2021北京海淀初三（上）期中数学 试卷

2021北京海淀初三（上）期中

数    学（有答案）

                   2021.11

学校_____________姓名_____________准考证号_____________

第一部分  选择题

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1 - 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是

（A）1，， 　（B）1，6，1  （C）0，，1  （D）0，6，

2．中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是

       （A）           （B）              （C）             （D）

3．将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线是 

（A） （B）   （C） （D）

4．用配方法解方程，下列变形正确的是

（A）   （B）  （C） （D）

5．如图，是半圆的直径，点，在半圆上．
若，则的度数为

（A）   　（B）

（C）     （D）

6．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是

（A）点A  （B）点B   （C）点C  （D）点D

7．已知抛物线，其中，．下列说法正确的是

（A）该抛物线经过原点

（B）该抛物线的对称轴在轴左侧

（C）该抛物线的顶点可能在第一象限

（D）该抛物线与轴必有公共点

8．如图，在中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点从点开始沿边向点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点开始沿向点以每秒2个单位长度的速度移动．设运动时间为，点，之间的距离为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是

（A）正比例函数关系，一次函数关系  （B）正比例函数关系，二次函数关系

（C）一次函数关系，正比例函数关系  （D）一次函数关系，二次函数关系

第二部分  非选择题

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．若点与点关于原点对称，则点的坐标为          ．

10．若点，都在二次函数的图象上，则与的大小关系是：    （填“”，“”或“”）．

11．如图，矩形中，，．以点为中心，
将矩形旋转得到矩形，使得点落在边上，此时的长为          ．

　　 第12题图                 第13题图                  第15题图

12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为          ．

13．如图，，为的三等分点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，，连接．若，则的长为          ．

14．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”
译文：“矩形面积是平方步，宽比长少12步，求长、宽分别是多少步？”设矩形的长为步，可列方程为          ．

15．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点，，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，测出，的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出cm，cm，则轮子的半径为__________ cm．

16．已知，为抛物线 () 上任意两点，其中．若对于，都有，则的取值范围是          ．

三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．解方程：．

18．如图，是等边三角形，点在边上，以为边作等边△．连接，．

求证：．

19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）一次函数 () 的图象也经过点，，结合图象，直接写出不等式的解集．

20．如图，，是⊙上的两点，是的中点．求证：．

21．已知：，是直线上的两点．

求作：，使得点在直线上方，且．

作法：

① 分别以，为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点；

② 以点为圆心，长为半径画圆；

③ 在劣弧上任取一点（不与，重合），连接，．就是所求作的三角形．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：在优弧上任取一点（不与，重合），连接，，，．

∵，

∴是等边三角形．

∴．

∵，，在⊙上，

∴（_____________）（填推理的依据）．

∴．

∵ 四边形内接于⊙，

∴（_____________）（填推理的依据）．

∴．

22．已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程的两个根均为负数，求的取值范围．

23．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，1 m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示．

（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；

（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；

（3）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于10 m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．

24．关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成() 的形式．现列表探究的变形：

回答下列问题：

（1）表格中的值为_______；

（2）观察上述探究过程，表格中与满足的等量关系为__________；

（3）记的两个变形为和()，则的值为                ．

25．如图，为⊙的直径，弦与交于点，，．

（1）求的度数；

（2）若，求的长．

26．在平面直角坐标系中，抛物线 () 经过点，与轴交于点．

（1）直接写出点的坐标；

（2）点是抛物线上一点，当点在抛物线上运动时，存在最大值．

① 若，求抛物线的表达式；

② 若，结合函数图象，直接写出的取值范围．

27．如图，已知()，是的平分线，，分别在，上，且∥．以点为中心，将线段旋转到处，使点的对应点恰好在射线上，在射线上取一点，使得．

（1）① 依题意补全图；

② 求证：=+；

（2）连接，若，求的度数，并直接写出的值．

28．在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点，轴正半轴上存在点，使，且（如图1），则称点与点为-关联点．

（1）在点，中，与为45°-关联点的是________；

（2）如图2，，， .若线段上存在点，使点与点为45°-关联点，结合图象，求的取值范围；

（3）已知点，.若线段上至少存在一对30°-关联点，直接写出的取值范围．

                     图2                                备用图

2021北京海淀初三（上）期中数学

参考答案

第一部分  选择题

一、选择题 （本题共16分，每小题2分）

第二部分  非选择题

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．（，）        10．<

11．1          12．，

13．         14．

15．                                      16． 或

三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-23题，每小题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）

 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．（本题满分5分）

解：

                        …………………………………………3分

，．                   …………………………………………5分

18．（本题满分5分）

证明：∵ △ABC，△CDE均为等边三角形，

∴ AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ACE=60°．

…………………………………………3分

∴ △BCD ≌ △ACE．           …………………………………………4分

∴ BD=AE．                     …………………………………………5分

19．（本题满分5分）

解：（1）∵ 二次函数的图象经过点，，

∴                        …………………………1分

解得

∴ 二次函数的解析式为．      …………………………3分

（2）．                                …………………………5分

20．（本题满分5分）

证明：连接OC．

∵ 是的中点，

∴ ．          ………………………1分

∴ ∠AOC=∠BOC．     ………………………2分

∵ OA=OB，OC=OC，

∴ △AOC ≌ △BOC．                     …………………………4分

∴ ∠A=∠B．　　　　　　　　　　　　　　　…………………………5分

21．（本题满分5分）

（1）如下图即为所求．

     ………………………3分

（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；  ………………………4分

圆内接四边形对角互补．                        ………………………5分

22．（本题满分6分）

（1）证明：依题意，得== 4．  ………………1分

∵ ，

∴ 该方程总有两个不相等的实数根．　　　 　………………………2分

（2）解：解方程，得，．               ………………………4分

∵ 方程的两个根均为负数，

∴

解得．                               ………………………6分

23．（本题满分6分）

（1）如图所示．

………………………1分

（2）解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为（4，3），点A的坐标为（0，2）.

设该抛物线的表达式为.            ………………………2分

由抛物线过点A，有.

解得．                                 ………………………3分

∴ 该抛物线的表达式为．       ………………………4分

（3）解：令，得.

解得，（C在x正半轴，故舍去）.

∴ 点C的坐标为（，0）．                ………………………5分

∴ ．

由，可得.

∴ 小明此次试投的成绩达到优秀．                ………………………6分

24．（本题满分5分）

（1）3；                                          …………………………1分

（2）；                                   …………………………3分

（3）．                                        …………………………5分

25．（本题满分6分）

（1）解：

∵ A，D在⊙O上，∠D=45°，

∴ ∠A=∠D=45°．    …………………………1分

∵ ∠C=75°，

∴ 在△ACE中，．     …………………………2分

（2）解：连接OC，过O作OH⊥CD于H．

∵ OA=OC，∠A=45°，

∴ ∠ACO=∠A=45°．

∴ ∠AOC=90°．                   ………………3分

∵ Rt△AOC中，，AC=12，

∴ ．                 ……………4分

∵ ∠ACD=75°，

∴ ．

∴ ．

∴ Rt△OCH中，．        …………………………5分

∵ OH⊥CD于H，

∴ ．                             …………………………6分

26．（本题满分6分）

（1）（0，2）.　                                    …………………………1分

（2）① 依题意，当时，该抛物线的顶点为（0，2）.  …………………………3分

设抛物线的解析式为.

由抛物线过A（1，），得，

解得

∴ 抛物线的表达式为．           …………………………4分

② ．　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………………6分      

27．（本题满分7分）

（1）① 补全图形，如图.

……………………………………………1分

②证明：

∵OP平分∠MON，∠MON=，

∴∠AOC=∠AON==．

∵AB∥ON，

∴∠BAO=∠AON．

∴∠BAO=∠AOC．

∴AB=BO．…………………………………………………………2分

∵由旋转，AO=AC，

∴∠AOC=∠ACO=．

∴∠ACO=∠AON,

∠OAC=．

∵,

∴∠OAC=∠BAD．

∴∠BAC=∠DAO．

∴△ABC≌△ADO．…………………………………………………………3分

∴AB=AD，CB=OD．

∴BO=AD．

∵OC=CB+BO，

∴OC=OD+AD．…………………………………………………………4分

（2）如图所示，

∵AB∥ON，

∴∠BAD+∠ADO=180°.

∵,

∴∠ADO=.

∵AC=AO，CD=OD，AD=AD，

∴△ADC≌△ADO．

∴∠DCA=∠DOA=,

∠CDA=∠ODA=.

∵在△CDO中，∠OCD+∠CDO+∠DOC=180°，

∴．

∴．……………………………………………6分

此时，的值为．       ……………………………………………7分

28．（本题满分7分）

（1）；                          ……………………………………………2分

（2）解：如图所示，

对点P（m，8）（）而言，依定义，要使，则有：
为（0，），为（，0），于是函数（）上的点Q即为点P的45°-关联点.

若当点Q在线段MN上时，，则有.

由，得，解得．……………………………………………5分

（3）.                       ……………………………………………7分