2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习49《古典概型》(含详解)

这是一份2022年高考数学(文数)一轮考点精选练习49《古典概型》(含详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数字，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
从1,2,3,6中随机取出三个数字，则数字2是这三个数字的平均数的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这三个项目都有人参加的概率为( )
A.eq \f(8,9) B.eq \f(4,9) C.eq \f(2,9) D.eq \f(8,27)
从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,9) D.eq \f(1,8)
下列概率模型中，古典概型的个数为( )
①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；
②向正方形ABCD内随机抛掷一点P，求点P恰与点C重合的概率；
③从1,2,3,4四个数中任取两个数，求所取两数之积是2的概率；
④在[0,5]上任取一个数x，求x＜2的概率.
A.0 B.1 C.2 D.3
已知集合M={1,2,3,4}，N={(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y=x2＋1有交点的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,8)
有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次.事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率是( )
A.eq \f(32,81) B.eq \f(5,12) C.eq \f(1,2) D.eq \f(16,45)
为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6)
甲、乙两校各有3名教师报名支教，若从这6名教师中任选2名，则选出的2名教师来自同一学校的概率为( )
A.eq \f(5,9) B.eq \f(4,9) C.eq \f(3,5) D.eq \f(2,5)
一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本.若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
从集合A={－3，－2，－1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B={－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx＋b不经过第四象限的概率为( )
A.eq \f(1,12) B.eq \f(1,6) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
二、填空题
已知正方体ABCDA1B1C1D1的6个面的中心分别为E，F，G，H，I，J，甲从这6个点中任选2个点连成直线l1，乙也从这6个点中任选2个点连成与直线l1垂直的直线l2，则l1与l2异面的概率是 .
设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为 .
连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i次得到的向上一面的点数为ai，若存在正整数k，
使a1＋a2＋…＋ak=6，则称k为幸运数字，则幸运数字为3的概率是________.
某优秀学习小组有6名同学，坐成三排两列，现从中随机抽取2人代表本小组展示小组合作学习成果，则所抽的2人来自同一排的概率是________.
无重复数字的五位数a1a2a3a4a5，当a1a3，a3a5时称为波形数，则由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是 .
甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，
记甲、乙的平均成绩分别为eq \(x,\s\up6(－))甲，eq \(x,\s\up6(－))乙，则eq \(x,\s\up6(－))甲＞eq \(x,\s\up6(－))乙的概率是________.
\s 0 答案解析
答案为：A；
解析：在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数字，基本事件总共有4个，
分别为(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,6)，(2,3,6).
数字2是三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1,2,3)，共1个.
∴数字2是三个不同数字的平均数的概率P=eq \f(1,4).故选A.
答案为：A；
解析：从1,2,3,6中随机取出三个数字，总的基本事件为(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,6)，(2,3,6)，共4个，则数字2是这三个数字的平均数所包含的基本事件为(1,2,3)，共1个.故数字2是这三个数字的平均数的概率是eq \f(1,4).故选A.
答案为：B；
解析：基本事件总数n=34=81，这三个项目都有人参加所包含的基本事件个数m=Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)=36，
故这三个项目都有人参加的概率为P=eq \f(m,n)=eq \f(36,81)=eq \f(4,9).
答案为：C；
解析：从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有Ceq \\al(7,9)=36种，从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选3组，有Ceq \\al(3,4)=4种选法，故这7个数的平均数是5的概率为eq \f(4,36)=eq \f(1,9)，选C.
答案为：B；
解析：①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型.②④的基本事件的总数都不是有限个，不是古典概型.③符合古典概型的特点，是古典概型.
答案为：C.
解析：易知过点(0,0)，与y=x2＋1相切的直线为y=2x(斜率小于0的无需考虑)，
集合N中共有16个元素，其中使直线OA的斜率不小于2的有
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为eq \f(4,16)=eq \f(1,4).
答案为：D
解析：由题意知，这10件产品中有2件次品，8件正品，每次抽取1件，抽检后不放回，共抽2次，共有Aeq \\al(2,10)=90种情况，其中事件“抽到1件正品，1件次品”包含的情况有Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(1,8)Ceq \\al(1,2)=32种情况，根据古典概型的概率计算公式知，事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率P=eq \f(32,90)=eq \f(16,45).
答案为：C；
解析：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在 一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法.红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为eq \f(4,6)=eq \f(2,3).故选C.
答案为：D；
解析：从6名教师中任选2名教师的种数为Ceq \\al(2,6)=15，其中来自同一学校的种数为2Ceq \\al(2,3)=2×3=6，故所求事件的概率P=eq \f(2,5)，故选D.
答案为：B；
解析：3卷文集随机排列的情况有(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共6种，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的只有2种情况，所以卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是eq \f(2,6)=eq \f(1,3).
答案为：B
解析：语文、数学只有一科的两本书相邻，有2Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)=48种摆放方法；
语文、数学两科的两本书都相邻，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)=24种摆放方法；
而五本不同的书排成一排总共有Aeq \\al(5,5)=120种摆放方法.
故所求概率为1－eq \f(48＋24,120)=eq \f(2,5).故选B.
答案为：B
解析：根据题意可知，总的基本事件(k，b)共有4×3=12个，直线y=kx＋b不经过第四象限，则k＞0，b＞0，包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，共2个，根据古典概型的概率计算公式可知直线y=kx＋b不经过第四象限的概率P=eq \f(2,12)=eq \f(1,6).故选B.
答案为：eq \f(4,5)；
解析：如图所示，因为正方体6个面的中心构成一个正八面体，所以甲、乙连成的两条直线互相垂直的情况有：IJ⊥EF，IJ⊥GH，IJ⊥GE，IJ⊥GF，IJ⊥EH，IJ⊥FH，EF⊥GH，EF⊥GI，EF⊥GJ，EF⊥HI，EF⊥HJ，GH⊥EI，GH⊥EJ，GH⊥FI，GH⊥FJ，共15组，其中异面的有：IJ⊥GE，IJ⊥GF，IJ⊥EH，IJ⊥FH，EF⊥GI，EF⊥GJ，EF⊥HI，EF⊥HJ，GH⊥EI，GH⊥EJ，GH⊥FI，GH⊥FJ，共12组，故所得的两条直线异面的概率P=eq \f(12,15)=eq \f(4,5).
答案为：eq \f(1,3)；
解析：袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球， 规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，基本事件总数n=6×6=36，取出此2球所得分数之和为3分包含的基本事件个数m=2×3＋3×2=12，所以取出此2球所得分数之和为3分的概率P=eq \f(m,n)=eq \f(12,36)=eq \f(1,3).
答案为：eq \f(5,108)
解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子3次，所含基本事件总数n=6×6×6，
要使a1＋a2＋a3=6，则a1，a2，a3可取1,2,3或1,1,4或2,2,2三种情况，
其所含的基本事件个数m=Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,3)＋1=10.
故幸运数字为3的概率为P=eq \f(10,6×6×6)=eq \f(5,108).
答案为：eq \f(1,5)
解析：某优秀学习小组有6名同学，坐成三排两列，现从中随机抽取2人代表本小组展示小组合作学习成果，基本事件总数n=15，所抽的2人来自同一排包含的基本事件个数m=Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,2)=3，
则所抽的2人来自同一排的概率是P=eq \f(m,n)=eq \f(3,15)=eq \f(1,5).
答案为：eq \f(2,15)；
解析：∵a2>a1，a2>a3，a4>a3，a4>a5，∴a2只能是3,4,5中的一个.
(1)若a2=3，则a4=5，a5=4，a1与a3是1或2，这时共有Aeq \\al(2,2)=2(个)符合条件的五位数.
(2)若a2=4，则a4=5，a1，a3，a5可以是1,2,3，共有Aeq \\al(3,3)=6(个)符合条件的五位数.
(3)若a2=5，则a4=3或4，此时分别与(1)(2)中的个数相同.
∴满足条件的五位数有2(Aeq \\al(2,2)＋Aeq \\al(3,3))=16(个).
又由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数有Aeq \\al(5,5)=120(个)，
故所求概率为eq \f(16,120)=eq \f(2,15).
答案为：eq \f(2,5).
解析：设污损处的数字为m，由eq \f(1,5)(84＋85＋87＋90＋m＋99)=eq \f(1,5)(86＋87＋91＋92＋94)，
得m=5，即当m=5时，甲、乙两人的平均成绩相等.m的取值有0,1,2,3，…，9，
共10种可能，其中，当m=6,7,8,9时，eq \(x,\s\up6(－))甲＞eq \(x,\s\up6(－))乙，故所求概率为eq \f(4,10)=eq \f(2,5).