2020-2021学年28.2 解直角三角形及其应用习题课件ppt
展开已知两直角边解直角三角形
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,a=2 ,b=6,解这个直角三角形.
解:∵a=2 ,b=6,∴c= =4 .∵tan A= ,∴∠A=30°.∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°.
已知一直角边和斜边解直角三角形
2.如图,∠ACB=90°,AB=13,AC=12,∠BCM=∠BAC,求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离.
解:∵AB=13,AC=12,∠ACB=90°,∴BC= =5.∴sin ∠BAC= .设点B到直线MC的距离为d.∵∠BCM=∠BAC,∴sin ∠BAC=sin ∠BCM.
∵sin ∠BCM= ,即 ,∴d= .即点B到直线MC的距离为 .
已知一直角边和一锐角解直角三角形
3.如图,在△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AB=3.求:(1)AC的长;(2)BC的长.
解:(1)由题意知sin C= ,即 ,则AC=6.(2)由题意知tan C= ,即 ,则BC=3 .
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=3,D为AC边上一点,∠BDC=45°,求AD的长.
解:∵∠BDC=45°,BC=3,∠C=90°,∴CD=3.∵∠A=30°,BC=3,∴tan A= ,即AC=3 .∴AD=AC-CD=3 -3.
已知斜边和一锐角解直角三角形
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,c=10,解这个直角三角形.
解:∵∠B=45°,∠C=90°,c=10,∴∠A=90°-∠B=90°-45°=45°.∴∠A=∠B.∴a=b=c·sin 45°=10× =5 .
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,与BC相交于点D,且AB=4 ,求AD的长.
解:∵∠C=90°,∠B=30°,AB=4 ,∴∠CAB=60°,AC=AB·sin 30°=4 × =2 .又∵AD是∠BAC的平分线,∴∠CAD=30°.∵cs ∠CAD= ,∴AD=4.
已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形
7.如图,在△ABC中,点D是AB的中点,DC⊥AC,且tan ∠BCD= ,求∠A的三角函数值.
a.化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)
解:如图,过点D作CD的垂线交BC于点E.在Rt△CDE中,∵tan ∠BCD= ,∴可设DE=x,则CD=3x.∵CD⊥AC,∴DE∥AC.又∵点D为AB的中点,∴点E为BC的中点.
∴DE= AC.∴AC=2DE=2x.在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=2x,CD=3x,∴AD= = x.∴sin A= ,cs A= ,tan A= .
8.(中考·北京)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,∠BAC=90°,∠CED=45°,∠DCE=30°,DE= ,BE=2 .求CD的长和四边形ABCD的面积.
b.化解四边形问题为解直角三角形问题
解:如图,过点D作DH⊥AC于点H.∵∠CED=45°,DH⊥EC,DE= ,∴EH=DE·cs 45°= =1.∴DH=1.又∵∠DCE=30°,∴HC= ,CD= =2.
∵∠AEB=∠CED=45°,∠BAC=90°,BE=2 ,∴AB=AE=2.∴AC=AE+EH+HC=2+1+ =3+ .∴S四边形ABCD= ×2×(3+ )+ ×1×(3+ )= .
9.已知a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,关于x的一元二次方程a(1-x2)+2bx+c(1+x2)=0有两个相等的实数根,且3c=a+3b.(1)判断△ABC的形状;(2)求sin A+sin B的值.
c.化解方程问题为解直角三角形问题
解:(1)将方程整理,得(c-a)x2+2bx+(a+c)=0,则Δ=(2b)2-4(c-a)(a+c)=4(b2+a2-c2).∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=0,即b2+a2=c2.∴△ABC为直角三角形.
(2)由3c=a+3b,得a=3c-3b.①将①代入a2+b2=c2,得(3c-3b)2+b2=c2.∴4c2-9bc+5b2=0,即(4c-5b)(c-b)=0.由①可知b≠c,∴4c=5b.∴b= c.②
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