高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理本章综合与测试练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理本章综合与测试练习题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020—2021学年高二数学下学期   第六章  计数原理专项训练一、单选题（共12题；共60分）1．已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（    ）A．49 B．48 C．47 D．462．将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（    ）A．33 B．56 C．64 D．783．在的展开式中，x2项的系数为（    ）A．30 B．45 C．60 D．904．空间中不共面的4点A，B，C，D，若其中3点到平面的距离相等且为第四个点到平面的倍，这样的平面的个数为（      ）A．8 B．16 C．32 D．485．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为A．B．C．D．6．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为　　A． B． C． D．7．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有A．22种 B．24种 C．25种 D．27种8．若的展开式中的系数为，则（    ）A． B． C． D．9．已知，当时，，则当时，的值为（    ）A． B． C． D．10．2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”.在此次活动中，某学校有女、男名教师报名成为志愿者，现在有个不同的社区需要进行普查工作，从这名志愿者中选派名，每人去个小区，每个小区去名教师，其中至少要有名女教师，则不同的选派方案有多少种（    ）A．种 B．种 C．种 D．种11．在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则（    ）A．4 B．5 C．6 D．712．由0，1，2，3，4，5共6个不同数字组成的6位数，要求0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是（    ）A．144 B．216 C．288 D．432二、填空题（共4题；共20分）13．学校安排5名学生到3家公司实习，要求每个公司至少有1名学生，则有__________种不同的排法.14．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有3种不同的植物可供选择，则有_____种栽种方案．15．2018年6月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的8名同学符合招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名.若将这8名同学分成甲乙两个小组,每组4名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有__________种．16．某学校要安排位数学老师、位英语老师和位化学老师分别担任高三年级中个不同班级的班主任，每个班级安排个班主任．由于某种原因，数学老师不担任班的班主任，英语老师不担任班的班主任，化学老师不担班和班的班主任， 则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）．三、解答题（共4题；共20分）17．设，其中.（1）证明：，其中；（2）当时，化简：；（3）当时，记，，试比较与的大小.18．的展开式中，奇数项的二项式系数之和为128，且前三项系数成等差数列.（1）求的值；（2）若，展开式有多少有理项？写出所有有理项.19．已知，（1）求的值;（2）若且，求的值;（3）求证：.20．某大学师范学院的两名教授带领四名实习学生外出实习，实习前在学院门口合影留念，实习结束后四名实习生就被安排在三所中学任教，请回答以下问题.(用数字作答)（1）若站成两排合影，两名教授站在前排，四名实习学生站在后排，则共有多少种不同的排法？（2）若站成一排合影，两名教授必须相邻，则共有多少种不同的排法？（3）实习结束后，四名实习生被安排在三所中学任教，若每个中学至少一人去，则共有多少种不同的安排方法？
参考答案1．A【详解】集合知： 1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：的集合为，而有 种集合，集合对(A,B)的个数为15；2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：的集合为，而B有种，集合对(A,B)的个数为；3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：的集合为，而B有种，集合对(A,B)的个数为；4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：的集合为，而B有种，集合对(A,B)的个数为；∴一共有个，故选：A2．B【详解】记分隔边的条数为，首先将方格表按图分成三个区域，如图：
 分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，则，其次证明：，将方格表的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，行中方格出现的颜色为，列中方格出现的颜色为，三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含色方格的行数与列数之和，定义当行含色方格时，，否则，类似的定义，所以，由于染色的格的行有个，列有个，则色的方格一定在这行和列的交叉方格中，从而，所以所以①，由于在行中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边，类似地，在列中至少有条分隔边，则 ②③，下面分两种情况讨论：1、有一行或一列所有方格同色，不妨设为色，则方格表的33列中均含有色的方格，又色的方格有363个，故至少有行含有色的方格，于是④，由①③④得；2、没有一行也没有一列所有方格同色，对任意均有，，从而由②可得；综上所述，分隔边条数的最小值为56.故选：B3．B【详解】在的展开式中，通项公式为Tr+1•.对于，通项公式为Tk+1•xr﹣2021k，k≤r，r、k∈N，r≤10.令r﹣2021k＝2，可得r＝2+2021k，故k＝0，r＝2，故x2项的系数为•45，故选：B.4．C【详解】第一种情况，A，B，C，D点在平面的同侧.当平面∥平面BCD时，A与平面的距离是与平面BCD的距离的2倍.这种情况下有4个平面.第二种情况，A，B，C，D中有3个点在平面的一侧，第4个点在平面的另一侧，这时又有两种情形：一种情形是平面与平面BCD平行，且A与平面的距离是平面与平面BCD距离的2倍.这时有4个平面.另一种情形如图a所示，图中E，F分别是AB，AC的中点，K是AD的三等分点中靠近A的分点，A，B，C到平面EFK（即平面）的距离是D到平面EFK距离的一半.∵EF可以是AB，AC的中点的连线，又可以是AB，BC的中点的连线，或AC，BC的中点的连线，∴这种情形下的平面有3×4=12（个）.第三种情况，如图b所示，在A，B，C，D四点中，平面两侧各种有两点.容易看出：点A到平面EFMN（平面）的距离是B，C，D到该平面距离的2倍．就A，C与B，D分别位于平面两侧的情形来看，就有A离平面远，B离平面远，C离平面远，D离平面远这四种情况.又“AC，BD异面，则这样的异面直线共有3对，∴平面有4×3=12（个）.综上分析，平面有4+4+12+12=32（个）.故选C.5．B【详解】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下 2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理，则上列情况能表示的三位数字个数分别为：2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：.故选B.6．D【详解】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为 ,故选D．7．D【详解】分析：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的表示三次骰子的点数之和是，列举出在点数中三个数字能够使得和为的，共有种组合，利用分类计数原理能得到结果.详解：由题意知正方形（边长为个单位）的周长是，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的表示三次骰子的点数之和是，列举出在点数中三个数字能够使得和为的有，共有种组合，前种组合，每种情况可以排列出种结果，共有种结果；各有种结果，共有种结果，根据分类计数原理知共有种结果，故选D.8．B【详解】，的展开式通项为，的展开式通项为，所以，的展开式通项为，由可得，由题意可得，解得.故选：B.9．B【详解】，令，则；令，，则，因为，所以，，，当时，，则，，，，故选：B.10．C【详解】只有一名女教师：;选派两名女教师：；所以共有72+24=96种方法.故选：C11．C【详解】在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项项的二项式系数最大， 即，解得：故选：C．12．C【详解】先从3个奇数中选2个奇数捆绑看成一个整体，然后将它们分别安置在5个位置上，分别记为①②③④⑤，其中这个整体与剩下的一个奇数不相邻，以及0不在①号位置，也不在⑤号位置．（1）若奇数排在①③号位置，则排法总数为；（2）若奇数排在①④号位置，则排法总数为；（3）若奇数排在①⑤号位置，则排法总数为；（4）若奇数排在②④号位置，则排法总数为；（5）若奇数排在②⑤号位置，则排法总数为；（6）若奇数排在③⑤号位置，则排法总数为；根据分类加法计数原理可知，排法总数为．故选：C．13．150【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①先将5名学生分成3组，若分成1、1、3的三组，有种分组方法，若分成1、2、2的三组，有种分组方法，则有种分组方法；②再将分好的三组全排列，对应三个公司，有种情况，则有种不同的安排方式.故答案为：150.14．66【详解】根据题意，分3种情况讨论：①当A、C、E种同一种植物，此时共有3×2×2×2=24种方法；②当A、C、E种二种植物，此时共有C32×A32×2×1×1=36种方法；③当A、C、E种三种植物，此时共有A33×1×1×1=6种方法；则一共有24+36+6=66种不同的栽种方案；故答案为66．15．24【解析】分析：首先要明确该题应该分类讨论，第一类是大一的两名同学在乙组，第二类是大一的两名同学不在乙组，利用组合知识，求得相应的数，之后应用分类加法计数原理，求得结果，问题得以解决.详解：根据题意，第一类：大一的两名同学在乙组，乙组剩下的两个来自不同的年级，从三个年级中选两个为种，然后分别从选择的年级中再选择一个学生为种，故有种；第二类：大一的两名同学不在乙组，则从剩下的三个年级中选择一个年级的两名同学在乙组，为种，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为种，这时共有种；根据分类计数原理得，共有种不同的分组方式.16．32【解析】若数学老师分到两班，共有种分法，若数学老师分到两班，共有种分法，若数学老师分到两班，共有种分法，若数学老师分到两班，共有种分法，若数学老师分到两班，共有种分法，若数学老师分到两班，共有种分法，共有种安排方法，故答案为 .17．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1），其中.（2）当时，由（1）结论可得所以原式.（3）【解法一】当时，，所以，所以，令，得，当时，；当时，，即.下面先用数学归纳法证明：当时，，（☆）①当时，，（☆）式成立；②假设时，（☆）式成立，即，则时，（☆）式右边所以，当，（☆）式也成立.综合①②知，当时，.所以，当时，；当时，.【解法二】当时，，所以，所以，令，得，要比较与的大小，即可比较与的大小，设，则，由，得，所以在上递增，由，得，所以在上递减，所以当时，，，当时，，即，即，即，综上所述，当时，；当时，.18．（1）2或14；（2），，.【详解】因为奇数项的二项式系数之和为128，所以，解得，所以二项式为第一项：，系数为1，第二项：，系数为，第三项：，系数为，由前三项系数成等差数列得： ，解得或.（2）若，由（1）得二项式为，通项为：，其中 所以，令即，此时；令即，不符题意；令即，不符题意；令即，此时；令即，不符题意；令即，不符题意；令即， 此时综上，有3项有理项，分别是：，，.19．（1）（2）（3）见解析【解析】分析：（1）令，根据可求的值；（2）由，解得可求的值;（3）利用二项展开式及放缩法即可证明.：详解：（1）令，则=0，又     所以（2）由，解得，所以 （3）20．(1) 48     (2) 240    (3) 36【详解】(1 )先排2名教授,有(种)不同的排法,再排4名实习学生,有(种)不同的排法,故由分步乘法计数原理可得，共有 (种)不同的排法(2) 将2名教授看作是一个整体，和4名实习学生一起排列有 (种)不同的排法又2名教授,有(种)不同的排法,所以共有 (种)不同的排法 (3 )把4名实习学生按1 , 1 , 2分成3组,有种分组方法.再将三组分别分配到三所中学任教故共有 (种)不同的排法.