广东省广州市南沙区朝阳学校2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷+答案】

这是一份广东省广州市南沙区朝阳学校2021-2022学年八年级上学期期中考试数学【试卷+答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年广东省广州市南沙区朝阳学校八年级第一学期
期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．下列图形中，轴对称图形的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在平面直角坐标系中，P点坐标为（3，﹣2），则点P关于x轴的对称点的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（2，﹣3）
3．一个三角形的三个内角度数之比为4：5：9，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形
4．下列各式中，正确的是（　　）
A．y3•y2＝y6 B．（a3）3＝a6 C．（﹣x2）3＝﹣x6 D．﹣（﹣m2）4＝m8
5．已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（　　）
A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm
6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D
7．已知3a＝5，3b＝10，则3a+2b的值为（　　）
A．﹣50 B．50 C．500 D．﹣500
8．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC＝8cm2，则阴影部分△BEF的面积等于（　　）
A．4cm2 B．2cm2 C．cm2 D．1cm2
9．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A为（　　）

A．40° B．42° C．30° D．52°
10．已知：如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．在△ABC中，∠C＝60°，∠A﹣∠B＝20°，则∠B的度数为 　 　．
12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是　 　．

13．若2x+3y﹣2＝0，则4x•8y＝　 　．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 　 　．
15．一个多边形的内角和比它的外角和多540°，并且这个多边形的各个内角都相等，则这个多边形边数是 　 　．
16．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是 　 　．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．计算：（3a）2•a4+a•a5﹣（﹣a3）2．
18．计算：（x﹣y）3•（y﹣x）5•[﹣（x﹣y）2]4•（y﹣x）．
19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．

20．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，且三个顶点都在正方形网格的格点上．
（1）把△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，画出△A′B′C′，并写出点A′的坐标　 　；
（2）若点P（m，n）在△ABC内部，当△ABC沿y轴翻折后，点P对应点P′的坐标是　 　；
（3）求△ABC的面积．

21．如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．

22．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．

23．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD为中线，点P是AD上一点，点Q是AC上一点，且∠BPQ+∠BAQ＝180°．
（1）若∠ABP＝α，求∠PQC的度数（用含α的式子表示）；
（2）求证：BP＝PQ．

24．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a）、（﹣b，0）且a、b满足+|a﹣2b+2|＝0
（1）求证：∠OAB＝∠OBA；
（2）如图1，若BE⊥AE，求∠AEO的度数；
（3）如图2，若D是AO的中点，DE∥BO，F在AB的延长线上，∠EOF＝45°，连接EF，试探究OE和EF的数量和位置关系．

25．（1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，过D点画直线EF与AC相交于E，与AB的延长线相交于F，使BF＝CE．
①已知△CDE的面积为1，AE＝kCE，用含k的代数式表示△ABD的面积为　 　；
②求证：△AEF是等腰三角形；
（2）如图2，在△ABC中，若∠1＝2∠2，G是△ABC外一点，使∠3＝∠1，AH∥BG交CG于H，且∠4＝∠BCG﹣∠2，设∠G＝x，∠BAC＝y，试探究x与y之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）、（2）的条件下，△AFD是锐角三角形，当∠G＝100°，AD＝a时，在AD上找一点P，AF上找一点Q，FD上找一点M，使△PQM的周长最小，试用含a、k的代数式表示△PQM周长的最小值　 　．（只需直接写出结果）



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．下列图形中，轴对称图形的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：第一个图形是轴对称图形；
第二个图形是轴对称图形；
第三个图形不是轴对称图形；
第四个图形是轴对称图形；
综上共有3个轴对称图形．
故选：C．
2．在平面直角坐标系中，P点坐标为（3，﹣2），则点P关于x轴的对称点的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（2，﹣3）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
解：∵P点坐标为（3，﹣2），
∴点P关于x轴的对称点的坐标为（3，2）．
故选：A．
3．一个三角形的三个内角度数之比为4：5：9，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形
【分析】设三个内角的度数分别为4x，5x，9x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论．
解：∵一个三角形的三个内角度数比为4：5：9，
∴设三个内角的度数分别为4x，5x，9x，
∴4x+5x+9x＝180°，
解得x＝10°，
∴9x＝90°，
∴此三角形是直角三角形．
故选：C．
4．下列各式中，正确的是（　　）
A．y3•y2＝y6 B．（a3）3＝a6 C．（﹣x2）3＝﹣x6 D．﹣（﹣m2）4＝m8
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项计算后利用排除法求解．
解：A、应为y3•y2＝y5，故本选项错误；
B、应为（a3）3＝a9，故本选项错误；
C、（﹣x2）3＝﹣x6，正确；
D、应为﹣（﹣m2）4＝﹣m8，故本选项错误．
故选：C．
5．已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（　　）
A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm
【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．
解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），
∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；
②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．
则腰长为6.5cm．
故选：B．
6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
故选：C．
7．已知3a＝5，3b＝10，则3a+2b的值为（　　）
A．﹣50 B．50 C．500 D．﹣500
【分析】根据同底数幂的乘法的性质的逆用，先整理成已知条件的形式，然后代入数据计算即可．
解：∵3a＝5，3b＝10，
∴3a+2b＝3a•（3b）2＝5×100＝500．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC＝8cm2，则阴影部分△BEF的面积等于（　　）
A．4cm2 B．2cm2 C．cm2 D．1cm2
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，即可得出结果．
解：∵E是AD的中点，S△ABC＝8cm2，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ACD，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABD+S△ACD＝（S△ABD+S△ACD）＝S△ABC＝×8＝4（cm2），
∴S△CBE＝S△ABC＝4（cm2），
∵F是CE的中点，
∴S△FBE＝S△EBC＝×4＝2（cm2），
故选：B．
9．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A为（　　）

A．40° B．42° C．30° D．52°
【分析】利用四边形的内角和定理求出∠B+∠C，再利用三角形的内角和定理可得结果．
解：∵∠1＝70°，∠2＝152°，
∴∠B+∠C＝360°﹣∠1﹣∠2＝360°﹣70°﹣152°＝138°，
∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣138°＝42°，
故选：B．
10．已知：如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】易证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，AD＝EC可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得∠DAE＝∠DCE，即③正确，根据③可求得④正确．
解：
①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，
∴在△ABD和△EBC中，，
∴△ABD≌△EBC（SAS），…①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，…②正确；
③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，
∴∠DCE＝∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE＝EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AD＝AE＝EC．…③正确；
④过E作EG⊥BC于G点，

∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，
∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG＝BF，
∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，，
∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），
∴AF＝CG，
∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF．…④正确．
故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．在△ABC中，∠C＝60°，∠A﹣∠B＝20°，则∠B的度数为 　50°　．
【分析】利用三角形内角和定理构建方程组解决问题即可．
解：∵∠C＝60°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝120°，
∵∠A﹣∠B＝20°，
∴∠A＝70°，∠B＝50°，
故答案为50°．
12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是　4　．

【分析】作DF⊥AC于F，如图，利用角平分线的性质得到DF＝DE＝3，然后利用三角形面积公式得到×3×AC+×3×6＝15，再解关于AC的方程即可．
解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝3，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴×3×AC+×3×6＝15，
∴AC＝4．
故答案为4．

13．若2x+3y﹣2＝0，则4x•8y＝　4　．
【分析】由2x+3y﹣2＝0得2x+3y＝2，再根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则把所求式子化为22x•23y＝22x+3y，再把2x+3y＝2代入计算即可．
解：∵2x+3y﹣2＝0，
∴2x+3y＝2，
∴4x•8y＝22x•23y＝22x+3y＝22＝4，
故答案为：4．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 　20°或70°　．
【分析】本题已知没有明确三角形的类型，所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为50，则顶角是40°，因而底角是70°；
如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD＝40°，BD⊥CD，
故∠BAD＝40°，
所以∠B＝∠C＝20°，
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为20°或70°．
故答案为：20°或70°．

15．一个多边形的内角和比它的外角和多540°，并且这个多边形的各个内角都相等，则这个多边形边数是 　7　．
【分析】本题首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比360°多540°，由此列出方程即可解出边数．
解：设边数为n，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝360°+540°，
所以（n﹣2）×180°＝900°，
所以n﹣2＝5，
所以n＝7．
故答案为：7．
16．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是 　80°　．

【分析】作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN，根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF＝180°，由∠ACB＝50°，易求得∠D+∠G＝50°，继而求得答案．
解：作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC于M，交BC于N，连接PM，PN．此时△PMN的周长最小．
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠EPF＝130°，
∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，
∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，
∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
故答案为：80°．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．计算：（3a）2•a4+a•a5﹣（﹣a3）2．
【分析】首先利用积的乘方的性质、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则进行计算，再算加减即可．
解：原式＝9a2•a4+a6﹣a6
＝9a6+a6﹣a6
＝9a6．
18．计算：（x﹣y）3•（y﹣x）5•[﹣（x﹣y）2]4•（y﹣x）．
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法，可得答案．
解：原式＝（x﹣y）3•[﹣（x﹣y）5]•（x﹣y）8•[﹣（x﹣y）]
＝（x﹣y）3+5+8+1
＝（x﹣y）17，
故答案为：（x﹣y）17．
19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．

【分析】连接AC，先利用SSS证明△ACE≌△ACF，可得∠EAC＝∠FAC，再利用AAS证明△ACB≌△ACD即可得结论．
【解答】证明：如图，连接AC，

在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠EAC＝∠FAC，
在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（AAS），
∴CB＝CD．
20．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，且三个顶点都在正方形网格的格点上．
（1）把△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，画出△A′B′C′，并写出点A′的坐标　（2，3）　；
（2）若点P（m，n）在△ABC内部，当△ABC沿y轴翻折后，点P对应点P′的坐标是　（﹣m，n）　；
（3）求△ABC的面积．

【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）根据轴对称的性质解决问题即可．
（3）利用分割法求三角形的面积即可．
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求，A′（2，3）．

故答案为（2，3）．

（2）若点P（m，n）在△ABC内部，当△ABC沿y轴翻折后，点P对应点P′的坐标是（﹣m，n），
故答案为（﹣m，n）．

（3）△ABC的面积＝4×6﹣×3×5﹣×1×4﹣×1×6＝11.5．
21．如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数．

【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，利用角平分线的定义可求出∠BAE的度数，由AD⊥BC可求出∠BAD的度数，结合∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE可求出∠EAD的度数，再由DF⊥AE，利用三角形内角和定理即可求出∠ADF的度数．
解：∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝38°，∠C＝74°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝×68°＝34°．
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣38°＝52°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝52°﹣34°＝18°．
∵DF⊥AE，
∴∠ADF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣18°＝72°．

22．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．

【分析】先根据ASA判定△ACD≌△CBF得到BF＝CD，然后又D为BC中点，根据中点定义得到CD＝BD，等量代换得到BF＝BD，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可．
【解答】证明：连接DF，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BCE＝∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD＝∠CBF＝90°，
∵AC＝CB，
∴△ACD≌△CBF．∴CD＝BF．
∵CD＝BD＝BC，∴BF＝BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠ABC＝45°．
∵∠FBD＝90°，
∴∠ABF＝45°．
∴∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．

23．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD为中线，点P是AD上一点，点Q是AC上一点，且∠BPQ+∠BAQ＝180°．
（1）若∠ABP＝α，求∠PQC的度数（用含α的式子表示）；
（2）求证：BP＝PQ．

【分析】（1）根据四边形的内角和得到∠ABP+∠AQP＝180°，由平角的定义得到∠AQP+∠CQP＝180°，等量代换得到结论；
（2）连接PC，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，求得PB＝PC，根据全等三角形的性质得到∠ABP＝∠ACP，由（1）知∠CQP＝∠ABP，等量代换得到∠ACP＝∠CQP，于是得到结论．
解：（1）∵在四边形ABPQ中，∠BPQ+∠BAQ＝180°，
∴∠ABP+∠AQP＝180°，
∵∠AQP+∠CQP＝180°，
∴∠CQP＝∠ABP，
∵∠ABP＝α，
∴∠CQP＝α；
（2）连接PC，
∵AB＝AC，AD为中线，
∴AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∵点P是AD上一点，
∴PB＝PC，
∵AP＝AP，AB＝AC，PB＝PC，
∴△ABP≌△ACP（SSS），
∴∠ABP＝∠ACP，
由（1）知∠CQP＝∠ABP，
∴∠ACP＝∠CQP，
∴PQ＝PC，
∴PB＝PQ．

24．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a）、（﹣b，0）且a、b满足+|a﹣2b+2|＝0
（1）求证：∠OAB＝∠OBA；
（2）如图1，若BE⊥AE，求∠AEO的度数；
（3）如图2，若D是AO的中点，DE∥BO，F在AB的延长线上，∠EOF＝45°，连接EF，试探究OE和EF的数量和位置关系．

【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b即可解决问题；
（2）如图1中，过点O作OK⊥OE交AE于点K，设OB交AE于J．证明△AOK≌△BOE（ASA），结论．
（3）过点F作FG⊥OF交OE的延长线于G，过点F作FH⊥FB交x轴于H，延长DE交HG于I，利用已知条件证明△HFG≌△BFO（SAS），得到GH＝OB＝OA，再证明△EIG≌△EDO（AAS）得到EG＝EO，进而FE＝EO且FE⊥EO（三线合一）．
解：（1）∵+|a﹣2b+2|＝0
又∵≥0，|a﹣2b+2|≥0
∴，解得，
∴A（0，2），B（﹣2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，

（2）如图1中，过点O作OK⊥OE交AE于点K，设OB交AE于J．

∵AE⊥BE，
∴∠AOJ＝∠BEI＝90°，
∵∠AOJ＝∠BJE，
∴∠EBO＝∠KAO，
∵∠AOB＝∠EOK＝90°，
∴∠AOK＝∠BOE，
∵OA＝OB，
∴△AOK≌△BOE（ASA），
∴OK＝OE，
∴∠AEO＝∠OKE＝45°．

（3）过点F作FG⊥OF交OE的延长线于G，过点F作FH⊥FB交x轴于H，延长DE交HG于I，

∵∠EOF＝45°，∠HBF＝∠ABO＝45°，
∴△OFG、△HFB为等腰直角三角形，
∵∠HFG+∠GFB＝90°，∠BFO+∠GFB＝90°
∴∠HFG＝∠BFO，
∵FG＝FO．FH＝FB，
∴△HFG≌△BFO（SAS）
∴GH＝OB＝OA
又∵∠GHF＝∠OBF＝135°
∴∠GHO＝90°
∴HI＝OD＝IG
∴△EIG≌△EDO（AAS）
∴EG＝EO
∴FE＝EO且FE⊥EO（三线合一）．
25．（1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，过D点画直线EF与AC相交于E，与AB的延长线相交于F，使BF＝CE．
①已知△CDE的面积为1，AE＝kCE，用含k的代数式表示△ABD的面积为　k+1　；
②求证：△AEF是等腰三角形；
（2）如图2，在△ABC中，若∠1＝2∠2，G是△ABC外一点，使∠3＝∠1，AH∥BG交CG于H，且∠4＝∠BCG﹣∠2，设∠G＝x，∠BAC＝y，试探究x与y之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）、（2）的条件下，△AFD是锐角三角形，当∠G＝100°，AD＝a时，在AD上找一点P，AF上找一点Q，FD上找一点M，使△PQM的周长最小，试用含a、k的代数式表示△PQM周长的最小值　　．（只需直接写出结果）

【分析】（1）①先根据AE与CE之比求出△ADE的面积，进而求出ADC的面积，而D中BC中点，所以△ABD面积与△ADC面积相等；②延长BF至R，使FR＝BF，连接RC，注意到D是BC中点，于是FD就是中位线，得到FD∥RC，再根据平行线分线段成比例定理可得AF：FR＝AE：EC，而EC＝BF，故AE＝AF．
（2）根据平行线性质及三角形内角和性质、三角形外角性质再结合题中所告诉的角度等量关系导角即可．
（3）分别作P点关于FA、FD的对称点P'、P''，则PQ+QM+PM＝P'Q+QM+MP“≥P'P''＝FP，当FP垂直AD时取得最小值，即最小值就是AD边上的高，而AD已知，故只需求出△ADF的面积即可，根据AE＝kEC，AE＝AF，CE＝BF，可以将△ADF的面积用k表示出来，从而问题得解．
解：（1）
①∵AE＝kCE，
∴S△DAE＝kS△DEC，
∵S△DEC＝1，
∴S△DAE＝k，
∴S△ADC＝S△DAE+S△DEC＝k+1，
∵D为BC中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝k+1．

②如图1，延长BF至R，使FR＝BF，连接RC．
∵D为BC中点，
∴FD∥RC
∴，
∵BF＝CE，
∴FR＝EC，
∴AF＝AE，
∴△AEF是等腰三角形．
（2）如图2，设AH与BC交与点N，∠2＝α．

则∠3＝∠1＝2∠2＝2α，
∵AH∥BG，
∴∠CNH＝∠ANB＝∠3＝2α，
∵∠CNH＝∠2+∠4，
∴2α＝α+∠4，
∴∠4＝α，
∵∠4＝∠BCG﹣∠2，
∴∠BCG＝∠2+∠4＝2α，
又∵AH∥BG，
∴∠BAN+∠ABG＝180°，
∴4α+∠BAH＝180°，
∵∠BAH+∠1+∠ANB＝∠G+∠3+∠BCG＝180°，
即∠BAH+4α＝∠G+4α，
∴∠BAH＝∠G＝x，
∵∠BAH＝∠BAC﹣∠4＝y﹣α
∴x＝y﹣α，所以α＝y﹣x
∵∠1+∠BAC+∠2＝2α+y+α＝3α+y＝180°，
∴3y﹣3x+y＝4y﹣3x＝180°，
∴y＝x+45．
（3）如图3，作P点关于FA、FD的对称点P'、P''，
连接P'Q、P'F、PF、P''M、P''F、P'P''，

则FP'＝FP＝FP''，PQ＝P'Q，PM＝P''M，∠P'FQ＝∠PFQ，∠P''FM＝∠PFM，
∴∠P'FP''＝2∠AFD，
∵∠G＝100°，
∴∠BAC＝∠G+45°＝120°，
∵AE＝AF，
∴∠AFD＝30°，
∴∠P'FP''＝2∠AFD＝60°，
∴△FP'P''是等边三角形，
∴P'P''＝FP'＝FP，
∴PQ+QM+PM＝P'Q+QM+MP''≥P'P''＝FP，
当且仅当P'、Q、M、P''四点共线，且FP⊥AD时，△PQM的周长取得最小值．
∵AE＝kCE，AF＝AE，BF＝CE，
∴，
∴S△ADF＝S△ABD＝，
∴当FP⊥AD时，FP＝＝，
∴△PQM的周长最小值为．