2021北京朝阳高三（上）期中数学考试卷

2021北京朝阳高三（上）期中

数    学（有答案）

2021.11

（考试时间120分钟   满分150分）

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.若集合，则

A. B. 

C.  D.

2.下列各组向量中，可以作为基底的是

A.  B. 

C. D.

3.设，则“”是“复数为纯虚数”的

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件 

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

4.在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与原点重合，始边均与轴的非负半轴重合，它们的终边关于轴对称，若，则

A. B.  C. D.

5.若函数为奇函数，则实数

A. B. C. D.

6.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”后人称为“赵爽弦图”。他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识。“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则

A.  B.

C.  D.

7.已知函数，若存在，使函数恰有三个零点，则实数的取值范围是

A. B. C.  D.

8.如图，在直角梯形中，是线段上的动点，则的最小值为

A.  B.

C.   D.

9.鲜花店鲜花的售价随进价的变化而变化。已知某鲜花店鲜花在第一天的进价为4元/枝，售价为10元/枝,并规定从第二天起，该鲜花当日售价的涨跌幅是当日进价的涨跌幅的。

注:，

每枝花的当日差价=当日售价-当日进价.

鲜花进价与售价表

以下结论正确的是

A. B.

C.这5天内鲜花第二天的当日差价最大 D. 这5天内鲜花第一天的当日差价最小

10.对任意非空有限数集，我们定义其“绝对交错和”如下：设，其中，则的“绝对交错和”为；当时，的“绝对交错和”为，若数集，则的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上.

11.函数的定义域是.

12.设等比数列的前项和为，公比为，若，则，

13.能使命题“若，则为等腰三角形”为假命题的一组的值是.

14.北京2022年冬奥会将于2022年2月4日开幕.某社区为了宣传冬奥会，决定在办公楼外墙建一个面积为的矩形展示区,并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏(如图所示)，要求上下各空0.25m，左右各空0.25m，相邻宣传栏之间也空0.25m.设三个宣传栏的面积之和为(单位:),则的最大值为_

15.已知函数.给出下列四个结论：

①的最小正周期为.

②在区间上单调递减.

③的最大值为1.

④当时，取得极值.

以上正确结论的序号是.（写出所有正确的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程

16.（本小题13分）

在中，角的对边分别为.

（Ⅰ）求及的值；

（Ⅱ）求边上的高.

17.（本小题13分）

已知数列的前项和为.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若数列是等差数列，且，求数列的通项公式；

（Ⅲ）设，求.

18.（本小题14分）

已知函数.在从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，求：

（Ⅰ）函数的解析式；

（Ⅱ）函数的单调递增区间.

条件①: 的最大值为1；

条件②: 的一条对称轴是直线；

条件③: 的相邻两条对称轴之间的距离为.

19.（本小题15分）

已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）当时，求证：函数在区间上有且仅有一个零点.

20.（本小题15分）

已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当，求证：；

（Ⅲ）若对恒成立，求实数的最大值.

21（本小题满分15分）

对任意正整数，各项均不相同的数列满足下列性质：

①，当时，，其中是小于且与的最大公约数是1的正整数的个数；

②；

③对任意均为正整数且；

④对任意，其中，表示不超过的最大整数，如.

例如

（Ⅰ）对任意求证；

（Ⅱ）写出及数列；

（Ⅲ）求的值.

2021北京朝阳高三（上）期中数学

参考答案

一、选择题：（本题满分40分）

二、填空题：（本题满分25分）

三、解答题：（本题满分85分）

16.(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）在中，由，得.

由正弦定理,

所以.

由余弦定理，

所以，

.

解得，（舍）.所以.……………………8分

（Ⅱ）方法1：在中，边上的高为.

方法2：=，又，所以.………13分

17.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）令，，所以.

令，，所以.…………………………4分

（Ⅱ）令，,

解得．

设数列的公差为，

则，．

所以．所以，.……………………8分

（Ⅲ）当时，；

当时，，所以．

所以数列是以为首项，为公比的等比数列．

所以，．

由（Ⅱ）可知，，．

因为，，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列．

所以,.……………………13分

18.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）

.

若条件①已知，则，所以.

当时，，则是函数的一个对称中心，这与条件②中直线是的一条对称轴矛盾.

若条件③已知，则，又因为，所以.

因此，选择条件①③能确定函数的解析式.

所以，.

则.………………8分

（Ⅱ）由，

得，

又，

所以函数的单调增区间为.………………14分

19.（本小题满分15分）

解：（Ⅰ）函数的定义域为.

.

①当时，，

当时，在区间上单调递增；

当时，在区间上单调递减.

②当时，.

当时，在区间上单调递减；

当时，在区间上单调递增；

当时，在区间上单调递减.………………10分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：当时，在区间上单调递增，由于，

所以函数在区间上单调递增，且，.

所以函数在区间上有且仅有一个零点.………………15分

20.（本小题满分15分）

（Ⅰ）解：函数的定义域为.

,

所以.

又，切点坐标为，

所以曲线在点处的切线方程为.………………4分

（Ⅱ）解：当时，.

因为，所以.

设，则当时，.

所以在区间上单调递增.

所以当时，.

即得证.

所以当时，.

所以在区间上单调递增.

又,

所以当时，.………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时,对恒成立.

当时，

.

设,

则.

由于，所以.

，

其中且.

取.当时，，则在区间上单调递减.

所以当时，即.

由于当时，,所以当时，.

所以在区间上单调递减.

所以当时,.

所以当时，并非对恒成立.

综上可知，的最大值为.………………15分

21.（本小题满分15分）

解：（Ⅰ）对任意，因为，

所以.………………4分

（Ⅱ）.

；

.………………10分

（Ⅲ）因为对任意，

，

所以对任意，.

当时，，

所以，

所以

所以.………………15分