2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习12《函数模型及其应用》(含详解)

这是一份2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习12《函数模型及其应用》(含详解)，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
A.y=2x－2 B.y=eq \f(1,2)(x2－1) C.y=lg2x D.y=lgeq \f(1,2)x
某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.eq \f(p＋q,2) B. SKIPIF 1 < 0 C.eq \r(pq) D. SKIPIF 1 < 0
某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元.该设备每年生产的收入均为21万元.设该设备使用了n(n∈N*)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n等于( )
A.6 B.7 C.8 D.7或8
李冶(1192—1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)( )
A.10步，50步 B.20步，60步 C.30步，70步 D.40步，80步
某校甲、乙两食堂某年1月营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( )
A.甲食堂的营业额较高
B.乙食堂的营业额较高
C.甲、乙两食堂的营业额相同
D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent，假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等.若再过m min甲桶中的水只有eq \f(a,4) L，则m的值为( )
A.5 B.8 C.9 D.10
某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(C，0＜x≤A，,C＋B（x－A），x＞A.)).
已知某家庭前三个月的煤气费如表：
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为( )
A.11.5元 B.11元 C.10.5元 D.10元
在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位ml/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位ml/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH=－lg [H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的eq \f([H＋],[OH－])可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,10)
下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品.已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P=eq \f(x,4)，Q=eq \f(a,2) eq \r(x)(a>0).若不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为( )
A.eq \r(5) B.5 C.eq \r(2) D.2
如图，矩形ABCD的周长为8，设AB=x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN=1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y=f(x)的图象大致为( )

某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是( )
A.118元 B.105元 C.106元 D.108元
二、填空题
渔场中鱼群的最大养殖量为m，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)，则鱼群年增长量的最大值是________.
现有含盐7%的食盐水200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是________.
西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L=eq \f(51,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(8,x)))(x＞0).则当年广告费投入 万元时，该公司的年利润最大.
某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，
则该家具的进货价是 元.
已知某驾驶员喝了m升酒后，血液中酒精的含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)= SKIPIF 1 < 0 ，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量应不超过0.02毫克/毫升.则此驾驶员至少要过 小时后才能开车.(精确到1小时)
拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)=1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3，[3.7]=3，[3.1]=3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元.
\s 0 答案解析
答案为：B；
解析：由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
答案为：D.
解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p＋1)(q＋1).
设这两年生产总值的年平均增长率为x，则(1＋x)2=(p＋1)(q＋1)，
解得x=eq \r(p＋1q＋1)－1.故选D.
答案为：B；
解析：盈利总额为21n－9－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2n＋\f(1,2)×nn－1×3))=－eq \f(3,2)n2＋eq \f(41,2)n－9.因为其对应的函数的图象的对称轴方程为n=eq \f(41,6).所以当n=7时取最大值，即盈利总额达到最大值，故选B.
答案为：B.
解析：设圆池的半径为r步，则方田的边长为(2r＋40)步，由题意，
得(2r＋40)2－3r2=13.75×240，解得r=10或r=－170(舍)，
所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步.故选B.
答案为：A；
解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a＞0)，
乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m＋8a=m×(1＋x)8，
则5月份甲食堂的营业额y1=m＋4a，乙食堂的营业额y2=m×(1＋x)4=eq \r(m（m＋8a）)，
因为yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)=(m＋4a)2－m(m＋8a)=16a2＞0，所以y1＞y2，
故本年5月份甲食堂的营业额较高.
答案为：A
解析：∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=eq \f(1,2)a，
可得n=eq \f(1,5)ln eq \f(1,2)，∴f(t)=a·（eq \f(1,2)）0.2t，因此，当k min后甲桶中的水只有eq \f(a,4) L时，
f(k)=a·（eq \f(1,2)）0.2k=eq \f(1,4)a，即（eq \f(1,2)）0.2k=eq \f(1,4)，∴k=10，则m=k－5=5.
答案为：A；
解析：根据题意可知f(4)=C=4，f(25)=C＋B(25－A)=14，f(35)=C＋B(35－A)=19，
解得A=5，B=eq \f(1,2)，C=4，
所以f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4，0＜x≤5，,4＋\f(1,2)（x－5），x＞5，))所以f(20)=4＋eq \f(1,2)(20－5)=11.5.
答案为：C
解析：∵[H＋]·[OH－]=10－14，∴eq \f([H＋],[OH－])=[H＋]2×1014，∵7.35<－lg [H＋]<7.45，
∴10－7.45<[H＋]<10－7.35，∴10－0.9eq \f(1,10)，
lg(100.7)=0.7>lg 3>lg 2，∴100.7>3>2，10－0.7 答案为：A.
解析：由表中数据知x，y满足关系y=13＋2(x－3).故为一次函数模型.
答案为：A
解析：设投入x万元经销甲商品，则经销乙商品投入(20－x)万元，
总利润y=P＋Q=eq \f(x,4)＋eq \f(a,2)·eq \r(20－x).令y≥5，则eq \f(x,4)＋eq \f(a,2)·eq \r(20－x)≥5对0≤x≤20恒成立.
∴aeq \r(20－x)≥10－eq \f(x,2)，∴a≥eq \f(1,2)eq \r(20－x)对0≤x<20恒成立.
∵f(x)=eq \f(1,2)eq \r(20－x)的最大值为eq \r(5)，且x=20时，aeq \r(20－x)≥10－eq \f(x,2)也成立，∴amin=eq \r(5).故选A.
答案为：D；
解析：由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为eq \f(1,2)的扇形.
因为矩形ABCD的周长为8，AB=x，
则AD=eq \f(8－2x,2)=4－x，所以y=x(4－x)－eq \f(π,4)=－(x－2)2＋4－eq \f(π,4)(1≤x≤3)，
显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x=2时，y=4－eq \f(π,4)∈(3,4)，故选D.
答案为：D；
解析：设家具的进价为a元，由题意知132×(1－10%)－a=10%·a，解得a=108.故选D.
答案为：eq \f(km,4).
解析：由题意，空闲率为1－eq \f(x,m)，
∴y=kx(1－eq \f(x,m))，定义域为(0，m)，y=kx(1－eq \f(x,m))=－eq \f(k,m)(x-eq \f(m,2))2＋eq \f(km,4)，
∵x∈(0，m)，k＞0，∴当x=eq \f(m,2)时，ymax=eq \f(km,4).
答案为：(100,400)
解析：设y=eq \f(200×7%＋x·4%,200＋x)，令5%＜y＜6%，
即(200＋x)5%＜200×7%＋x·4%＜(200＋x)6%，解得100＜x＜400.
答案为：4；
解析：由题意得L=eq \f(51,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(8,x)))≤eq \f(51,2)－2eq \r(\f(x,2)·\f(8,x))=21.5，
当且仅当eq \f(x,2)=eq \f(8,x)，即x=4时等号成立.此时L取得最大值21.5.
故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大.
答案为：108.
解析：设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a=10%·a，解得a=108.
答案为：4.
解析：驾驶员醉酒1小时血液中酒精含量为5－1=0.2，要使酒精含量≤0.02毫克/毫升，
则eq \f(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x≤0.02，∴x≥lg330=1＋lg310>1＋lg39=3，故至少要4个小时后才能开车.
答案为：4.24
解析：∵m=6.5，∴[m]=6，则f(m)=1.06×(0.5×6＋1)=4.24.