q ， 试问，在坐标平面内是否存在点N ， 使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．
22.已知椭圆C： x2a2+y2b2= 1（a＞b＞0）的离心率为 22 ，短轴一个端点到右焦点的距离为3 2 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝x﹣1与椭圆C交于不同的两点A、B，求|AB|．
23.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 上的点 P 到左，右两焦点为 F1 ， F2 的距离之和为 22 ，离心率为 22 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点，若 y 轴上一点 M(0,37) 满足 |MA|=|MB| ，求直线 l 的斜率 k 的值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】由已知得 {2a=10a−c=1 ，
解得 {a=5c=4 ，
∴焦距为8.
故答案为：B
【分析】由椭圆的定义及性质列方程组，即可得到结果.
2.【答案】 D
【解析】解：根据题意，双曲线的方程为 x23−y26=1 ，
其焦点坐标为 (±3,0) ，其渐近线方程为 y=±2x ，即 2x±y=0 ，
则其焦点到渐近线的距离 d=|32|1+2=6 ；
故答案为：D.
【分析】根据题意由双曲线的方程可得其渐近线方程及焦点坐标，可得焦点到渐近线的距离.
3.【答案】 C
【解析】由椭圆 x29+y2m=1 的离心率为 53 ，得 m=4 或 m=814 ；
由 m=4 ，得椭圆 x29+y2m=1 的离心率为 53 ．
故“椭圆 x29+y2m=1 的离心率为 53 ”是“ m=4 ”的必要不充分条件．
故答案为：C
【分析】先等价转化椭圆的离心率，再利用充分条件与必要条件的定义判断，即可得出答案。
4.【答案】 D
【解析】抛物线 y2=2mx 与椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 有相同的焦点 F , P 是两曲线的公共点,
所以 F(m2,0) ,即椭圆中的 c=m2
设 P(y22m,y) ,由抛物线定义可知 |PF|=y22m+m2
由题意 |PF|=5m6 ,即 y22m+m2=5m6
化简可得 y2=2m23
将 c=m2 变形为 m=2c 代入等式可得 y2=8c23
则 P 的坐标可化为 P(2c3,26c3)
由点 P 在椭圆上,代入可得 {49c2a2+83c2b2=1b2=a2−c2 ,化简可得 4c4−37a2c2+9a4=0
除以 a4 可化为 4e4−37e2+9=0 即 (4e2−1)(e2−9)=0
解得 e2=14 或 e2=9
因为 e∈(0,1)
所以 e=12
故选:D
【分析】根据两个曲线的焦点相同,可得 c=m2 .由抛物线定义可得 y2=2m23 .结合两式即可用 c 表示出 P 点坐标.代入椭圆方程,化简后根据齐次式形式即可求得离心率.
5.【答案】 A
【解析】若 A 点在抛物线外部，如下图，设线段 AF 的中点为 B ，
因为线段 AF 的中垂线是 MB ，所以 |MF|=|MA| ，
由抛物线定义， |MF| 又等于点 M 到准线 l 的距离 d ，而图中 |MA|
若 A 点在抛物线内部，如下图，
设线段 AF 的中点为 B ， F(p2,0) ， M(3p,6) ，
因为线段 AF 的中垂线是 MB ，所以 |MF|=|MA| ，
再由抛物线定义得 4−3p=3p+p2 ，解得 p=2 或 p=6 ，
所以 p=2 时， |MF|=3p+p2=52 ，
p=6 时， |MF|=3p+p2=72 ，
故答案为：A.
【分析】由抛物线定义， |MF| 又等于点 M 到准线 l 的距离 d ，而图中 |MA|
【解析】因为双曲线 y2a2−x2b2=1(a>0,b>0) 的实轴长为6，所以 2a=6⇒a=3 ，
又因为双曲线 y2a2−x2b2=1(a>0,b>0) 的离心率 e=53 ，所以 e=ca=53⇒c3=53⇒c=5 ，双曲线 y2a2−x2b2=1(a>0,b>0) 的焦点在纵横上，
所以该双曲线焦点的坐标为 (0,±5) .
故答案为：D
【分析】根据双曲线离心率的公式，结合实轴长的定义，焦点坐标公式进行求解即可。
7.【答案】 B
【解析】【解答】设 A(x1,x123), B(x2,x223) ，由抛物线 C:x2=3y 知： y′=2x3 ，
∴切线 PA 、 PB 分别为： y−x123=2x13(x−x1) ， y−x223=2x23(x−x2) ，
联立 PA 、 PB 的方程，可得： P(x1+x22,x1x23) ，而 P(m,−34)(m∈R) ，
∴ x1x2=−94 ，若设直线 AB 为 y=kx+b ，联立抛物线方程得： x2−3kx−3b=0 ，
∴ x1x2=−3b=−94 ，即 b=34 ，
而 x1+x2=3k ，
∴ y1+y2=k(x1+x2)+32=3k2+32 ，故当 k=0 时 y1+y2 有最小值 32 ，
故答案为：B
【分析】由题意得到切线 PA 、 PB 的方程，联立求得 P 点坐标，结合已知 P(m,−34)(m∈R) ，即可的 x1x2=−94 ，设直线 AB 为 y=kx+b 联立抛物线方程可求 b=34 ，即可求 A 、 B 两点到 x 轴距离之和的最小值.
8.【答案】 B
【解析】设复数 z 在复平面内对应的点 Z ,
因为 z1=−1+i , z2=3−i ,
所以 z1,z2 在复平面内所对应的点 Z1 、 Z2 之间的距离为 25 >4 ,
由 |z−z1|−|z−z2|=4 ,可得 Z 的轨迹是以 Z1,Z2 为焦点,,实半轴长 a=2 ,半焦距 c=5 的双曲线的右支,
而 z1+z22 =−1+i+3−i2=1 ,且点 (1,0) 在直线 Z1Z2 上,
所以 |z−z1+z22| 的最小值等于 (3,−1) 与 (1,0) 之间的距离减去 (c−a) ,
即 (3−1)2+(−1−0)2 −(5−2) =2.
故答案为： B .
【分析】由题意可得复数 z 在复平面内对应的点 Z 的轨迹为以 Z1,Z2 为焦点,实半轴长为2,半焦距为 c=5 的双曲线,求出 z1+z22 对应的点 (1,0) ,然后利用双曲线的性质可得答案.
9.【答案】 A
【解析】如图所示：
因为 OP 在 y 轴上，且 OPNM 为平形四边形，
所以 OP//MN ，且 M,N 的横坐标相等，纵坐标互为相反数.
由题意得 P(0,−a) 则点 M(x,a2) ， N(x,−a2) .
将 N(x,−a2) 代入椭圆 y2a2+x2b2=1 得 x2=34b2 ， x=−32b .
即 N(−32b,−a2) ， kON=tanα=−a2−32b=a3b .
因为 α∈(π6,π4] ，所以 33
【分析】首先根据题意得 P(0,−a) ，则设点 M(x,a2) ， N(x,−a2) ，将 N(x,−a2) 代入椭圆 y2a2+x2b2=1 得到 N(−32b,−a2) ，求出 kON ，根据 α 的范围即可得到 33
【解析】由题意可知,画出几何图形如下图所示:
由椭圆与抛物线的对称性可知, AB与 y 轴交于椭圆的另一焦点 F' ,则 |FF'|=2c .
由椭圆定义可知 |AF'|+|AF|=2a ,且 ΔFAB 为正三角形
所以 |AF'|=12|AF|, 则 |AF'|=2a3,|AF|=4a3
由正三角形性质可知 ΔAF'F 为直角三角形
所以 (|AF'|)2+(|FF'|)2=|AF|2
即 (2a3)2+(2c)2=(4a3)2 ,化简可得 3c2=a2
所以 e=c2a2=13=33
故答案为：C
【分析】根据题意画出几何图形,由椭圆和抛物线的对称性可知AB与 y 轴交于椭圆的另一焦点 F' ,则 |FF'|=2c .根据正三角形性质可得 |AF'|=12|AF|, 结合椭圆定义 |AF'|+|AF|=2a ,可由勾股定理求得椭圆的离心率.
二、填空题
11.【答案】 4；(±1,0)
【解析】根据椭圆的方程得 a2=4,b2=3 ，
所以长轴长 2a=4 ，又 c2=a2−b2=4−3=1 ，即 c=1 ，
所以焦点坐标为 (±1,0) .
故答案为：4； (±1,0)
【分析】 直接利用椭圆方程求解,长轴长以及椭圆的焦点坐标即可.
12.【答案】 [33,32]
【解析】由题意可得 1a2+2b2=1 ，
所以 b2=2a2a2−1 ，
所以 b2a2=2a2−1 ，
又 e=ca=c2a2=1−b2a2=1−2a2−1 ，且 2≤a≤3 ，
所以 14≤2a2−1≤23 ，即 33≤e≤32 ，
该椭圆离心率的取值范围是 [33,32] .
故答案为： [33,32]
【分析】将点 (1,2), 代入可得 b2a2=2a2−1 ，由e=ca=c2a2=1−b2a2=1−2a2−1结合a的取值范围即可求解。
13.【答案】 4；（0,8）
【解析】设直线与抛物线交于 A、B 两点， A(x1,y1),B(x2,y2) ，
因为 |OA+OB|=|OA−OB| ，可得 (OA+OB)2=(OA−OB)2 ，
即 OA2+2OA⋅OB+OB2=OA2−2OA⋅OB+OB2 ，可得 OA⋅OB=0 ，
可得 OA⋅OB=x1x2+y1y2=0 ，所以 x1⋅x2+x122p⋅x222p=0 ，得到 x1⋅x2=−4p2 ，
设 l:y=kx+m ，代入抛物线 x2=2py 中，可得方程 x2−2pkx−2pm=0 ，
由韦达定理得 x1+x2=2pk,x1⋅x2=−2pm ，所以 m=2p ，
所以面积 S=12|m||x1−x2|=12|m|4p2⋅k2+8pm=p⋅4p2(k2+4)
=2p2⋅k2+4≥4p2 ，当且仅当 k=0 时，等号成立，即 4p2=64 ，解得 p=4 ，
所以 m=8 ，此时直线 y=kx+8 过定点（0,8）.
【分析】根据题意设出两个点的坐标再由直线与抛物线相交的性质结合韦达定理即可得到两根之和与两根之积关于m、p的关系式，结合三角形的面积公式结合基本不等式求出最小值即可。
14.【答案】 12
【解析】依题意 c=12a ，所以 e=12。
【分析】利用椭圆的定义结合等边三角形的性质，再利用焦距的定义推出a,c的关系式，再利用椭圆的离心率公式变形，从而求出椭圆的离心率。
15.【答案】 23
【解析】【解答】设右焦点为 F(c,0) ，根据椭圆和双曲线方程可得得 M(c,b2a1) ， N(c,b2a2) ， a1>a2 ，
若 S△OMNS△OFM=12 ，则 |FM||FN|=23 ，即 2⋅b2a2=3⋅b2a1 ，即 a2a1=23 ，
所以 e1e2=ca1ca2=a2a1=23 .
故答案为： 23 .
【分析】根据题意设出焦点坐标，利用椭圆与双曲线的abc关系，结合三角形的面积的比值，转化求解离心率之比即可．
16.【答案】 666
【解析】解：根据题意,抛物线y2=4x的焦点为F1，0 ， 准线方程为x=−1 ，
设Ax1，y1、Bx2，y2 ，
∵|AF|=4
∴x1+1=4 ，
解得x1=3 ，
∴y1=23 ，
∴直线AB的斜率为23−03−1=3
∴直线AB的方程为y=3x−1 ，
由y2=4xy=3x−1,整理可得3x2−10x+3=0 ，
解得x1=3，x2=13
当x2=13时，y2=233
∴A3，23 ， B13，233
∵双曲线C2过点A，B
把A，B代入双曲线C2的方程得12a2−9b2=143a2−19b2=1
解得a=305 ， b=1
∵c2=a2+b2
∴c=555
∴e=ca=555305=666
故答案为：666
【分析】根据抛物线的定义和性质，设Ax1，y1、Bx2，y2 ， 可以求出A坐标，再求出直线AB的方程，再求出点B的坐标，把A，B代入双曲线C2的方程，解得a，b的值，最后求出c ， 再根据双曲线的离心率e=ca ， 求出双曲线的离心率的值。
17.【答案】 2；2ln(2+3)
【解析】设 f(x)=coshx=ex+e−x2 ，则 f′(x)=ex−e−x2 ，
设 B(x0,ex0+e−x02) ，则 m=ex0+e−x02 ， kBP=ex0−e−x02 ，
所以直线 BP 为 y−ex0+e−x02=ex0−e−x02(x−x0) ，
又因为 f(−x)=f(x) ，
所以函数图象关于 y 轴对称，故点 P 在 y 轴上，
所以 P(0，(1−x0)ex0+(1+x0)e−x02) ，
因为 △APB 为等边三角形，则 3x0=ex0+e−x02−(1−x0)ex0+(1+x0)e−x02 ，
整理 ex0−e−x0=23 ，所以 ex0+e−x0=(ex0+e−x0)2=(ex0−e−x0)2+4=4 ，
因此 m=ex0+e−x02=2 ，
由 {ex0−e−x0=23ex0+e−x0=4 ，解得 ex0=2+3 ，所以 x0=ln(2+3) ，
则 |AB|=2x0=2ln(2+3) ，
故答案为：2； 2ln(2+3) .
【分析】结合导数的几何意义表示出切线BP的方程，进而根据函数的对称性，求出点P的坐标，然后根据等边三角形的性质求出ex0−e−x0=23 ， 进而可以求出ex0+e−x0=4 ， 因此可以得出m的值，结合{ex0−e−x0=23ex0+e−x0=4求得ex0的值，进而求出x0的值，从而可以求出 |AB| 。
18.【答案】 36
【解析】由题意可知， Q(6,6) 是三角形的旁心，可以判断出 Q(6,6) 点在直线 x=a 上，故 a=6 ， SΔF1BQ+SΔF2BQ=12|F1B|yQ+12|F2B|yQ=12×2a×6=12×2×6×6=36 .
【分析】根据Q坐标，求出a，表示三角形面积，即可求出面积之和.
19.【答案】 3
【解析】由内切圆的性质可知，△AF1F2 的内切圆 O1 和 △BF1F2 的内切圆 O2 都与 x 轴相切于双曲线的右顶点 C ，可知 O1,C,O2 三点共线，连接 O1O2 交 AB 于 D 点，
如图：
直线l的倾斜角为60°，所以 ∠CO1T1=60∘ ，
∠DO2T2=60∘ ，在 Rt△DO1T1 与 Rt△DO2T2 中，
则 O1D=2r1=2r2+r2+r1 ，则 r1r2 为 3。
故答案为：3
【分析】由内切圆的性质可知，△AF1F2 的内切圆 O1 和 △BF1F2 的内切圆 O2 都与 x 轴相切于双曲线的右顶点 C ，可知 O1,C,O2 三点共线，连接 O1O2 交 AB 于 D 点，再结合直线的倾斜角
为60°，所以 ∠CO1T1=60∘ ，∠DO2T2=60∘ ，在 Rt△DO1T1 与 Rt△DO2T2 中，结合直角三角形中角300所对的边等于斜边的一半的性质，进而求出O1D，r1的关系式，进而求出r，r2的关系式，再变形求出三角形 △AF1F2 的内切圆半径r1与三角形 △BF1F2 的内切圆半径r2之比。
三、解答题
20.【答案】 （1）解：由题意可设要求的双曲线方程为 x2−y24=λ≠0 ，
把点 A(2,0) 代入可得 4=λ .
∴双曲线方程为： x24−y216=1 .
（2）解：双曲线的离心率为 3 ，可得 ca=3 ，可得 a2+b2a2=3 ，所以 b=2a ，
当双曲线的焦点坐标在 x 轴时，双曲线的渐近线方程为： y=±2x ；
当双曲线的焦点坐标在 y 轴时，双曲线的渐近线方程为： y=±22x .
【解析】【分析】（1）由条件设双曲线方程为 x2−y24=λ≠0 ，将点 A(2,0) 代入可得答案.(2) 双曲线的离心率为 3 ，可得 ca=3 ,即 b=2a ，然后分焦点的位置进行分类讨论求解即可.
21.【答案】 （1）解：由题意， p2=1 ，
所以p＝2，
∴抛物线C的方程为：x2＝4y
（2）解：由 {x2=4yy=kx+m 得x2﹣4kx﹣4m＝0（*），
由直线y＝kx+m与抛物线C只有一个公共点，
可得 Δ=0 ，解得m＝﹣k2 ， 代入到（*）式得x＝2k，
∴P（2k,k2），
当y＝﹣1时，代入到y＝kx﹣k2
得Q（ k−1k，−1 ）， ∴以PQ为直径的圆的方程为： (x−2k)[x−(k−1k)]+(y−k2)(y+1)=0 ， 整理得： (1−y)k2−3x⋅k+x⋅1k+(x2+y2+y−2)=0 ， 若圆恒过定点，则 {1−y=0−3x=0x=0x2+y2+y−2=0 ， 解得 {x=0y=1 ，
∴存在点N（0,1），使得以PQ为直径的圆恒过点N．
【解析】【分析】（1）根据抛物线的交点坐标，即可得到 p ，从而求得抛物线方程；（2）根据抛物线与直线相切，求得切点的坐标，以及 k,m 之间的等量关系，再求出点 Q 的坐标，从而写出圆的方程，再求圆恒过的定点即可.
22.【答案】 （1）解：由题意：e =ca=22 ，a＝3 2 ，a2＝b2+c2 ， ∴a2＝18，b2＝9，
所以椭圆的标准方程： x218+y29=1
（2）解：设A（x，y），B（x'，y'），与椭圆的方程联立整理：3x2﹣4x﹣16＝0，
∴x+x' =43 ，xx' =−163 ，
所以弦长|AB| =1+12 •|x﹣x'| =2 • (x+x')2−4xx'=2 • (43)2−4⋅−163=4263 ，
所以弦长|AB|的值： 4263
【解析】（1）由题意得离心率及短轴一个端点到右焦点的距离即为a的值，和a，b，c之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆联立得两根之和与两根之积，由弦长公式求出弦长．
23.【答案】 （1）解： |PF1|+|PF2|=2a=22 ，∴ a=2 ，
e=ca=22 ，∴ c=22×2=1 ，∴ b2=a2−c2=2−1=1 ，
椭圆的标准方程为 x22+y2=1
（2）解：已知 F2(1,0) ,设直线的方程为 y=k(x−1) ， A(x1,y1) B(x2,y2) -，
联立直线与椭圆的方程 {y=k(x−1)x22+y2=1 ，化简得： (1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0 ，
∴ x1+x2=4k21+2k2 ， y1+y2=k(x1+x2)−2k=−2k1+2k2 ，
∴ AB 的中点坐标为 (2k21+2k2,−k1+2k2) ．
①当 k≠0 时， AB 的中垂线方程为 y−−k1+2k2=−1k(x−2k21+2k2) ，
∵ |MA|=|MB| ，∴点 M 在 AB 的中垂线上，将点 M 的坐标代入直线方程得：
37+k1+2k2=2k1+2k2 ，即 23k2−7k+3=0 ，
解得 k=3 或 k=36 ．
②当 k=0 时， AB 的中垂线方程为 x=0 ，满足题意，
∴斜率 k 的取值为 0， 3， 36
【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，求出a，结合离心率求出c，得到b，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设出直线斜率，根据点斜式，写出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，写出中点坐标和中垂线方程，解方程，求出k的值即可.
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