四川省达州市渠县2021-2022学年上学期八年级期中考试数学试卷（word版 含答案）

这是一份四川省达州市渠县2021-2022学年上学期八年级期中考试数学试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．3.5B．C．D．
2．（3分）下列几组数中的勾股数是（ ）
A．0.3，0.5，0.4B．﹣3，4，5
C．6，8，12D．24，7，25
3．（3分）在大型爱国主义电影《长津湖》中，我军缴获了敌人防御工程的坐标地图碎片（如图），若一号暗堡坐标为（1，2），四号暗堡坐标为（﹣3，2），指挥部坐标为（0，0），则敌人指挥部可能在（ ）
A．A处B．B处C．C处D．D处
4．（3分）下列各式中，正确的是（ ）
A．＝﹣5B．＝5C．＝﹣4D．＝±2
5．（3分）若点P在第二象限，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，点P的坐标是（ ）
A．（﹣4，3）B．（4，﹣3）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）
6．（3分）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（3分）下列计算或说法：①±3都是27的立方根；②＝a；③的立方根是2；④＝±4，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（3分）如图，将△ABC放在正方形网格中（图中每个小正方形边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC的度数为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
9．（3分）在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是（ ）
A．1+B．2+C．2﹣1D．2+1
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，满分18分）
11．（3分）的相反数是 ，它的绝对值是 ．
12．（3分）对于任意实数a，b，定义一种运算“&”如下：a&b＝a（a﹣b）+b（a+b），如：3&2＝3×（3﹣2）+2×（3+2）＝13，那么&＝ ．
13．（3分）将点A（3，2）沿x轴负方向向左平移4个单位长度后得到点A′，则点A'关于x轴的对称点的坐标是 ．
14．（3分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2．
15．（3分）若实数a，b满足，则代数式a2020+b2021＝ ．
16．（3分）如图，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．请用含x的代数式表示AC+CE的长 ，根据上述方法，求出的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，满分72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）解方程：
（1）（x+1）2﹣0.01＝0；
（2）（3x+2）3﹣1＝．
19．（7分）已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，AD＝1，且∠B＝90°．试求：
（1）∠BAD的度数．
（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）
20．（7分）已知5a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的立方根为2
（1）求a与b的值；
（2）求2a+4b的平方根．
21．（8分）“新冠肺炎”疫情牵动着14亿中华儿女的心，渠县人民政府积极响应国家号召，及时对广大人民群众进行疫情防控宣传．如图，一笔直公路MN，村庄A到公路MN的距离为600m，若在宣传车P方圆1000m以内能听到广播宣传，那么宣传车P在公路MN上沿MN方向行驶时：
（1）村庄能否听到宣传？请说明理由．
（2）如果能听到，已知宣传车的速度是200m/min，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
22．（8分）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A（﹣4，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1的各顶点的坐标；
（3）求△ABC的面积．
23．（9分）已知x＝﹣1，y＝+1．
（1）求x2+xy+y2；
（2）若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求的值．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线L是第一、三象限的角平分线．
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（﹣2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′ 、C′ ；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，直接写出坐标面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 ；
（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线L上画出点Q，使△QDE的周长最小，并求△QDE周长的最小值．
25．（11分）定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长；
（2）如图②，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M、N为边AB上两点，满足∠MCN＝45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．
请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；
（3）在（2）的问题中，若∠ACM＝15°，AM＝1，CM＝+1．求BM的长．（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．）
2021-2022学年四川省达州市渠县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．3.5B．C．D．
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
【解答】解：A、3.5是小数，即分数，属于有理数；
B、是分数，属于有理数；
C、﹣是无理数；
D、＝2，是整数，属于有理数；
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的定义，能理解无理数的定义的内容是解此题的关键，注意：无理数有：①开方开不尽的根式，②含π的，③一些有规律的数．
2．（3分）下列几组数中的勾股数是（ ）
A．0.3，0.5，0.4B．﹣3，4，5
C．6，8，12D．24，7，25
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【解答】解：A、不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、（﹣3）2+42＝52，但不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C、62+82≠122，不是勾股数，不符合题意；
D、72+242＝252，是勾股数，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股数，关键是根据勾股数的定义解答．
3．（3分）在大型爱国主义电影《长津湖》中，我军缴获了敌人防御工程的坐标地图碎片（如图），若一号暗堡坐标为（1，2），四号暗堡坐标为（﹣3，2），指挥部坐标为（0，0），则敌人指挥部可能在（ ）
A．A处B．B处C．C处D．D处
【分析】根据一号暗堡和四号暗堡的横纵坐标分别确定x轴和y轴的大致位置，然后画出直角坐标系即可得到答案．
【解答】解：∵一号暗堡的坐标为（1，2），四号暗堡的坐标为（﹣3，2），
∴它们的连线平行于x轴，
∵一号暗堡和四号暗堡的纵坐标为正数，四号暗堡离y轴要远，如图，
∴B点可能为坐标原点，
∴敌军指挥部的位置大约是B处．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标确定位置：平面直角坐标系中点与有序实数对一一对应；记住各象限内的点的坐标特征和坐标轴上的坐标特征．
4．（3分）下列各式中，正确的是（ ）
A．＝﹣5B．＝5C．＝﹣4D．＝±2
【分析】分别写出每个题的正确的答案即可确定正确的选项．
【解答】解：A、＝5，故错误；
B、＝5，正确；
C、负数没有平方根，故错误；
D、＝2，故错误，
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根的知识，属于基础运算，比较简单．
5．（3分）若点P在第二象限，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，点P的坐标是（ ）
A．（﹣4，3）B．（4，﹣3）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度结合第二象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵点P在第二象限，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标是﹣3，纵坐标是4，
∴点P的坐标为（﹣3，4）．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
6．（3分）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先根据翻折变换的性质得出CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°，再设DE＝x，则AE＝8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE＝DE＝x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．
【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，
∴CD＝C′D＝AB＝8，∠C＝∠C′＝90°，
设DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，
∴∠ABE＝∠C′DE，
在Rt△ABE与Rt△C′DE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），
∴BE＝DE＝x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE的长为5．
故选：C．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
7．（3分）下列计算或说法：①±3都是27的立方根；②＝a；③的立方根是2；④＝±4，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据立方根的定义得到﹣3是27的立方根，＝a，可对①②进行判断，先计算，＝，然后根据立方根的定义对③④进行判断．
【解答】解：3是27的立方根，所以①错误；
由于＝a，所以②正确；
＝8，8的立方根为2，所以③正确；
＝＝4，所以④错误．
故选：B．
【点评】本题考查了立方根：若一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，记作．也考查了算术平方根．
8．（3分）如图，将△ABC放在正方形网格中（图中每个小正方形边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC的度数为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【分析】根据勾股定理求出各个边的长度，根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再得出三角形的等腰直角三角形，即可得出角的度数．
【解答】解：由勾股定理得：AC2＝12+22＝5，BC2＝12+32＝10，AB2＝12+22＝5，
∴AB＝AC，AC2+AB2＝BC2，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
9．（3分）在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是（ ）
A．1+B．2+C．2﹣1D．2+1
【分析】根据两点关于中点对称，可得线段的中点，根据线段中点的性质，可得答案．
【解答】解：设C点坐标为x，
由点B与点C关于点A对称，得
AC＝AB，即x﹣＝+1，
解得x＝2+1．
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用两点关于中点对称得出线段的中点是解题关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）
【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1﹣（﹣2）＝3，CD＝1﹣（﹣1）＝2，DA＝1﹣（﹣2）＝3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3＝10，
2012÷10＝201…2，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，
即点B的位置，点的坐标为（﹣1，1）．
故选：B．
【点评】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2012个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，满分18分）
11．（3分）的相反数是 3﹣ ，它的绝对值是 3﹣ ．
【分析】分别根据相反数、绝对值的概念即可求解．
【解答】解：根据相反数的概念有的相反数是﹣（）即3﹣；
根据绝对值的定义：的绝对值是．
【点评】此题主要考查了实数的相反数、绝对值的定义，和有理数的相反数、绝对值的计算方法一样．
12．（3分）对于任意实数a，b，定义一种运算“&”如下：a&b＝a（a﹣b）+b（a+b），如：3&2＝3×（3﹣2）+2×（3+2）＝13，那么&＝ 5 ．
【分析】直接利用运算法则将原式变形，进而得出答案．
【解答】解：∵3&2＝3×（3﹣2）+2×（3+2）＝13，
∴&＝×（﹣）+×（+）
＝3﹣++2
＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握运算法则是解题关键．
13．（3分）将点A（3，2）沿x轴负方向向左平移4个单位长度后得到点A′，则点A'关于x轴的对称点的坐标是 （﹣1，﹣2） ．
【分析】直接利用平移规律结合关于x轴对称点的性质得出对应点坐标．
【解答】解：∵点A（3，2）沿向左平移4个单位长度得到点A′，
∴A′（﹣1，2），
∴点A′关于x轴对称的点的坐标是：（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
【点评】此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
14．（3分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 49 cm2．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和＝49cm2．
故答案为：49cm2．
【点评】本题考查勾股定理，熟练运用勾股定理进行面积的转换是解题关键．
15．（3分）若实数a，b满足，则代数式a2020+b2021＝ 2 ．
【分析】根据二次根式的非负性、偶次方的非负性、有理数的乘方解决此题．
【解答】解：∵，（a+b）2≥0，
∴当，则a+1＝0，a+b＝0．
∴a＝﹣b＝﹣1．
∴b＝1．
∴a2020+b2021＝（﹣1）2020+12021＝1+1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次根式的非负性、偶次方的非负性、有理数的乘方，熟练掌握二次根式的非负性、偶次方的非负性、有理数的乘方是解决本题的关键．
16．（3分）如图，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．请用含x的代数式表示AC+CE的长 + ，根据上述方法，求出的最小值为 13 ．
【分析】由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；于是可作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
【解答】解：AC+CE＝+；
当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
如右图所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，
连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，
所以AE＝＝＝13，
即的最小值为13，
故代数式的最小值为13．
故答案为：+；13．
【点评】此题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．
三、解答题（本大题共9个小题，满分72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先分母有理化，再利用平方差公式，然后合并即可．
【解答】解：原式＝3﹣3﹣2+5
＝8﹣5；
（2）原式＝2+4﹣3﹣3
＝﹣+1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
18．（6分）解方程：
（1）（x+1）2﹣0.01＝0；
（2）（3x+2）3﹣1＝．
【分析】（1）根据平方根的定义去求；
（2）根据立方根的定义去求．
【解答】解：（1）∵（x+1）2＝0.01，
∴x+1＝±0.1，
∴x＝﹣0.9或﹣1.1；
（2）∵（3x+2）3＝+1，
∴（3x+2）3＝，
∴3x+2＝，
∴x＝﹣．
【点评】本题考查了平方根，立方根，注意一个正数的平方根有2个，不要漏解．
19．（7分）已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，AD＝1，且∠B＝90°．试求：
（1）∠BAD的度数．
（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）
【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，进而可求出∠BAD的度数；
（2）由（1）可知△ABC和△ADC是Rt△，再根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出结论．
【解答】解：（1）连接AC，
∵AB＝BC＝1，∠B＝90°
∴AC＝
又∵AD＝1，DC＝
∴（）2＝12+（）2
即CD2＝AD2+AC2
∴∠DAC＝90°
∵AB＝BC＝1
∴∠BAC＝∠BCA＝45°
∴∠BAD＝135°；
（2）由（1）可知△ABC和△ADC是Rt△，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝1×1×+1××
＝+．
【点评】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．（7分）已知5a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的立方根为2
（1）求a与b的值；
（2）求2a+4b的平方根．
【分析】（1）根据算术平方根与立方根定义得出5a﹣1＝32，3a+b﹣1＝23，解之求得a、b的值；
（2）由a、b的值求得2a+4b的值，继而可得其平方根．
【解答】解：（1）由题意，得5a﹣1＝32，3a+b﹣1＝23，
解得a＝2，b＝3．
（2）∵2a+4b＝2×2+4×3＝16，
∴2a+4b的平方根＝±4．
【点评】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键．
21．（8分）“新冠肺炎”疫情牵动着14亿中华儿女的心，渠县人民政府积极响应国家号召，及时对广大人民群众进行疫情防控宣传．如图，一笔直公路MN，村庄A到公路MN的距离为600m，若在宣传车P方圆1000m以内能听到广播宣传，那么宣传车P在公路MN上沿MN方向行驶时：
（1）村庄能否听到宣传？请说明理由．
（2）如果能听到，已知宣传车的速度是200m/min，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，即可判断；
（2）假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，利用勾股定理求出BP的长度，即可求出时间．
【解答】解：（1）村庄能听到宣传，理由如下：过点A作AB⊥MN于B，
∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米
∴村庄能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，
∴BP＝PQ＝＝＝800（米），
∴PQ＝BP+BQ＝800+800＝1600（米），
∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8（分钟），
∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
【点评】本题主要考查了垂线段的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22．（8分）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A（﹣4，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1的各顶点的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）先根据轴对称的定义作出各顶点的对应点，再顺次连接可得；
（2）由图形可得点的坐标；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由图知，A1（4，5），B1（2，1），C1（1，3）；
（3）△ABC的面积为3×4﹣×2×4﹣×1×2﹣×2×3＝4．
【点评】此题主要考查了轴对称变换，根据图形的性质得出对应点位置是解题关键．
23．（9分）已知x＝﹣1，y＝+1．
（1）求x2+xy+y2；
（2）若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求的值．
【分析】（1）x2+xy+y2变形为＝（x﹣y）2+3xy代入即可；
（2）先根据题意求出a、b的值，再代入求出结果即可．
【解答】解：（1）∵x＝﹣1，y＝+1．
∴x2+xy+y2
＝（x﹣y）2+3xy
＝（﹣1﹣﹣1）2+3（﹣1）（+1）
＝4+6
＝10；
（2）∵0＜﹣1＜1，2＜+1＜3
∴a＝﹣1，b＝2，
∴＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查了分式的加减法和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a、b的值．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线L是第一、三象限的角平分线．
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（﹣2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′ （3，5） 、C′ （5，﹣2） ；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，直接写出坐标面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 （b，a） ；
（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线L上画出点Q，使△QDE的周长最小，并求△QDE周长的最小值．
【分析】（1）借助网格，根据轴对称的定义画出各点关于直线的对称点，即可解答．
（2）由（1）中坐标得出规律，即可求出P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标．
（3）作出D点的对称点D′，连接D′E，与直线L的交点即为所求点Q，利用勾股定理可得周长．
【解答】解：（1）如图，由点关于直线y＝x轴对称可知：B'（3，5），C'（5，﹣2），
故答案为：（3，5）、（5，﹣2）
（2）由（1）的结果可知，坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 （b，a），
故答案为：（b，a）；
（3）由（2）得，D（1，﹣3）关于直线l的对称点D'的坐标为（﹣3，1），连接D'E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小，
D'E＝＝，DE＝＝，
∴△QDE周长的最小值+．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换和轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．
25．（11分）定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长；
（2）如图②，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M、N为边AB上两点，满足∠MCN＝45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．
请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；
（3）在（2）的问题中，若∠ACM＝15°，AM＝1，CM＝+1．求BM的长．（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．）
【分析】（1）①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可．
（2）只要证明△MCN≌△MCN'以及∠NAM＝90°即可．
（3）如图，过N作于NH⊥CM于H．结合图中相关线段的和差关系和直角三角形的性质求得MN＝2．由（2）得结论BN2+AM2＝MN2，BN＝．则BM＝BN+MN．
【解答】（1）解：①当MN为最大线段时，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN＝＝＝；
②当BN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN＝＝＝，
综上所述：BN＝或；
（2）①证明：连接MN′，
∵∠ACB＝90°，∠MCN＝45°，
∴∠BCN+∠ACM＝45°，
∵∠ACN'＝∠BCN，
∴∠MCN'＝∠ACN′+∠ACM＝∠BCN+∠ACM＝45°＝∠MCN，
在△MCN和△MCN′中，
，
∴△MCN≌△MCN'（SAS），
∴MN'＝MN，
∵∠CAN′＝∠CAB＝45°，
∴∠MAN′＝90，AN′2+AM2＝MN′2，即BN2+AM2＝MN2，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点；
（3）如图，过N作于NH⊥CM于H．
则∠NHM＝90°，∠NMH＝60°，
设HM＝x，则MN＝2x，HN＝x．得
x+x＝+1，
∴x＝1，
∴MN＝2．由（2）得结论BN2+AM2＝MN2，BN＝．
∴BM＝BN+MN＝2+．
【点评】本题考查几何变换综合题，需要掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，利用旋转法添加辅助线是解决问题的关键．
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日期：2021/11/25 9:34:03；用户：吴耀翠；邮箱：15866404371；学号：40265676