高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理复习练习题

2020—2021学年高二数学下学期  

6.3二项式定理

专项训练

一、单选题（共12题；共60分）

1．已知，则（    ）

A．15 B．20 C．60 D．160

2．的展开式中的系数为（    ）

A．12 B．60 C．24 D．64

3．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，则的系数为（    ）

A．14 B． C．240 D．

4．已知展开式中的二项式系数和为32，所有项系数和为，则展开式中的系数为（    ）

A．80 B．40 C．-80 D．-40

5．式子的展开式中，的系数为（    ）

A． B． C． D．

6．已知二项式展开式中各项的二项式系数和是64，则该展开式中的常数项是（    ）

A．20 B． C．160 D．

7．设是常数，对于，都有，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知实数，，记，则

A． B． C． D．

9．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设

为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是

A．2015 B．2016 C．2017 D．2018

10．已知，其中，为自然对数的底数，则在的展开式中的系数是

A．240 B．80 C． D．

11．已知，则

A． B．0 C．14 D．

12．展开式中常数项为（    ）.

A．11 B． C．8 D．

二、填空题（共4题；共20分）

13．若的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为___________.

14．课本中，在形如……的展开式中，我们把）叫做二项式系数，类似地在…的展开式中，我们把叫做三项式系数，则……的值为______.

15．如图，我们在第一行填写整数到，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在三角（杨辉三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是______.

16．在的展开式中的系数是______．（用具体数作答）

三、解答题（共4题；共20分）

17．设函数.

（1）求的展开式中系数最大的项；

（2）若，（为虚数单位），求值：

①；

②.

18．（1）已知，求的值.

（2）已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项.

19．已知数列（）的通项公式为（）.

（1）分别求的二项展开式中的二项式系数之和与系数之和；

（2）求的二项展开式中的系数最大的项；

（3）记（），求集合的元素个数（写出具体的表达式）.

20．记(且)的展开式中含项的系数为,含项的系数为.

（1）求;

（2）若,对n＝2,3,4成立,求实数的值;

（3）对（2）中的实数,用数学归纳法证明:对任意且都成立.

参考答案

1．D

【详解】

因为，

所以，

所以展开式中含的项为，所以.

故选：D.

2．A

【详解】

因为的展开式的通项公式为，

所以的展开式中的对应的应满足，此时符合要求，对应系数为；

的展开式中的对应的应满足，此时无解.

所以的展开式中的系数为12.

故选：A.

3．C

【详解】

二项展开式的第项的通项公式为，

由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，

可得：，即，故，解得：.

所以中，

令，解得：，

所以的系数为，

故选：C.

4．B

【详解】

由已知，二项式系数和为，则，令，则所有项的系数和为，则.

展开式的通项，

当时无解，当时，，故展开式中的系数为，

故选：B.

5．B

【详解】

，

的展开式通项为，

的展开式通项为，

由，可得，

因此，式子的展开式中，的系数为.

故选：B.

6．D

【详解】

若展开式中二项式系数之和为64，则，，

故展开式的通项公式为

，

令，，

故展开式中常数项为，

故选：D．

7．A

【详解】

因为，

则令可得.

又对两边求导可得：

，

令，

则，

所以，

所以

故，

所以.

故选：A.

8．D

【详解】

当时，显然；当时，

，

综上，.故选D.

9．C

【解析】

分析：首先求得a的表达式，然后列表猜想的后三位数字，最后结合除法的性质整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意可得：，结合二项式定理可得：

，

计算的数值如下表所示：

据此可猜想最后三位数字为，则：除以8的余数为1，

所给选项中，只有2017除以8的余数为1，

则的值可以是2017.

本题选择C选项.

10．B

【详解】

由积分可得，所以展开式中通项可写为，

当r=2,t=0时，N=-80,当r=3,t=1时，N=160,所以的系数为80，选B.

11．B

【详解】

解：由题知，，

且，

则，

，

所以.

故选：B.

12．B

【详解】

将看成一个整体，展开得到：

的展开式为：

取

当时， 系数为：

当时， 系数为：

常数项为

故答案选B

13．

【详解】

取，则的展开式中各项系数的和为：.

故，则，

的展开式：；的展开式：

取得到：，取得到系数为；

取得到：，取得到系数为；

综上所述：该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为。

故答案为：。

14．0

【详解】

，

其中系数为

……，

，

而二项式的通项公式，

因为2015不是3的倍数，所以的展开式中没有项，由代数式恒成立可得

……，

故答案为0.

15．

【详解】

将数阵倒置，计第行第个数为，则倒置后的数阵为：

则有，且有.

，

，

.

依此类推，

，

因此，.

故答案为.

16．180.

【解析】

因为二项式，展开式的通项公式为，而对于的展开式，其中，都为自然数，令，解得或，所以展开式的系数为．

17．（1）70x4；（2）①-1；②152

【详解】

（1）展开式中系数最大的项是第5项70 x4；

（2）由已知，（1+i）n＝64i，两边取模，得64，所以 n＝12

所以，

而（1+i）12＝（（ ）i＝64i

所以0． .

又，，

故， ，即

18．（1）-13；（2）

【详解】

解：（1），

令可得，

可令可得，

两式相减可得，；

（2）令可得各项系数和为，二项式系数和为，

由题意可得，即，

解得 （舍去），解得．

设第项的系数最大，则有，解得．

再由，可得．

故系数最大的项为．

19．（1），0；（2），；（3）.

【详解】

（1）二项展开式中的二项式系数之和为，

令得二项展开式中的系数之和为；

（2）

设二项展开式中的系数最大的项数为

则

因此二项展开式中的系数最大的项为，

（3）

所以当为偶数时，集合的元素个数为

当为奇数时，集合的元素个数为

综上，元素个数为

20．（1）（2）（3）答案见解析

【详解】

（1）

展开式中含项的系数为

（2）

则解得

（3）①当时,由（2）知等式成立．

②假设当(,且)时,等式成立,

即

当时,

由

可得

又上式,

即等式也成立．

综上所述,对任意且,都有成立．