2021学年第2章 三角形2.2 命题与证明第3课时教学设计

第3课时 证明与反证法

【知识与技能】

了解证明的含义.

【过程与方法】

通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力.

【情感态度】

让学生体验从实验几何向推理几何的过渡.

【教学重点】

证明的含义和表述格式.

【教学难点】

如何构造一个反例去证明一个命题是错误的.

一、情景导入，初步认知

1.一般地，判断一件事情正确或不正确的句子叫做命题，命题分为真命题与假命题.

2.说明一个命题是假命题，通常只用找出一个反例，但要说明一个命题是真命题，就必须用推理的方法，而不能光凭一个例子.

3.判断下列命题的真假

（1）有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形.（真命题）

（2）素数不可能是偶数.（假命题）

（3）黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人.（假命题）

（4）有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形.（假命题）

（5）若y(1-y)=0，则y=0.（假命题）

【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备.

二、思考探究，获取新知

1.做一做：采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度.

此时，猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题，要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.

【教学说明】在实验几何中，常让学生通过观察、实验和归纳得出结论.增加学生的感官感受.使学生感受到凭实验、观察和归纳得出的结论不一定正确，使学生感受到直观是重要的，但有时也会欺骗人，这时就需要通过逻辑推理来判断，从而让学生理解证明的必要性.

2.证明命题“三角形的外角和等于360°”是真命题.

已知：如图，∠BAF,∠CBD,∠ACE分别是△ABC的三个外角.

求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°

证明：由题意得，在△ABC中

∠1+∠2+∠3＝180°

∵∠BAF+∠1=180°

∠CBD+∠2=180°

∠ACE+∠3=180°

故

∠BAF+∠CBD+∠ACE+∠1+∠2+∠3=180°+180°+180°＝540°

则

∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°

【教学说明】引导学生写出证明过程.

【归纳结论】证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：

①画出图形；

②写出已知、求证；

③写出证明的过程.

3.已知：∠A,∠B,∠C是△ABC的内角.求证：∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°.

分析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况，如果直接证明，比较困难，因此，我们将从另外一个角度来证明.

证明：假设∠A,∠B,∠C中没有一个角大于或等于60°.

则∠A+∠B+∠C<180°

这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.

因此，∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°.

【归纳结论】先假设命题不成立，然后利用命题的条件或结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.

三、运用新知，深化理解

1.教材P57例1.

2.如图，BC⊥ AC于点C，CD⊥AB于点D，E是AC延长线上一点，连接BE，∠EBC=∠A，求证：BE∥CD

证明：∵BC⊥AC(已知)

∴∠ACD+∠BCD=90°(垂直的定义)

∵CD⊥AB (已知)

∴∠A+∠ACD=90°（直角三角形的两锐角和为90°）

∴∠A=∠BCD（同角的余角相等）

 又∵∠EBC=∠A（已知）

∴∠ EBC=∠BCD

∴BE∥CD（内错角相等，两直线平行）

3.已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的角平分线，BH是∠ABC的角平分线, ∠A=58°.求∠H的度数.

解：∵∠A=58°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-58°=122°…①，

∵BH是∠ABC的角平分线，

∴∠HBC=12∠ABC，

∵∠ACD是△ABC的外角，CH是外角∠ACD的角平分线，

∴∠ACH=12（∠A+∠ABC），

∴∠BCH=∠ACB+∠ACH=∠ACB+

12（∠A+∠ABC），

∵∠H+∠HBC+∠ACB+∠ACH=180°，

∴∠H+12∠ABC+∠ACB+12（∠A+∠ABC）=180°，即∠H+（∠ABC+∠ACB）+12∠A=180°…②，

把①代入②得，∠H+122°+12×58°=180°，

∴∠H=29°.

4.已知：三条直线a、b、c，其中a∥b，b∥c，求证：a∥c.

解：假设a与c不平行，那么就会相交.因为a∥b，

所以a，b永不相交，

同理，b，c也永不相交，

又因为a、b、 c在同一平面内，且互不重合，

所以a与c不会相交，即假设不成立.

所以a∥c.

5.已知：如图，P是△ABC内任一点，求证：∠BPC＞∠A．

证明：如图，延长BP交AC于D．

∵∠BPC＞PDC，

∠PDC＞∠A，

∴∠BPC＞∠A．

6.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.

已知：△ABC，求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.

证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°.

则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°，

∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°，

即∠A+∠B+∠C>180°，

这与三角形的内角和为180°矛盾．假设不成立．

∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.

【教学说明】巩固本节课所学的内容.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材“习题2.2”中第6、7、9题.

反证法不仅能提高学生的演绎推理能力，而且在后续的学习中有着不可忽视的作用，虽然在初中教材中所占篇幅很少，但本人认为不应轻视，应让学生掌握其精髓，合理地去运用.

整节课的教学设计适合学生学习，切合教材与新课程要求，教学流程设计清晰流畅，教学效果良好.

但课堂容量较大，学生预习不够充分，时间不够用，学生没有足够的时间去思考，在一些环节的处理上存在粗糙的问题，有些问题还没有进行深层次地挖掘，下一节课还需进一步巩固提高.