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综合检测06-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册全册综合同步训练题，共10页。试卷主要包含了已知x，y之间的一组数据，10 展开式中的常数项为，已知随机变量 X 的分布列为等内容，欢迎下载使用。
2020—2021学年高二数学下学期
综合检测06
满分： 100分 时间： 60分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 单项选择题：本题共12小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共计60分。
1.2020年12月4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为 23 ，连续答对两道题的概率为 12 .用事件 A 表示“甲同学答对第一道题”，事件 B 表示“甲同学答对第二道题”，则 P(B|A)= （ ）
A. 13 B. 12 C. 23 D. 34
2.设随机试验的结果只有A和B，且P(A)=m，令随机变量 ξ={1(A出现)0(B出现) ，则 ξ 的方差为（ ）
A. m B. 2m(1-m) C. m(1-m) D. -m(1-m)
3.若随机变量X的分布列如下表，则 E(X)= （ ）
X
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A. 118 B. 19 C. 920 D. 209
4.四个同学排成一排，甲只能排两端，共有多少种不同的排法？( )
A. 6 B. 12 C. 24 D. 30
5.已知x，y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
2
3
5
6
则y与x的线性回归方程y^=bx+a 表示的直线必过点（ ）
A. （2，2） B. （1.5，0） C. （1，2） D. （1.5，4）
6.若 C28x=C283x-8 ，则实数x的值为（ ）
A. 4 B. 9 C. 4或9 D. 不存在满足条件的实数x
7.已知变量 y 关于 x 的回归方程为 y=ebx-0.5 ，其一组数据如下表所示：
x
1
2
3
4
y
e
e3
e4
e6
若 x=5 ，则预测 y 的值可能为（ ）
A. e5 B. e112 C. e7 D. e152
8.(x3-1x7)10 展开式中的常数项为（ ）
A. 120 B. 45 C. -120 D. -45
9.已知随机变量 X 的分布列为：设 Y=2X+1 ，则 Y 的数学期望 E(Y) 的值是（ ）
X
-1
0
1
P
12
16
a
A. -16 B. 13 C. 23 D. -23
10.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设 X 表示向上一面出现6点的次数，则 X 的数学期望 E(X) 的值为（ ）
A. 13 B. 49 C. 59 D. 23
11.“开车不喝酒，喝酒不开车．”近日，公安部交通管理局下发《关于2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型 f(x)={40sin(π3x)+13,0≤x<290⋅e-0.5x+14,x≥2 ，则该人喝一瓶啤酒后至少经过（ ）小时才可以驾车？（参考数据： ln15≈2.71,ln30≈3.40 ）
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
驾驶行为类别
阈值（ mg/100mL ）
饮酒后驾车
≥20,<80
醉酒后驾车
≥80
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
12.已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为 23 ，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为 89 ，则A题答对的概率为（ ）
A. 14 B. 34 C. 12 D. 79
第Ⅱ卷（非选择题 共40分）
二、填空题：本题共计4小题，共计16分。
13.若 (x+ax)(2x-1x)5 的展开式中各项系数的和为5，则该展开式中常数项为________；
14.5个不同的小球全部放入编号为2、3、4的三个盒子中，要求没有空盒，且每盒的小球数不大于盒子的编号数，共有________种放法(用数字作答)
15.一批电池(一节)用于无线麦克风时，其寿命服从均值为34.3小时，标准差为4.3小时的正态分布，随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用不少于30小时的概率为________.(参考数据： P(μ-σ
A区
B区
C区
D区
E区
外来务工人员数
5000
4000
3500
3000
2500
留在当地的人数占比
80%
90%
80%
80%
84%
根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的线性回归方程为 y=0.8135x+a .该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为________万元.(参考数据：取 0.8135×36=29.29 )
三、解答题：本题共计4小题，共计24分。
17.随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
13
22
31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
66
当 017 时，确定y与x满足的线性回归方程为 y=-0.7x+a ．
（1）根据下列表格中的数据，比较当 0
模型①
模型②
回归方程
y=4.1x+11.8
y=21.3x-14.4
i=17(yi-yi)2
182.4
79.2
（附：刻画回归效果的相关指数 R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2 ， 17≈4.1 ）
（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．
（附：用最小二乘法求线性回归方程 y=bx+a 的系数： b=i=1nxiyi-nx⋅yi=1nxi2-nx2=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2 ， a=y-bx ）
（3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布 N(0.52,0.012) ．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元记为每部芯片获得的奖励，求 E(Y) （精确到0.01）．
（附：若随机变量 X~N(μ,σ2)(σ>0) ，则 P(μ-σ
（1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；
（2）求第n次（ n≥2 ， n∈N* ）由乙抛掷的概率.
19.袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 79 .
（1）求白球的个数；
（2）从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望.
20.某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法，（用数字回答）
（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；
（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；
（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】 ∵P(AB)=12 ， P(A)=23 ， ∴P(B|A)=P(AB)P(A)=1223=34 .
故答案为：D.
2.【答案】 C
【解析】由题意可得， ξ 服从两点分布，
因为P(A)=m
因此由两点分布的方差公式可得 Dξ=m(1-m) ，
故答案为：C.
3.【答案】 D
【解析】 ∵2x+3x+7x+2x+3x+x=1，∴x=118,E(X)=3x+14x+6x+12x+5x=40x=209 ，
故答案为：D。
4.【答案】 B
【解析】解：由题意得，先排甲以外的三个同学，共有A33种排法，再利用插空法知甲有C21种排法，则共有A33C21=12种不同的排法.
故答案为：B
5.【答案】 D
【解析】解：由题意得x=0+1+2+34=1.5，y=2+3+5+64=4 ，
所以 线性回归方程 y^=bx+a 表示的直线必过点 （1.5,4）
故答案为：D
6.【答案】 C
【解析】解：由 C28x=C283x-8 得x=3x-8或x+(3x-8)=28，解得x=4或9，
故答案为：C
7.【答案】 D
【解析】由 y=ebx-0.5 ，得 lny=bx-0.5 ，令 z=lny ，则 z=bx-0.5 .
x
1
2
3
4
z
1
3
4
6
x=1+2+3+44=2.5 ， z=1+3+4+64=3.5 ，
∵ (x,z) 满足 z=bx-0.5 ，∴ 3.5=b×2.5-0.5 ，
解得 b=1.6 ，∴ z=1.6x-0.5 ，∴ y=e1.6x-0.5 ，
当 x=5 时， y=e1.6×5-0.5=e152 ，
故答案为：D.
8.【答案】 C
【解析】 (x3-1x7)10 展开式中的常数项为 C103(x3)7(-1x7)3=-120 .
故答案为：C
9.【答案】 C
【解析】由题意，根据分布列的性质，可得 12+16+a=1 ，解得 a=13 ，
所以随机变量 X 的期望为 E(X)=-1×12+0×16+1×13=-16 ，
又由 Y=2X+1 ，所以随机变量 Y 的期望为 E(Y)=2E(X)+1=2×(-16)+1=23
故答案为：C.
10.【答案】 D
【解析】抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，向上一面出现6点的概率为 16 ，
∵X~B(4,16)，∴E(X)=4×16=23。
故答案为：D
11.【答案】 B
【解析】由散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，
令 {90⋅e-0.5x+14<20x≥2 ，故 {e-0.5x<115x≥2 ，
所以 x>2ln15≈2×2.71=5.42 ，
故答案为：B.
12.【答案】 B
【解析】设事件A：答对A题，事件B：答对B题，
则 P(AB)=P(A)⋅P(B)=23 ，
∴P(B|A)=P(AB)P(A)=89 .
∴P(A)=34 .
故答案为：B.
二、填空题
13.【答案】 280
【解析】由题意，令 x=1 ，得 1+a=5 ，解得 a=4 .
故 (x+ax)(2x-1x)5=(x+4x)(2x-1x)5=x(2x-1x)5+4x(2x-1x)5 ，
又 (2x-1x)5 的展开式的通项为 Tr+1=(-1)r⋅25-rC5rx5-2r ，
令 5-2r=-1 ，得 r=3 ，此时该项的系数为-40；
令 5-2r=1,r=2 ，此时该项的系数为80，
所以 (x+4x)(2x-1x)5 的展开式中的常数项为280.
故答案为：280.
14.【答案】 130
【解析】因为没有空盒且每盒的小球数不大于盒子的编号数，
所以有 (1,1,3) 、 (1,2,2) 、 (1,3,1) 、 (2,2,1) 、 (2,1,2) 五种分组方式，
若按照 (1,1,3) 分组方式，则有 C51×C41×C33=20 种放法；
若按照 (1,2,2) 分组方式，则有 C51×C42×C22=30 种放法；
若按照 (1,3,1) 分组方式，则有 C51×C43×C11=20 种放法；
若按照 (2,2,1) 分组方式，则有 C52×C32×C11=30 种放法；
若按照 (2,1,2) 分组方式，则有 C52×C31×C22=30 种放法；
综上所述，共有 20+30+20+30+30=130 种放法，
故答案为：130.
15.【答案】 0.84135
【解析】解：由题意知， X~N(34.3,4.32) ，
所以 P(X≥30)=P(X≥34.3-4.3)=P(X≥μ-σ) ，
故 P(X≥μ-σ)=1-12(1-0.6827)=0.84135 .
所以这节电池可持续使用不少于30小时的概率为0.84135.
故答案为：0.84135
16.【答案】 818.6
【解析】由已知 x=5000+4000+3500+3000+25005=3600 ，
y=5000×0.8+4000×0.9+3500×0.8+3000×0.8+2500×0.845=2980 ，
所以 2980=0.8135×3600+a ，则 a=51 ，即 y=0.8135x+51 ，
x=10000 时， y=0.8135×10000+51=8186 ，
估计应补贴 8186×0.1=818.6 （万元）．
故答案为：818.6．
三、解答题
17.【答案】 （1）解：由表格中的数据， 182.4>79.2 ，所以 182.4i=17(yi-y)2>79.2i=17(yi-y)2 ，
所以 1-182.4t=17(yi-y)2<1-79.2t=17(yi-y)2 ．
可见模型①的相关指数 R12 小于模型②的相关指数 R22 ．
所以回归模型②的拟合效果更好．
所以当 x=17 亿元时，科技升级直接收益的预测值为
y=21.3×17-14.4≈21.3×4.1-14.4=72.93 （亿元）．
（2）解：当 x>17 时，由已知可得 x=21+22+23+24+255=23 ．
y=68.5+68+67.5+66+665=67.2 ．
所以 a=y+0.7x=67.2+0.7×23=83.3 ．
所以当 x>17 时，y与x满足的线性回归方程为 y=-0.7x+83.3 ．
当 x=20 时，科技升级直接收益的预测值为 y=-0.7×20+83.3=69.3 亿元．
当 x=20 亿元时，实际收益的预测值为 69.3+5=74.3 亿元 >72.93 亿元，
所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．
（3）解：因为 μ-2σ=0.50 ， μ+σ=0.53 ，所以
P(0.50
P(X>0.53)=P(X>μ+σ)=1-0.68272 ．
所以 E(Y)=0+2×0.8186+4×1-0.68272 =2.2718≈2.27 （元）．
【解析】 （1）求解模型①的相关指数 R12 小于模型②的相关指数 R22 ，然后判断回归模型②的拟合效果更好．当x=17亿元时，求解科技升级直接收益的预测值即可；
（2）当x＞17时，求解样本中心坐标，回归直线方程的系数，然后求解当x=20时，科技升级直接收益的预测值，当x=20亿元时，实际收益的预测值，推出公司的实际收益更大．
18.【答案】 （1）解：由已知，掷出的点数不大于4的概率为 23 ，大于4的概率为 13 ，抛掷4次，设甲抛掷次数为 ξ ， ξ 的可能取值为1，2，3，4.
P(ξ=1)=13⋅23⋅23=427 ，
P(ξ=2)=23⋅13⋅23+13⋅13⋅13+13⋅23⋅13=727 ，
P(ξ=3)=23⋅23⋅13+23⋅13⋅13+13⋅13⋅23=827 ，
P(ξ=4)=23⋅23⋅23=827 ，
分布列：
ξ
1
2
3
4
P
427
727
827
827
则 E(ξ)=1⋅427+2⋅727+3⋅827+4⋅827=7427
（2）解：设第 n 次（ n≥2 ， n∈N* ）由乙抛掷的概率为 Pn ，则第 n 次（ n≥2 ， n∈N* ）由乙抛掷这个事件包含第 n-1 次由乙抛掷，第 n 次仍由乙抛掷和第 n-1 次由甲抛掷，第 n 次由乙抛掷这两个互斥的事件，
所以， Pn=Pn-1⋅23+(1-Pn-1)⋅13=13Pn-1+13 （ n≥3 ），
所以， Pn-12=13(Pn-1-12) （ n≥3 ），又 P2=13 ，所以， P2-12=-16
所以，当 n≥2 ， n∈N* 时， {Pn-12} 为等比数列，则 Pn-12=-16⋅(13)n-2 ，所以， Pn=12-16⋅(13)n-2 ，
第n次（ n≥2 ， n∈N* ）由乙抛掷的概率 Pn=12-16⋅(13)n-2 .
【解析】（1）分别求出点数不大于4的概率和大于4的概率，设甲抛掷次数为 ξ ， ξ 的可能取值为1，2，3，4，进而可得甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；（2）设第 n 次（ n≥2 ， n∈N* ）由乙抛掷的概率为 Pn ，则第 n 次（ n≥2 ， n∈N* ）由乙抛掷这个事件包含第 n-1 次由乙抛掷，第 n 次仍由乙抛掷和第 n-1 次由甲抛掷，第 n 次由乙抛掷这两个互斥的事件，进而得出 Pn=Pn-1⋅23+(1-Pn-1)⋅13 ，从而可得 Pn-12=13(Pn-1-12) ，根据 P2=13 ，结合等比数列，即可得到 Pn .
19.【答案】 （1）解：设黑球的个数为 x ，则白球的个数为 10-x ．
记两个都是黑球得的事件为 A ，
则至少有一个白球的事件与事件 A 为对立事件
所以 P(A)=1-79=Cx2C102=29
解得 x=5 ，
所以白球的个数为 5
（2）解：离散型随机变量 X 的取值可能为： 0,1,2,3,
P(X=0)=C50C53C103=112,P(X=1)=C51C52C103=512
P(X=2)=C52C51C103=512,P(X=3)=C53C50C103=112
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
112
512
512
112
因为 X 服从超几何分布，
n=3,M=5,N=10
所以 E(X)=nMN=32
【解析】（1）利用对立事件解题，求至少一个白球的概率，取反，即可得出答案。（2）分别计算出X=0,1,2,3下的概率，列出分布列，利用超几何分布，计算期望，即可得出答案。
20.【答案】 （1）解：每人都可以从这四个项目中选报一项，各有4种不同的选法，
由分步计数原理知共有 46=4096 种．
（2）解：每项限报一人，且每人至多报一项，因此可由项目选人，
第一个项目有6种不同的选法，第二个项目有5种不同的选法，
第三个项目有4种不同的选法，第四个项目有3种不同的选法，
由分步计数原理得共有报名方法 A64=6×5×4×3=360 种．
（3）解：每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加，
因此需将6人分成4组，有 C63+C62C42A22=20+15×62=65 种．
每组参加一个项目，
由分步计数原理得共有 (C63+C62C42A22)A44=(20+45)×24=1560 种．
【解析】（1）利用已知条件结合分步乘法计数原理，进而求出每人恰好参加一项，每项人数不限的种数。
（2）利用已知条件结合分步乘法计数原理，进而求出每项限报一人，且每人至多参加一项的种数。
（3）利用已知条件结合排列数公式合组合数公式，再利用分步乘法计数原理，进而求出每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加的种数。
2020—2021学年高二数学下学期
综合检测06
满分： 100分 时间： 60分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 单项选择题：本题共12小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共计60分。
1.2020年12月4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为 23 ，连续答对两道题的概率为 12 .用事件 A 表示“甲同学答对第一道题”，事件 B 表示“甲同学答对第二道题”，则 P(B|A)= （ ）
A. 13 B. 12 C. 23 D. 34
2.设随机试验的结果只有A和B，且P(A)=m，令随机变量 ξ={1(A出现)0(B出现) ，则 ξ 的方差为（ ）
A. m B. 2m(1-m) C. m(1-m) D. -m(1-m)
3.若随机变量X的分布列如下表，则 E(X)= （ ）
X
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A. 118 B. 19 C. 920 D. 209
4.四个同学排成一排，甲只能排两端，共有多少种不同的排法？( )
A. 6 B. 12 C. 24 D. 30
5.已知x，y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
2
3
5
6
则y与x的线性回归方程y^=bx+a 表示的直线必过点（ ）
A. （2，2） B. （1.5，0） C. （1，2） D. （1.5，4）
6.若 C28x=C283x-8 ，则实数x的值为（ ）
A. 4 B. 9 C. 4或9 D. 不存在满足条件的实数x
7.已知变量 y 关于 x 的回归方程为 y=ebx-0.5 ，其一组数据如下表所示：
x
1
2
3
4
y
e
e3
e4
e6
若 x=5 ，则预测 y 的值可能为（ ）
A. e5 B. e112 C. e7 D. e152
8.(x3-1x7)10 展开式中的常数项为（ ）
A. 120 B. 45 C. -120 D. -45
9.已知随机变量 X 的分布列为：设 Y=2X+1 ，则 Y 的数学期望 E(Y) 的值是（ ）
X
-1
0
1
P
12
16
a
A. -16 B. 13 C. 23 D. -23
10.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设 X 表示向上一面出现6点的次数，则 X 的数学期望 E(X) 的值为（ ）
A. 13 B. 49 C. 59 D. 23
11.“开车不喝酒，喝酒不开车．”近日，公安部交通管理局下发《关于2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型 f(x)={40sin(π3x)+13,0≤x<290⋅e-0.5x+14,x≥2 ，则该人喝一瓶啤酒后至少经过（ ）小时才可以驾车？（参考数据： ln15≈2.71,ln30≈3.40 ）
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
驾驶行为类别
阈值（ mg/100mL ）
饮酒后驾车
≥20,<80
醉酒后驾车
≥80
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
12.已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为 23 ，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为 89 ，则A题答对的概率为（ ）
A. 14 B. 34 C. 12 D. 79
第Ⅱ卷（非选择题 共40分）
二、填空题：本题共计4小题，共计16分。
13.若 (x+ax)(2x-1x)5 的展开式中各项系数的和为5，则该展开式中常数项为________；
14.5个不同的小球全部放入编号为2、3、4的三个盒子中，要求没有空盒，且每盒的小球数不大于盒子的编号数，共有________种放法(用数字作答)
15.一批电池(一节)用于无线麦克风时，其寿命服从均值为34.3小时，标准差为4.3小时的正态分布，随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用不少于30小时的概率为________.(参考数据： P(μ-σ
A区
B区
C区
D区
E区
外来务工人员数
5000
4000
3500
3000
2500
留在当地的人数占比
80%
90%
80%
80%
84%
根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的线性回归方程为 y=0.8135x+a .该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为________万元.(参考数据：取 0.8135×36=29.29 )
三、解答题：本题共计4小题，共计24分。
17.随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
13
22
31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
66
当 0
（1）根据下列表格中的数据，比较当 0
模型①
模型②
回归方程
y=4.1x+11.8
y=21.3x-14.4
i=17(yi-yi)2
182.4
79.2
（附：刻画回归效果的相关指数 R2=1-i=1n(yi-yi)2i=1n(yi-y)2 ， 17≈4.1 ）
（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．
（附：用最小二乘法求线性回归方程 y=bx+a 的系数： b=i=1nxiyi-nx⋅yi=1nxi2-nx2=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2 ， a=y-bx ）
（3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布 N(0.52,0.012) ．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元记为每部芯片获得的奖励，求 E(Y) （精确到0.01）．
（附：若随机变量 X~N(μ,σ2)(σ>0) ，则 P(μ-σ
（1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；
（2）求第n次（ n≥2 ， n∈N* ）由乙抛掷的概率.
19.袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 79 .
（1）求白球的个数；
（2）从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望.
20.某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法，（用数字回答）
（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；
（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；
（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】 ∵P(AB)=12 ， P(A)=23 ， ∴P(B|A)=P(AB)P(A)=1223=34 .
故答案为：D.
2.【答案】 C
【解析】由题意可得， ξ 服从两点分布，
因为P(A)=m
因此由两点分布的方差公式可得 Dξ=m(1-m) ，
故答案为：C.
3.【答案】 D
【解析】 ∵2x+3x+7x+2x+3x+x=1，∴x=118,E(X)=3x+14x+6x+12x+5x=40x=209 ，
故答案为：D。
4.【答案】 B
【解析】解：由题意得，先排甲以外的三个同学，共有A33种排法，再利用插空法知甲有C21种排法，则共有A33C21=12种不同的排法.
故答案为：B
5.【答案】 D
【解析】解：由题意得x=0+1+2+34=1.5，y=2+3+5+64=4 ，
所以 线性回归方程 y^=bx+a 表示的直线必过点 （1.5,4）
故答案为：D
6.【答案】 C
【解析】解：由 C28x=C283x-8 得x=3x-8或x+(3x-8)=28，解得x=4或9，
故答案为：C
7.【答案】 D
【解析】由 y=ebx-0.5 ，得 lny=bx-0.5 ，令 z=lny ，则 z=bx-0.5 .
x
1
2
3
4
z
1
3
4
6
x=1+2+3+44=2.5 ， z=1+3+4+64=3.5 ，
∵ (x,z) 满足 z=bx-0.5 ，∴ 3.5=b×2.5-0.5 ，
解得 b=1.6 ，∴ z=1.6x-0.5 ，∴ y=e1.6x-0.5 ，
当 x=5 时， y=e1.6×5-0.5=e152 ，
故答案为：D.
8.【答案】 C
【解析】 (x3-1x7)10 展开式中的常数项为 C103(x3)7(-1x7)3=-120 .
故答案为：C
9.【答案】 C
【解析】由题意，根据分布列的性质，可得 12+16+a=1 ，解得 a=13 ，
所以随机变量 X 的期望为 E(X)=-1×12+0×16+1×13=-16 ，
又由 Y=2X+1 ，所以随机变量 Y 的期望为 E(Y)=2E(X)+1=2×(-16)+1=23
故答案为：C.
10.【答案】 D
【解析】抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，向上一面出现6点的概率为 16 ，
∵X~B(4,16)，∴E(X)=4×16=23。
故答案为：D
11.【答案】 B
【解析】由散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，
令 {90⋅e-0.5x+14<20x≥2 ，故 {e-0.5x<115x≥2 ，
所以 x>2ln15≈2×2.71=5.42 ，
故答案为：B.
12.【答案】 B
【解析】设事件A：答对A题，事件B：答对B题，
则 P(AB)=P(A)⋅P(B)=23 ，
∴P(B|A)=P(AB)P(A)=89 .
∴P(A)=34 .
故答案为：B.
二、填空题
13.【答案】 280
【解析】由题意，令 x=1 ，得 1+a=5 ，解得 a=4 .
故 (x+ax)(2x-1x)5=(x+4x)(2x-1x)5=x(2x-1x)5+4x(2x-1x)5 ，
又 (2x-1x)5 的展开式的通项为 Tr+1=(-1)r⋅25-rC5rx5-2r ，
令 5-2r=-1 ，得 r=3 ，此时该项的系数为-40；
令 5-2r=1,r=2 ，此时该项的系数为80，
所以 (x+4x)(2x-1x)5 的展开式中的常数项为280.
故答案为：280.
14.【答案】 130
【解析】因为没有空盒且每盒的小球数不大于盒子的编号数，
所以有 (1,1,3) 、 (1,2,2) 、 (1,3,1) 、 (2,2,1) 、 (2,1,2) 五种分组方式，
若按照 (1,1,3) 分组方式，则有 C51×C41×C33=20 种放法；
若按照 (1,2,2) 分组方式，则有 C51×C42×C22=30 种放法；
若按照 (1,3,1) 分组方式，则有 C51×C43×C11=20 种放法；
若按照 (2,2,1) 分组方式，则有 C52×C32×C11=30 种放法；
若按照 (2,1,2) 分组方式，则有 C52×C31×C22=30 种放法；
综上所述，共有 20+30+20+30+30=130 种放法，
故答案为：130.
15.【答案】 0.84135
【解析】解：由题意知， X~N(34.3,4.32) ，
所以 P(X≥30)=P(X≥34.3-4.3)=P(X≥μ-σ) ，
故 P(X≥μ-σ)=1-12(1-0.6827)=0.84135 .
所以这节电池可持续使用不少于30小时的概率为0.84135.
故答案为：0.84135
16.【答案】 818.6
【解析】由已知 x=5000+4000+3500+3000+25005=3600 ，
y=5000×0.8+4000×0.9+3500×0.8+3000×0.8+2500×0.845=2980 ，
所以 2980=0.8135×3600+a ，则 a=51 ，即 y=0.8135x+51 ，
x=10000 时， y=0.8135×10000+51=8186 ，
估计应补贴 8186×0.1=818.6 （万元）．
故答案为：818.6．
三、解答题
17.【答案】 （1）解：由表格中的数据， 182.4>79.2 ，所以 182.4i=17(yi-y)2>79.2i=17(yi-y)2 ，
所以 1-182.4t=17(yi-y)2<1-79.2t=17(yi-y)2 ．
可见模型①的相关指数 R12 小于模型②的相关指数 R22 ．
所以回归模型②的拟合效果更好．
所以当 x=17 亿元时，科技升级直接收益的预测值为
y=21.3×17-14.4≈21.3×4.1-14.4=72.93 （亿元）．
（2）解：当 x>17 时，由已知可得 x=21+22+23+24+255=23 ．
y=68.5+68+67.5+66+665=67.2 ．
所以 a=y+0.7x=67.2+0.7×23=83.3 ．
所以当 x>17 时，y与x满足的线性回归方程为 y=-0.7x+83.3 ．
当 x=20 时，科技升级直接收益的预测值为 y=-0.7×20+83.3=69.3 亿元．
当 x=20 亿元时，实际收益的预测值为 69.3+5=74.3 亿元 >72.93 亿元，
所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．
（3）解：因为 μ-2σ=0.50 ， μ+σ=0.53 ，所以
P(0.50
P(X>0.53)=P(X>μ+σ)=1-0.68272 ．
所以 E(Y)=0+2×0.8186+4×1-0.68272 =2.2718≈2.27 （元）．
【解析】 （1）求解模型①的相关指数 R12 小于模型②的相关指数 R22 ，然后判断回归模型②的拟合效果更好．当x=17亿元时，求解科技升级直接收益的预测值即可；
（2）当x＞17时，求解样本中心坐标，回归直线方程的系数，然后求解当x=20时，科技升级直接收益的预测值，当x=20亿元时，实际收益的预测值，推出公司的实际收益更大．
18.【答案】 （1）解：由已知，掷出的点数不大于4的概率为 23 ，大于4的概率为 13 ，抛掷4次，设甲抛掷次数为 ξ ， ξ 的可能取值为1，2，3，4.
P(ξ=1)=13⋅23⋅23=427 ，
P(ξ=2)=23⋅13⋅23+13⋅13⋅13+13⋅23⋅13=727 ，
P(ξ=3)=23⋅23⋅13+23⋅13⋅13+13⋅13⋅23=827 ，
P(ξ=4)=23⋅23⋅23=827 ，
分布列：
ξ
1
2
3
4
P
427
727
827
827
则 E(ξ)=1⋅427+2⋅727+3⋅827+4⋅827=7427
（2）解：设第 n 次（ n≥2 ， n∈N* ）由乙抛掷的概率为 Pn ，则第 n 次（ n≥2 ， n∈N* ）由乙抛掷这个事件包含第 n-1 次由乙抛掷，第 n 次仍由乙抛掷和第 n-1 次由甲抛掷，第 n 次由乙抛掷这两个互斥的事件，
所以， Pn=Pn-1⋅23+(1-Pn-1)⋅13=13Pn-1+13 （ n≥3 ），
所以， Pn-12=13(Pn-1-12) （ n≥3 ），又 P2=13 ，所以， P2-12=-16
所以，当 n≥2 ， n∈N* 时， {Pn-12} 为等比数列，则 Pn-12=-16⋅(13)n-2 ，所以， Pn=12-16⋅(13)n-2 ，
第n次（ n≥2 ， n∈N* ）由乙抛掷的概率 Pn=12-16⋅(13)n-2 .
【解析】（1）分别求出点数不大于4的概率和大于4的概率，设甲抛掷次数为 ξ ， ξ 的可能取值为1，2，3，4，进而可得甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；（2）设第 n 次（ n≥2 ， n∈N* ）由乙抛掷的概率为 Pn ，则第 n 次（ n≥2 ， n∈N* ）由乙抛掷这个事件包含第 n-1 次由乙抛掷，第 n 次仍由乙抛掷和第 n-1 次由甲抛掷，第 n 次由乙抛掷这两个互斥的事件，进而得出 Pn=Pn-1⋅23+(1-Pn-1)⋅13 ，从而可得 Pn-12=13(Pn-1-12) ，根据 P2=13 ，结合等比数列，即可得到 Pn .
19.【答案】 （1）解：设黑球的个数为 x ，则白球的个数为 10-x ．
记两个都是黑球得的事件为 A ，
则至少有一个白球的事件与事件 A 为对立事件
所以 P(A)=1-79=Cx2C102=29
解得 x=5 ，
所以白球的个数为 5
（2）解：离散型随机变量 X 的取值可能为： 0,1,2,3,
P(X=0)=C50C53C103=112,P(X=1)=C51C52C103=512
P(X=2)=C52C51C103=512,P(X=3)=C53C50C103=112
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
112
512
512
112
因为 X 服从超几何分布，
n=3,M=5,N=10
所以 E(X)=nMN=32
【解析】（1）利用对立事件解题，求至少一个白球的概率，取反，即可得出答案。（2）分别计算出X=0,1,2,3下的概率，列出分布列，利用超几何分布，计算期望，即可得出答案。
20.【答案】 （1）解：每人都可以从这四个项目中选报一项，各有4种不同的选法，
由分步计数原理知共有 46=4096 种．
（2）解：每项限报一人，且每人至多报一项，因此可由项目选人，
第一个项目有6种不同的选法，第二个项目有5种不同的选法，
第三个项目有4种不同的选法，第四个项目有3种不同的选法，
由分步计数原理得共有报名方法 A64=6×5×4×3=360 种．
（3）解：每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加，
因此需将6人分成4组，有 C63+C62C42A22=20+15×62=65 种．
每组参加一个项目，
由分步计数原理得共有 (C63+C62C42A22)A44=(20+45)×24=1560 种．
【解析】（1）利用已知条件结合分步乘法计数原理，进而求出每人恰好参加一项，每项人数不限的种数。
（2）利用已知条件结合分步乘法计数原理，进而求出每项限报一人，且每人至多参加一项的种数。
（3）利用已知条件结合排列数公式合组合数公式，再利用分步乘法计数原理，进而求出每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加的种数。
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