2022年高考数学二轮复习《坐标系与参数方程》通关练习卷（含详解）

这是一份2022年高考数学二轮复习《坐标系与参数方程》通关练习卷（含详解），共7页。

已知曲线C1的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2＋2csθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ.
(1)求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；
(2)A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△AOB的面积(O为坐标原点).
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cst，,y＝2sint))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C3的极坐标方程为θ=eq \f(π,6)(ρ>0).
(1)求曲线C1的极坐标方程和C3的直角坐标方程；
(2)设C3分别交C1，C2于点P，Q，求△C1PQ的面积.
在平面直角坐标系xOy中，已知直线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4－t，,y＝t－1))(t是参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C2：ρ=8sinθ.
(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)判断直线C1与曲线C2的位置关系，若相交，求出弦长.
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)csα，,y＝sinα))(α为参数)，在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为eq \f(\r(2),2)ρcs（θ+eq \f(π,4)）=－1.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)过点M(－1,0)且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积.
选修4­4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，半圆C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs φ,y＝sin φ))(φ为参数，0≤φ≤π).
以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋eq \r(3)cs θ)=5eq \r(3)，射线OM：θ=eq \f(π,3)与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.
选修4­4：坐标系与参数方程
已知在一个极坐标系中点C的极坐标为(2,eq \f(π,3)).
(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形；
(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，－\r(3)))，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程.
选修4­4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(\r(2),2)＋rcs θ，,y＝－\f(\r(2),2)＋rsin θ))(θ为参数，r＞0).
以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+eq \f(π,4))=eq \f(\r(2),2).
(1)写出圆心的极坐标；
(2)求当r为何值时，圆O上的点到直线l的最大距离为3.
选修4­4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))),y＝sin 2α＋1))(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=4ρsin θ－3.
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
(2)求曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值.
\s 0 答案解析
解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2＋2csθ，,y＝2sinθ，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝2csθ，,y＝2sinθ，))
所以(x＋2)2＋y2=4，
又由ρ=4sinθ，
得ρ2=4ρsinθ，
得x2＋y2=4y，把两式作差得，y=－x，
代入x2＋y2=4y得交点坐标为(0,0)，(－2,2).
(2)如图，
由平面几何知识可知，当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，
此时|AB|=2eq \r(2)＋4，O到AB的距离为eq \r(2)，
∴△OAB的面积为S=eq \f(1,2)(2eq \r(2)＋4)·eq \r(2)=2＋2eq \r(2).
解：(1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2=4，即x2＋y2－4x=0，
所以C1的极坐标方程为ρ2－4ρcsθ=0，
即ρ=4csθ.
曲线C3的直角坐标方程为y=eq \f(\r(3),3)x(x>0).
(2)依题意，设点P，Q的坐标分别为（ρ1，eq \f(π,6)），（ρ2，eq \f(π,6)），
将θ=eq \f(π,6)代入ρ=4csθ，得ρ1=2eq \r(3)，
将θ=eq \f(π,6)代入ρ=2sinθ，得ρ2=1，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ))=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ρ1－ρ2))=2eq \r(3)－1，依题意得，
点C1到曲线θ=eq \f(π,6)的距离为d=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OC1))sineq \f(π,6)=1，
所以S△C1PQ=eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ))·d=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)－1))=eq \r(3)－eq \f(1,2).
解：(1)由C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4－t，,y＝t－1))(t是参数)消去t得x＋y－3=0，
所以直线C1的普通方程为x＋y－3=0.
把ρ=8sinθ的两边同时乘ρ，
得ρ2=8ρsinθ，
因为x2＋y2=ρ2，y=ρsinθ，
所以x2＋y2=8y，
即x2＋(y－4)2=16，
所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－4)2=16.
(2)由(1)知，曲线C2：x2＋(y－4)2=16是圆心坐标为(0,4)，半径为4的圆，
所以圆心(0,4)到直线x＋y－3=0的距离d=eq \f(|0＋4－3|,\r(2))=eq \f(\r(2),2)<4，
所以直线C1与曲线C2相交，其弦长为2eq \r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)=eq \r(62).
解：(1)曲线C化为普通方程为eq \f(x2,3)＋y2=1，
由eq \f(\r(2),2)ρcs（θ+eq \f(π,4)）=－1，得ρcsθ－ρsinθ=－2，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2=0.
(2)直线l1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数)，
代入eq \f(x2,3)＋y2=1化简得，2t2－eq \r(2)t－2=0，
设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，则t1t2=－1，
所以|MA|·|MB|=|t1t2|=1.
解：(1)半圆C的普通方程为(x－1)2＋y2=1(0≤y≤1)，
又x=ρcs θ，y=ρsin θ，
所以半圆C的极坐标方程是ρ=2cs θ，
θ∈[0,eq \f(π,2)].
(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρ1＝2cs θ1,θ1＝\f(π,3)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρ1＝1,θ1＝\f(π,3)))，
设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρ2（sin θ2＋\r(3)cs θ2）＝5\r(3),θ2＝\f(π,3)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρ2＝5,θ2＝\f(π,3)))，
由于θ1=θ2，所以|PQ|=|ρ1－ρ2|=4，
所以线段PQ的长为4.
解：(1)如图，
设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC=θ－eq \f(π,3)或eq \f(π,3)－θ.
由余弦定理得4＋ρ2－4ρcs(θ－eq \f(π,3))=4，
所以圆C的极坐标方程为ρ=4cs(θ－eq \f(π,3)).
作图如图所示.
(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，eq \r(3))，
可设圆C上任意一点P(1＋2cs α，eq \r(3)＋2sin α)，
又令M(x，y)，由Q(5，－eq \r(3))，M是线段PQ的中点，
得M的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(6＋2cs α,2),y＝\f(2sin α,2)))(α为参数)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3＋cs α,y＝sin α))(α为参数)，
所以点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2=1.
解：(1)由已知可得圆心O的直角坐标为(－eq \f(\r(2),2),－eq \f(\r(2),2))，
所以圆心O的极坐标为(1,eq \f(5π,4)).
(2)由直线l的极坐标方程可得直线l的直角坐标方程为x＋y－1=0，
所以圆心O到直线l的距离d=eq \f(|－\r(2)－1|,\r(2))，
圆O上的点到直线l的距离的最大值为eq \f(|－\r(2)－1|,\r(2))＋r=3，解得r=2－eq \f(\r(2),2).
解：(1)x2=[eq \r(2)sin(α+eq \f(π,4))]2=(sin α＋cs α)2=sin 2α＋1=y，
所以C1的普通方程为y=x2.将ρ2=x2＋y2，ρsin θ=y代入C2的方程得x2＋y2=4y－3，
所以C2的直角坐标方程为x2＋y2－4y＋3=0.
(2)将x2＋y2－4y＋3=0变形为x2＋(y－2)2=1，它的圆心为C(0，2).
设P(x0，y0)为C1上任意一点，则y0=xeq \\al(2,0)，
从而|PC|2=(x0－0)2＋(y0－2)2=xeq \\al(2,0)＋(xeq \\al(2,0)－2)2=xeq \\al(4,0)－3xeq \\al(2,0)＋4=（xeq \\al(2,0)-eq \f(3,2)）2＋eq \f(7,4)，
所以当xeq \\al(2,0)=eq \f(3,2)时，|PC|min=eq \f(\r(7),2)，
故曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值为eq \f(\r(7),2)－1.