2021学年7.5 正态分布练习

2020—2021学年高二数学下学期  

7.5.正态分布

专项训练

一、单选题（共12题；共60分）

1．设随机变量，函数没有零点的概率是，则（    ）

附：若，则，．

A． B． C． D．

2．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．2

3．给出下列命题，其中真命题为（    ）

①用数学归纳法证明不等式时，当时，不等式左边应在的基础上加上；

②若命题：，，则：，；

③若，，，则；

④随机变量，若，则.

A．①②④ B．①④ C．②④ D．②③

4．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间内的概率为（    ）

（附：若随机变量服从正态分布，则，）

A． B． C． D．

5．《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、，B、、C、、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩～，那么D等级的原始分最高大约为（    ）

附：①若～，，则Y～；②当Y～时，.

A．23 B．29 C．36 D．43

6．赵先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．赵先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．给出下列说法：从统计的角度认为所有合理的说法的序号是（    ）

（1）若出门，则乘坐公交上班不会迟到；

（2）若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；

（3）若出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；

（4）若出门．则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到．

参考数据：，则，，

A．（1）（2）（3）（4） B．（2）（4）

C．（3）（4） D．（4）

7．若随机变量服从正态分布，则，，.已知某校名学生某次数学考试成绩服从正态分布，据此估计该校本次数学考试成绩在分以上的学生人数约为（    ）

A． B． C． D．

8．设X~N(μ,σ2),其概率密度函数的最大值为,分布密度函数F(x)=P(X<x),且满足F(3)=1-F(3),则    (　　)

A．μ=3,σ= B．μ=3,σ= C．μ=0,σ= D．μ=3,σ=2

9．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，正态变量X在区间，，内取值的概率分别是，，，则成绩X位于区间(52,68]的人数大约是

A．997

B．954

C．683

D．341

10．某工厂生产的零件外直径（单位：）服从正态分布，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为和，则可认为

A．上午生产情况异常，下午生产情况正常

B．上午生产情况正常，下午生产情况异常

C．上、下午生产情况均正常

D．上、下午生产情况均异常

11．某学校高三模拟考试中数学成绩服从正态分布，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为人．

参考数据：，）

A．261 B．341 C．477 D．683

12．设随机变量的概率密度函数为：  ，则 那么等于（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（共4题；共20分）

13．下列命题中，正确命题的序号为_________.

①已知随机变量服从二项分布，若，则；

②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；

③设随机变量服从正态分布，若，则；

④某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大.

14．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布,已知成绩在到分之间的学生有名，若该校计划奖励竞赛成绩在分以上（含分）的学生，估计获奖的学生有________.人（填一个整数）（参考数据：若有，

15．某品牌的一款纯电动车单次最大续航里程（千米）服从正态分布.任选一辆该款电动车，则它的单次最大续航里程恰在（千米）到（千米）之间的概率为___________.（参考公式:随机变量服从正态分布，则，，.）

16．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果用分数表示）

附参考数据：；；．

三、解答题（共4题；共20分）

17．某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随机抽取盒作为样本，测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好．由测量结果得到如下频率分布直方图：

（1）求a，并试估计这盒产品的该项指标值的平均值．

（2）①由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值服从正态分布，计算该批产品该项指标值落在上的概率；

②国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于均为合格，且按该项指标值从低到高依次分为：合格、优良、优秀三个等级，其中为优良，不高于为合格，高于为优秀，在①的条件下，设该公司生产该产品万盒的成本为万元，市场上各等级每盒该产品的售价(单位：元)如表，求该公司每万盒的平均利润.

附：若，则，.

18．2020年初，新型冠状病毒肺炎爆发时，我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情，赢得了国际社会的高度评价，在这期间，为保证抗疫物资的质量，我国也加大了质量检查的力度．某市2020年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数分布表如表所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）

（1）规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好．已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数为，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为26.5，分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情况写出两条统计结论；

（2）甲厂生产的消毒液的质量指标值近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，并已求得．该厂决定将消毒液分为，，级三个等级，其中质量指标值不高于2.6的为级，高于38.45的为级，其余为级，请利用该正态分布模型解决下列问题：

（ⅰ）甲厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中级消毒液的总瓶数；

（ⅱ）已知每瓶消毒液的等级与出厂价（单位：元/瓶）的关系如下表所示：

假定甲厂半年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为4千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由．

附：若，则，，．

19．某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务（货物全部用统一规格的包装箱包装），现统计了最近100天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T（单位：箱）分成了以下几组：，，，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）.

（1）该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析可配送货物量少的原因，并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析，求这3天的数据中至少有2天的数据来自这一组的概率.

（2）由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从正态分布，其中近似为样本平均数.

（ⅰ）试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内日货物配送量在区间内的天数（结果保留整数）.

（ⅱ）该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案.

方案一：直接发放奖金，按每日的可配送货物量划分为以下三级：时，奖励50元；，奖励80元；时，奖励120元.

方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为

小张恰好为该公司装卸货物的一名员工，试从数学期望的角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？

附：若，则，.

20．已知某高校共有名学生，其图书馆阅览室共有个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为．

（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差；

（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，可视为服从正态分布．任意正态分布都可变换为标准正态分布（且的正态分布），如果随机变量，那么令，则可以证明．当时，对于任意实数，记．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字（位于第三行），然后在表的最上行找到数字（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字便是的值．

（i）求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；

（ii）若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于，则至少需要添加多少个座位？

参考答案

1．B

【详解】

函数没有零点，即二次方程无实根，

，，又没有零点的概率是，

，由正态曲线的对称性知，，，，

，，，，

，，

所以，，

故选：B．

2．B

【详解】

因为随机变量服从正态分布，，

根据正态分布的特征，可得，解得.

故选：B．

3．C

【详解】

① 当时，不等式左边为，

当时，不等式左边为，增加的项为，

故①错误，

② 特称命题的否定是全称命题，故②正确，

③ 因为，，，

所以，，，故③错误，

④ 因为，所以根据正态分布曲线的对称性可知，④正确，

故选：C.

4．C

【详解】

由题意可知

则，

即

故选：C

5．B

【详解】

由题意知：～则有，

设D等级的原始分最高大约为x，对应的等级分为40 ，而等级分40

∴有原始分

而，由对称性知

∴有，即

故选：B

6．C

【详解】

对于（1）赵先生乘坐公交车的时间不大于43分钟才不会迟到，因为且，

所以，

所以赵先生上班迟到还是有可能发生的，（1）不合理；

（2）赵先生乘坐地铁上班，则其乘坐地铁的时间不大于48分钟，才不会迟到，

因为，

所以，

所以若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性为0.9773，

若乘坐公交，则乘坐时间不大于41分钟才不会迟到，因为，

所以，

故二者的可能性一样，（2）不合理；

（3）赵先生乘坐公交车的时间不大于37分钟才不会迟到，因为，

所以，

赵先生乘坐地铁的时间不大于44分钟才不会迟到，因为，（3）的说法合理；

（4）赵先生乘坐地铁的时间不大于38分钟才不会迟到，因为，

所以，即可能性非常小，（4）的说法合理．

故选：．

7．C

【详解】

由题意，，，故，

以此，估计该校本次数学考试成绩在分以上的学生人数约为.

故选：C.

8．A

【解析】

分析：由正态分布密度函数的最大值为,得=,由,可得为正态分布密度曲线的对称轴.

详解：因为正态分布密度函数的最大值为,

所以,

又因为,

所以直线为正态分布密度曲线的对称轴,

所以，故选A.

9．C

【详解】

分析：先由图得，再根据成绩X位于区间(52,68]的概率确定人数.

详解：由图得

因为，所以成绩X位于区间(52,68]的概率是，

对应人数为

选C.

10．B

【详解】

分析：根据3σ原则判断.

详解：因为服从正态分布，

所以

所以上午生产情况正常，下午生产情况异常,

选B.

11．B

【详解】

分析：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是0.6826，根据概率求出位于这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果．

详解：正态总体的取值关于对称，位于之间的概率是，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为人.

故选B .

12．B

【解析】

,s所以随机变量， ，故选B.

13．②③④

【详解】

根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，解得，所以①错误；

根据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以②正确；

由正态分布的图像的对称性可得，所以③正确；

由独立重复试验的概率的计算公式可得，由，得，即时，，同理得时，，即最大，

，所以④正确.所以正确命题的序号为②③④.

故答案为：②③④．

14．20

【详解】

由题意可得：，

若参赛学生的竞赛分数记为，则

参赛的学生总数为：人

获奖的学生有：人

本题正确结果：

15．

【详解】

由X～N（2000，102）知，则μ＝2000，σ＝10；

所以P（1970＜X＜2020）＝P（μ﹣3σ＜X＜μ+2σ）

＝P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）[P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）﹣P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）]

＝0.9974[0.9974﹣0.9544]

＝0.9759．

故答案为：0.9759．

16．

【详解】

由题意可知，，事件为，，，

所以，，

，

由条件概率公式得，故答案为.

17．（1），；（2）①；② (万元)．

【详解】

（1）由，解得，

则平均值，

即这200盒产品的该项指标值的平均值约为200.

（2）①由题意可得，，则，则该批产品指标值落在上的概率为.

②设每盒该产品的售价为X元，由①可得X的分布列为

则每盒该产品的平均售价为，故每万盒的平均利润为 (万元)．

18．（1）26.5；；答案见解析；（2）（ⅰ）级消毒液有81860瓶；（ⅱ）甲厂能在半年之内收回投资．理由见解析.

【详解】

（1）甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为

．

设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为，

则，解得．

统计结论：（答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也给分）

①两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当；

②由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定．

③两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好．

④两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于25．

⑤两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为．

⑥甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大的较多．

（2）（ⅰ）

，

因为，所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，级消毒液有81860瓶．

（ⅱ）设每瓶消毒液的利润为元，则的可能取值为10，5，，

，

由（ⅰ）知，

所以，故的分布列为

所以每瓶消毒液的平均利润为（元），

故生产半年消毒液所获利润为（千万元），

而5．5885（千万元）4（千万元），所以甲厂能在半年之内收回投资．

19．（1）（2）（ⅰ）天（ⅱ）小张选择方案二更有利

【详解】

（1）由分层抽样知识可知，这11天中前3组的数据分别有1个，4个，6个，

所以至少有2天的数据来自这一组的概率概率为.

（2）（ⅰ）由题得，

所以.

故2000天内日货物配送量在区间内的天数为.

（ⅱ）易知.

对于方案一，设小张每日可获得的奖金为元，则的可能取值为50，80，120，

其对应的概率分别为0.25，0.6，0.15，

故.

对于方案二，设小张每日可获得的奖金为元，则的所有可能取值为50，100，150，200，

故，，

，.

所以的分布列为

所以.

因为，

所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利.

20．（1）随机变量的期望是1000，方差是900；（2）（i）0.5793；（ii）阅览室至少还要增加22个座位.

【详解】

（1）由题意得：随机变量X服从二项分布，其中n=10000，p=0.1，

则，

所以随机变量的期望是1000，方差是900；

（2）（i）由于（1）中的二项分布n值较大，所以可以认为随机变量X服从正态分布，

由（1）知，则，

 ，

由标准正态分布的性质可知 ，

所以 ，

所以，

故在晚自习时间阅览室座位不够用的概率是0.5793；

（ii）查表可得：，则，

即，

而，

故座位数至少要1016个，

由于1016-994=22，则阅览室至少还要增加22个座位.