数学选择性必修 第三册6.2 排列与组合达标测试

这是一份数学选择性必修 第三册6.2 排列与组合达标测试，共15页。试卷主要包含了2排列与组合等内容，欢迎下载使用。

专项训练
一、单选题（共12题；共60分）
1．已知递增正整数数列满足（），则（ ）
A．B．，，可能成等比数列
C．D．，，可能成等比数列
2．已知r，s，t为整数，集合A＝{a|a＝2r+2s+2t，0≤r＜s＜t}中的数从小到大排列，组成数列{an}，如a1＝7，a2＝11，a121＝（ ）
A．515B．896C．1027D．1792
3．从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法．在这种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有种取法．显然，即有等式：成立．试根据上述想法，下面式子（其中）应等于
A．B．C．D．
4．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门，该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，六个板块都要做完，并且不能同时进行多个板块的学习，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有（ ）
A．192种B．240种C．432种D．528种
5．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元（红包中金额相同视为相同红包），则甲、乙都抢到红包的情况有
A．18种B．24种C．36种D．48种
6．在的展开式中，含项的系数为
A．45B．55C．120D．165
7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有
A．种B．种C．种D．种
8．名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定两人对局胜者得分，平均各得分，负者得分，并按总得分由高到低进行排序，比赛结束后，名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，则第二名选手的得分是（ ）．
A．B．C．D．
9．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．现有甲、乙、丙、丁、戌5人参加社区志愿者服务活动，每人从事团购、体温测量、进出人员信息登记、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.若甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）
A．234B．152C．126D．108
12．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在二十世纪初提出的23个数学问题之一．可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，称素数对为孪生素数．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（ ）．
B．C．D．
二、填空题（共4题；共20分）
13．个男生和个女生进入三个不同的教室，满足每个教室里必须有女生，有男生的教室至少有个女生，那么满足条件的分配方式共有_______种.
14．将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法.
15．已知集合，对它的非空子集，可将中每一个元素都乘以，再求和(如，可求得和为)，则对的所有非空子集，这些和的总和是______.
16．设，那么满足的所有有序数组的组数为___________.
三、解答题（共4题；共20分）
17．设，，其中．
（1）当时，求的值；
（2）对，证明：恒为定值．
18．（1）证明：；
（2）计算：；
（3）计算：.
19．设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为数列的“创新数列”.例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7. 考查正整数1，2，…，的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.
（1）若，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；
（2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的的创新数列；若不存在，请说明理由.
（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.
20．设且，集合的所有个元素的子集记为．
（1）当时，求集合中所有元素之和；
（2）记为中最小元素与最大元素之和，求的值．
参考答案
1．C
【详解】
，
因为是递增正整数数列，所以，
而当时，，不是递增数列，所以，
易得，由于，则，
取，则，所以A错误；
时有，
若成等比数列，则，
所以，此时，所以B错误.
，
则，所以C正确；
，
，
当时，而，
则，所以D错误；
故选：C.
2．C
【详解】
为整数且最小取,此时符合条件的数有,当时,可在0,1,2中取,符合条件有的数有所以,同理
时,符合条件有的数有,……,时,符合条件有的数有
,且,是的最小值,即时,.
故选:.
3．A
【详解】
分析：从装有个不同小球的口袋中取出个小球（），共有种取法．在这种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，第二类是某指定的小球被取到，即有等式：成立，题中的式子表示的是从装有个球中取出个球的不同取法数，从而得到选项.
详解：在中，从第一项到最后一项分别表示：
从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和，故答案为从装有个球中取出个球的不同取法数，故选A.
4．C
【详解】
由题意，可知“阅读文章”与“视听学习”相邻的方法数为种；
“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的方法数为种；
共有种方法.
故选：C.
5．C
【解析】
解：若甲乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走,有种，
若甲乙抢的是一个6和一个10元的,剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走,有种，
若甲乙抢的是一个8和一个10元的,剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走,有种，
若甲乙抢的是两个6元,剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走,有种，
根据分类计数原理可得，共有36种.
故选：C.
6．D
【详解】
分析：由题意可得展开式中含项的系数为 ，再利用二项式系数的性质化为 ，从而得到答案．
详解：的展开式中含项的系数为
故选D.
7．A
【详解】
当“数”排在第一节时有排法；
当“数”排在第二节时有种排法；
当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有种排法，
所以满足条件的共有种排法，
故选：A.
8．C
【解析】
从高到底分数为14,12,10,8,6,4,2,0，满足第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，所以第二名选手的得分是12，选C.
9．C
【详解】
所有的情况数有：种，
3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：
，共种，
所以目标事件的概率.
故选：C.
10．B
【详解】
解：依题意，基本事件的总数为，
设事件表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，
①若甲模仿“扶”，则包含个基本事件；
②若甲模仿“捡”或“顶”则包含个基本事件，
综上包含个基本事件，
所以，
故选：．
11．C
【详解】
由题，分情况讨论，甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：种；
甲乙不同时参加一项工作，又分为两种情况：
①甲和乙分别承担一份工作，丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有：种；
②甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：种.
由分类计数原理，可得共有种.
故选：
12．C
【详解】
由题意，存在无穷多个素数，使得是素数，称素数对为孪生素数．
其中不超过15的素数有2，3，5，7，11，13，
可得能够组成孪生素数的有，，，
在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，共有种，
其中能够组成孪生素数包含的基本事件个数，
所以其中能够组成孪生素数的概率是．
故选：C．
13．2940
【详解】
由于每个教室必须有女生，则女生有2:2:1和3:1:1两种分组，完成分配方式这件事有两类：
按3:1:1分组，5个男生只能在3个女生所在教室，共有种，
按2:2:1分组，5个女生共有种分配方案，5个男生只能分配到有2个女生的教室，
每个男生可去这两个教室中任意一个，有25种方案，此时共有，
由分类加法计数原理得分配方式共有60+2880=2940.
故答案为：2940
14．535
【详解】
四个盒子放球的个数如下
1号盒子：{0，1}
2号盒子：{0，1，2}
3号盒子：{0，1，2，3}
4号盒子：{0，1，2，3，4}
结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法
5 = 1 + 4：种
5 = 2 + 3：种
5 = 1 + 1 + 3：种
5 = 1 + 2 + 2：种
5 = 1 + 1 + 1 + 2：种
∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种
故答案为：535
15．2560
【详解】
，
中所有非空子集含有1的有10类：
①单元素集合只有含有1，即1出现了次；
②双元素集合只有1的有，即1出现了次；
③三元素集合中含有1的有，即1出现了次，
⑩含有10个元素，出现了次；
共出现，
同理都出现次，
的所有非空子集中，这些和的总和是
，故答案为.
16．
【详解】
分类讨论：
① ，则这四个数为或，
有组；
② ，则这四个数为或，
有组；
③ ，则这四个数为或或，
有组；
综上可得，所有有序数组的组数为.
点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
17．（1）1（2）1
【解析】
分析：（1）当时可得，可得.（2）先得到关系式，累乘可得，从而可得，即为定值．
详解：（1）当时，，
又，
所以.
（2）



即，
由累乘可得，
又，
所以．
即恒为定值1．
点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的的定义，并结合组合数公式求解．由于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误．
18．（1）见解析（2）（3）
【详解】
解：（1）；
（2）
.
（3）设，
则
.
所以，
又，所以.
所以
.（结果没化简，不扣分）
方法二：
.
19．（1）3，4，1，2和3，4，2，1，（2）存在，，（3）有个
【详解】
解：（1）由题意可得：第一个数为3，第二个数为4，第三个与第四个数分别为1与2的排列即可，即数列有两个：3，4，1，2和3，4，2，1；
（2）存在数列的创新数列为等比数列，
理由如下：
设数列的创新数列为，
若为等比数列，设公比是，因为，所以，
当时，为常数列，满足条件，即创新数列为；
当时，为增数列，符合条件的数列只有1，2，，
又1，2，，不是等比数列；
综上可得符合条件的创新数列只有一个；
（3）存在数列，使它的创新数列为等差数列，
理由如下：
若为等差数列，设公差是，因为，
所以且，
当时，为常数列，满足条件，即创新数列为；
此时数列是首项为的任意一个排列，共有个排列，
当时，为增数列，符合条件的数列只有1，2，，
此时数列是1，2，，只有一个；
当时，与矛盾，此时不存在；
所以满足条件的数列的个数为个.
20．（1）30；（2）2019.
【详解】
（1）因为含元素的子集有个，同理含的子集也各有个，
于是所求元素之和为；
（2）集合的所有个元素的子集中：
以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；
以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；

以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个．
∴

，
．
．