2022年高考数学二轮复习《概率与统计》通关练习卷（含详解）

这是一份2022年高考数学二轮复习《概率与统计》通关练习卷（含详解），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
抛掷红、蓝两枚骰子，当已知红色骰子的点数为偶数时，两颗骰子的点数之和不小于9的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,9) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,12)
P为圆C1：x2＋y2=9上任意一点，Q为圆C2：x2＋y2=25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C2内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为( )
A.eq \f(13,25) B.eq \f(3,5) C.eq \f(12,25π) D.eq \f(3,5π)
从[－6，9]中任取一个m，则直线3x＋4y＋m=0被圆x2＋y2=2截得的弦长大于2的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(2,5) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,5)
近两年支付宝推出了“集福卡，发红包”的活动，用户只要集齐5张福卡，就可平分春晚支付宝2亿元的超级大红包.若在活动的开始阶段，支付宝决定先随机的从富强福，和谐福，友善福，爱国福，敬业福5个福中选出3个福，投放到支付宝用户中，则富强福和友善福至少有1个被选到的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(9,10)
齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则齐王的马获胜概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(3,4)
从1,2,3,6中随机取出三个数字，则数字2是这三个数字的平均数的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这三个项目都有人参加的概率为( )
A.eq \f(8,9) B.eq \f(4,9) C.eq \f(2,9) D.eq \f(8,27)
甲邀请乙、丙、丁三人加入了“兄弟”这个微信群聊，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，若三人抢到的钱数均为整数，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(3,10) C.eq \f(2,5) D.eq \f(3,4)
某食品厂制作了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”“和谐福”“友善福”，每袋食品中随机装入一张卡片.若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为( )
A.eq \f(3,16) B.eq \f(4,9) C.eq \f(3,8) D.eq \f(8,9)
将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP=eq \f(1,3)AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,7) D.eq \f(3,8)
《九章算术》中有如下问题：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步.现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A.eq \f(3π,10) B.eq \f(3π,20) C.1－eq \f(3π,10) D.1－eq \f(3π,20)
二、填空题
某优秀学习小组有6名同学，坐成三排两列，现从中随机抽取2人代表本小组展示小组合作学习成果，则所抽的2人来自同一排的概率是________.
连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i次得到的向上一面的点数为ai，若存在正整数k，
使a1＋a2＋…＋ak=6，则称k为幸运数字，则幸运数字为3的概率是________.
口袋中有形状、大小完全相同的4个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________.
甲、乙两人玩猜数字的游戏，先由甲任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________.
三、解答题
为了丰富退休生活，老王坚持每天健步走，并用计步器记录每天健步走的步数.他从某月中随机抽取20天的健步走步数(老王每天健步走的步数都在[6,14]之间，单位：千步)，绘制出频率分布直方图(不完整)如图所示.
(1)完成频率分布直方图，并估计该月老王每天健步走的平均步数(每组数据可用区间中点值代替)；
(2)某健康组织对健步走步数的评价标准如下表：
现从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，求这2天的健步走结果属于同一评价级别的概率.
全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年1月某日起连续n天监测空气质量指数(AQⅠ)，数据统计如下：
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；
(2)在空气质量指数分别属于[50,100)和[150,200)的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率.
从某工厂抽取50名工人进行调查，发现他们一天加工零件的个数在50至350个之间，现按生产的零件的个数将他们分成六组，第一组[50，100)，第二组[100，150)，第三组[150，200)，第四组[200，250)，第五组[250，300)，第六组[300，350]，相应的样本频率分布直方图如图所示：
(1)求频率分布直方图中的x的值；
(2)设位于第六组的工人为拔尖工，位于第五组的工人为熟练工，现用分层抽样的方法在这两类工人中抽取一个容量为6的样本，从样本中任意抽2人，求至少有一个拔尖工的概率.
有一个不透明的袋子，装有三个完全相同的小球，球上分别编有数字1，2，3.
(1)若逐个不放回取球两次，求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率；
(2)若先从袋中随机取一个球，该球的编号为a，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为b，求直线ax＋by＋1=0与圆x2＋y2=eq \f(1,9)有公共点的概率.
某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下(单位：cm).
甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41
乙：10 24 26 30 34 37 44 46 47 48
(1)用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结论；
(2)苗圃基地分配这20株树苗的栽种任务，小王在苗高大于40 cm的5株树苗中随机的选种2株，则小王没有选到甲苗圃树苗的概率是多少？
已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是eq \f(1,2).
(1)求n的值.
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；
②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率.
某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分析制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.
(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])
(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？
(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，
求至少有一名男生的概率.
\s 0 答案解析
答案为：C；
解析：抛掷红、蓝两枚骰子，第一个数字代表红色骰子，第二个数字代表蓝色骰子，
当红色骰子点数为偶数时，有18种，分别为：(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，
其中两颗骰子点数之和不小于9的有6种，分别为：(4，5)，(4，6)，(6，3)，(6，4)，
(6，5)，(6，6)，
所以当已知红色骰子的点数为偶数时，两颗骰子的点数之和不小于9的概率是P=eq \f(6,18)=eq \f(1,3).
故选C.
答案为：B；
解析：设Q(x0，y0)，中点M(x，y)，则P(2x－x0，2y－y0)代入x2＋y2=9，
得(2x－x0)2＋(2y－y0)2=9，化简得：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(x0,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(y0,2)))eq \s\up12(2)=eq \f(9,4)，
又xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)=25表示以原点为圆心半径为5的圆，
故易知M的轨迹是在以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0,2)，\f(y0,2)))为圆心，以eq \f(3,2)为半径的圆绕原点一周所形成的图形，
即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有x2＋y2=r2(1≤r≤4)，
那么在C2内部任取一点落在M内的概率为eq \f(16π－π,25π)=eq \f(15,25)=eq \f(3,5).故选B.
答案为：A；
解析：所给圆的圆心为坐标原点，半径为eq \r(2)，当弦长大于2时，圆心到直线l的距离小于1，即eq \f(|m|,5)＜1，所以－5＜m＜5，故所求概率P=eq \f(5－（－5）,9－（－6）)=eq \f(2,3).
答案为：D；
解析：法一：为了便于列举，我们用a，b分别表示富强福和友善福，用1，2，3表示和谐福，爱国福，敬业福，从五福中随机选三福的基本事件有：ab1，ab2，ab3，a12，a13，a23，b12，b13，b23，123，共10个.其中富强福和友善福(即a和b)至少有1个被选到的基本事件有：ab1，ab2，ab3，a12，a13，a23，b12，b13，b23，共9个，所以富强福和友善福至少有1个被选到的概率为P=eq \f(9,10).
法二：事件“富强福和友善福至少有1个被选到”的对立事件是“富强福和友善福都未被选到”.由法一知基本事件共有10个，其中富强福和友善福都未被选到的只有123一个，根据对立事件的概率公式可得，富强福和友善福至少有1个被选到的概率为P=1－eq \f(1,10)=eq \f(9,10).
答案为：B；
解析：齐王的马获胜概率为eq \f(3＋2＋1,3×3)=eq \f(2,3)，故选B.
答案为：A；
解析：从1,2,3,6中随机取出三个数字，总的基本事件为(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,6)，(2,3,6)，共4个，则数字2是这三个数字的平均数所包含的基本事件为(1,2,3)，共1个.故数字2是这三个数字的平均数的概率是eq \f(1,4).故选A.
答案为：B；
解析：基本事件总数n=34=81，这三个项目都有人参加所包含的基本事件个数m=Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)=36，
故这三个项目都有人参加的概率为P=eq \f(m,n)=eq \f(36,81)=eq \f(4,9).
答案为：C；
解析：设乙、丙、丁分别抢到x元，y元，z元，记为(x，y，z)，则基本事件有(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，(2,3,4)，(2,4,3)，(3,2,4)，(3,4,2)，(4,3,2)，(4,2,3)，(3,3,3)，共10个，其中符合丙获得“手气最佳”的有4个，所以丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概率P=eq \f(4,10)=eq \f(2,5).故选C.
答案为：B；
解析：将3种不同的精美卡片随机放进4个食品袋中，根据分步乘法计数原理可知共有34=81种不同放法，4个食品袋中3种不同的卡片都有的放法共有3×Ceq \\al(2,4)×Aeq \\al(2,2)=36种，根据古典概型概率公式得，能获奖的概率为eq \f(36,81)=eq \f(4,9)，故选B.
答案为：B；
解析：A，B，C，D4名同学排成一排有Aeq \\al(4,4)=24种排法.当A，C之间是B时，有2×2=4种排法，当A，C之间是D时，有2种排法.所以所求概率为eq \f(4＋2,24)=eq \f(1,4)，故选B.
答案为：A；
解析：设OA=3，则AB=3eq \r(3)，AP=eq \r(3)，由余弦定理可求得OP=eq \r(3)，则∠AOP=30°，
所以扇形AOC的面积为eq \f(3π,4)，又扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为eq \f(\f(3π,4),3π)=eq \f(1,4).
答案为：D；
解析：直角三角形的斜边长为eq \r(82＋152)=17，
设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r=17，解得r=3.∴内切圆的面积为πr2=9π，
∴豆子落在内切圆外的概率P=1－eq \f(9π,\f(1,2)×8×15)=1－eq \f(3π,20).
答案为：eq \f(1,5)
解析：某优秀学习小组有6名同学，坐成三排两列，现从中随机抽取2人代表本小组展示小组合作学习成果，基本事件总数n=15，所抽的2人来自同一排包含的基本事件个数m=Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,2)=3，
则所抽的2人来自同一排的概率是P=eq \f(m,n)=eq \f(3,15)=eq \f(1,5).
答案为：eq \f(5,108)
解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子3次，所含基本事件总数n=6×6×6，
要使a1＋a2＋a3=6，则a1，a2，a3可取1,2,3或1,1,4或2,2,2三种情况，
其所含的基本事件个数m=Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,3)＋1=10.
故幸运数字为3的概率为P=eq \f(10,6×6×6)=eq \f(5,108).
答案为：eq \f(2,3).
解析：从袋中一次随机摸出2个球，共有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}
6个基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有{1,4}，{2,3}，
{2,4}，{3,4}，共4个，因此摸出的2个球的编号之和大于4的概率为eq \f(4,6)=eq \f(2,3).
答案为：eq \f(5,8)
解析：两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，有16种情况，其中满足|a－b|≤1的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10种，故这两人“心有灵犀”的概率为eq \f(10,16)=eq \f(5,8).
解：(1)设落在分组[10,12)中的频率为x，
则(0.05+0.075+0.5x+0.125)×2=1，得x=0.5，
所以各组中的频数分别为2,3,10,5.
完成的频率分布直方图如图所示：
老王该月每天健步走的平均步数约为
(7×0.05＋9×0.075＋11×0.25＋13×0.125)×2=10.8(千步).
(2)设评价级别是及格的2天分别为a，b，评价级别是良好的3天分别为x，y，z，
则从这5天中任意抽取2天，共有10种不同的结果：
ab，ax，ay，az，bx，by，bz，xy，xz，yz，
所抽取的2天属于同一评价级别的结果共4种：ab，xy，xz，yz.
所以，从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，
属于同一评价级别的概率P=eq \f(4,10)=eq \f(2,5).
解：(1)∵0.004×50=eq \f(20,n)，
∴n=100，∵20＋40＋m＋10＋5=100，
∴m=25，eq \f(40,100×50)=0.008；eq \f(25,100×50)=0.005；eq \f(10,100×50)=0.002；eq \f(5,100×50)=0.001.
(2)在空气质量指数为[50,100)和[150,200)的监测天数中分别抽取4天和1天，
在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50,100)的4天分别记为a，b，c，d；
将空气质量指数为[150,200)的1天记为e，从中任取2天的基本事件分别为：
(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，
(d，e)，共10种，
其中事件A“两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，
(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6种，
所以事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率是P(A)=eq \f(6,10)=eq \f(3,5).
解：(1)根据题意，
(0.002 4＋0.003 6＋x＋0.004 4＋0.002 4＋0.001 2)×50=1，解得x=0.006 0.
(2)由题知拔尖工共有3人，熟练工共有6人.
抽取容量为6的样本，则其中拔尖工有2人，熟练工有4人.可设拔尖工为A1，A2，
熟练工为B1，B2，B3，B4.
则从样本中任抽2人的基本事件有：
A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A1A2，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，
共15种，
至少有一个是拔尖工的基本事件有A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A1A2，
共9种.
故至少有一个拔尖工的概率是eq \f(9,15)=eq \f(3,5).
解：(1)用(p，q)(p表示第一次取到球的编号，q表示第二次取到球的编号)表示先后两次取球构成的基本事件，则基本事件有(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共6个.
设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除”为事件A，
则事件A包含的基本事件有(2，1)，共1个，所以P(A)=eq \f(1,6).
(2)由题意得，所有基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共9个.
设“直线ax＋by＋1=0与圆x2＋y2=eq \f(1,9)有公共点”为事件B，由题意知eq \f(1,\r(a2＋b2))≤eq \f(1,3)，
即a2＋b2≥9，
故事件B包含的基本事件有(1，3)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共5个，
所以P(B)=eq \f(5,9).
解：(1)画出茎叶图如图：
①乙品种树苗的平均高度大于甲品种树苗的平均高度(或：乙品种树苗的高度普遍大于甲品种树苗的高度).
②乙品种树苗的高度较甲品种树苗的高度更分散.(或：甲品种树苗的高度较乙品种树苗的高度更集中(稳定)).
③甲品种树苗的高度的中位数为27 cm，乙品种树苗的高度的中位数为35.5 cm.(写出任意两条即可)
(2)在苗高大于40 cm的5株树苗中，记甲苗圃这株苗为a，乙苗圃中4株苗分别为b，c，d，e，
则任取两株共有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种情形，不含a的有6种bc，bd，be，cd，ce，de.
所以小王没有选到甲苗圃树苗的概率为P=eq \f(6,10)=eq \f(3,5).
解：(1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，
从袋子中随机抽取1个小球，
取到标号为2的小球概率为eq \f(n,n＋2)=eq \f(1,2)，得n=2.
(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，
(a，b)所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，
(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12种，
而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)=eq \f(8,12)=eq \f(2,3).
②由①可知，(a－b)2≤4，故x2＋y2＞4，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，
则全部结果所构成的区域为Ω=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R))，
由几何概型得概率为P=eq \f(22－\f(1,4)π·22,22)=1－eq \f(π,4).
解：(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10=30，
女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10=45.
(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是eq \f(5,30＋45)=eq \f(1,15)，
所以样本中包含的男生人数为30×eq \f(1,15)=2，女生人数为45×eq \f(1,15)=3.
则从5人中任意选取2人共有Ceq \\al(2,5)=10种，抽取的2人中没有一名男生有Ceq \\al(2,3)=3(种)，
则至少有一名男生有Ceq \\al(2,5)－Ceq \\al(2,3)=7(种).
故至少有一名男生的概率为P=eq \f(7,10)，即选取的2人中至少有一名男生的概率为eq \f(7,10).
每天步数分组(千步)
[6,8)
[8,10)
[10,14]
评价级别
及格
良好
优秀
空气质量指数
(μg/m3)
[0,50)
[50,100)
[100,150)
[150,200)
[200,250]
空气质量等级
空气优
空气良
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
20
40
m
10
5