浙江省宁波市蓝青学校2021-2022学年上学期九年级期中考试数学【试卷+答案】
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这是一份浙江省宁波市蓝青学校2021-2022学年上学期九年级期中考试数学【试卷+答案】,共31页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省宁波市蓝青学校九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题(本题有10小题,每小题5分,共50分,请选出各题中唯一的正确选项,不选、多选、错选,均不给分)
1.若2a=3b,则=( )
A. B. C. D.
2.任意抛掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后,发生可能性最大的事件是( )
A.朝上一面的点数大于2
B.朝上一面的点数为3
C.朝上一面的点数是2的倍数
D.朝上一面的点数是3的倍数
3.如果把一条线段分为两部分,使其中较长的一段与整个线段的比是黄金分割数,那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数.由此,如果设整个线段长为1,较长段为x,可以列出的方程为( )
A.= B.= C.= D.=
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则( )
A.sinA= B.cosA= C.cosB= D.tanB=
5.在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比,三角形的周长( )
A.没有发生变化 B.放大了10倍
C.放大了30倍 D.放大了100倍
6.将抛物线y=(x﹣2)2﹣8向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物线的表达式为( )
A.y=(x+1)2﹣13 B.y=(x﹣5)2﹣3
C.y=(x﹣5)2﹣13 D.y=(x+1)2﹣3
7.如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE.若∠ABC=64°,则∠AEC的度数为( )
A.106° B.116° C.126° D.136°
8.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=m.若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积S的最大值为( )
A.193 B.194 C.195 D.196
9.如图,AB是⊙O的弦(非直径),点C是弦AB上的动点(不与点A、B重合),过点C作垂直于OC的弦DE.设⊙O的半径为r,弦AB的长为a,,则弦DE的长( )
A.与r,a,m的值均有关 B.只与r,a的值有关
C.只与r,m的值有关 D.只与a,m的值有关
10.如图坐标系中,O(0,0),A(3,3),B(6,0),将△OAB沿直线CD折叠,使点A恰好落在线段OB上的点E处,若OE=,则AC:AD的值是( )
A.1:2 B.2:3 C.6:7 D.7:8
二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)
11.抛物线y=(x﹣1)2﹣2与y轴的交点坐标是 .
12.如图,点 A,B,C均在6×6的正方形网格格点上,过A,B,C三点的外接圆除经过A,B,C三点外还能经过的格点数为 .
13.抛物线y=ax2+c(a≠0)与直线y=6相交于点A,B,与y轴交于点C(0,﹣2),且∠ACB为直角,当y<0时,自变量x的取值范围是 .
14.如图,扇形OAB中,∠AOB=60°,OA=4,点C为弧AB的中点,D为半径OA上一点,点A关于直线CD的对称点为E,若点E落在半径OA上,则OE= .
15.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点M,N分别为AD,AC上的动点(不含端点),AN=DM,连接点M与矩形的一个顶点,以该线段为直径作⊙O,当点N和矩形的另一个顶点也在⊙O上时,线段DM的长为 .
16.如图,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=,点P是AD边上的一个动点,连结BP,点C关于直线BP的对称点为C1,当点P运动时,点C1也随之运动.若点P从点A运动到点D,则线段CC1扫过的区域的面积是 .
三、解答题(本题有8小题,第17题4分,第18题6分,第19题6分,第20题8分,第21题12分,第22题10分,第23题12分,第24题12分,共70分)
17.计算:4sin30°﹣cos45°+tan260°.
18.为纪念建国70周年,某校举行班级歌咏比赛,歌曲有:《我爱你,中国》,《歌唱祖国》,《我和我的祖国》(分别用字母A,B,C依次表示这三首歌曲).比赛时,将A,B,C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上,洗匀后正面向下放在桌面上,八(1)班班长先从中随机抽取一张卡片,放回后洗匀,再由八(2)班班长从中随机抽取一张卡片,进行歌咏比赛.
(1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ;
(2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果,并求出八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率.
19.如图,小锋将一架4米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,使梯子与地面所成的锐角α为60°.
(1)求梯子的顶端与地面的距离AC(结果保留根号);
(2)为使梯子顶端靠墙的高度更高,小锋调整了梯子的位置使其与地面所成的锐角α为70°,则需将梯子底端点B向内移动多少米(结果精确到0.1米)?
参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75.
20.在平面直角坐标系中,函数y=a(x+1)(x﹣3)(a≠0)的图象经过点(1,4).
(1)求a的值;
(2)求该函数图象的顶点坐标和对称轴;
(3)自变量x在什么范围内时,y随x的增大而增大?
21.如图,⊙O是四边形ABCD的外接圆,直径BD与弦AC交于点E.若∠BAC=2∠ABE.
(1)求证:AB=AC;
(2)当△BCE是等腰三角形时,求∠BCE的大小;
(3)当AE=4,CE=6时,求边BC的长.
22.锐角△ABC中,BC=6,AD为BC边上的高线,S△ABC=12,两动点M,N分别在边AB,AC上滑动,且MN∥BC,以MN为边向下作正方形MPQN(如图1),设其边长为x,
(1)当PQ恰好落在边BC上(如图2)时,求x;
(2)正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为时,求x的值.
23.已知:如图1,抛物线的顶点为M,平行于x轴的直线与该抛物线交于点A,B(点A在点B左侧),根据对称性△AMB恒为等腰三角形,我们规定:当△AMB为直角三角形时,就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”.
(1)①如图2,求出抛物线y=x2的“完美三角形”斜边AB的长;
②抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ;
(2)若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4,求a的值;
(3)若抛物线y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n,且y=mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1,求m,n的值.
24.已知:在⊙O中,弦AC⊥弦BD,垂足为H,连接BC,过点D作DE⊥BC于点E,DE交AC于点F.
(1)如图1,求证:BD平分∠ADF;
(2)如图2,连接OC,若AC=BC,求证:OC平分∠ACB;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接AB,过点D作DN∥AC交⊙O于点N,若AB=3,DN=9.求sin∠ADB的值.
参考答案
一、选择题(本题有10小题,每小题5分,共50分,请选出各题中唯一的正确选项,不选、多选、错选,均不给分)
1.若2a=3b,则=( )
A. B. C. D.
【分析】根据等式的性质,两边都除以同一个不为零的整式,结果不变,可得答案.
解:两边都除以2b,得
=,
故选:B.
2.任意抛掷一枚均匀的骰子,骰子停止转动后,发生可能性最大的事件是( )
A.朝上一面的点数大于2
B.朝上一面的点数为3
C.朝上一面的点数是2的倍数
D.朝上一面的点数是3的倍数
【分析】计算出各种情况的概率,然后比较即可.
解:A、朝上一面的点数大于2的可能性的大小是=,
B、朝上一面的点数是3的可能性的大小是,
C、朝上一面的点数是2的倍数的可能性为=,
D、朝上一面的点数是3的倍数的可能性为=.
可能性最大的是A,
故选:A.
3.如果把一条线段分为两部分,使其中较长的一段与整个线段的比是黄金分割数,那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数.由此,如果设整个线段长为1,较长段为x,可以列出的方程为( )
A.= B.= C.= D.=
【分析】根据题意列出一元二次方程.
解:设整个线段长为1,较长段为x,可以列出的方程为,
故选:A.
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则( )
A.sinA= B.cosA= C.cosB= D.tanB=
【分析】根据勾股定理求出AB,再根据锐角三角函数的定义求出sinA,cosA,cosB和tanB即可.
解:
由勾股定理得:AB===5,
所以sinA==,cosA==,cosB==,tanB==,
即只有选项B正确,选项A、选项C、选项D都错误;
故选:B.
5.在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比,三角形的周长( )
A.没有发生变化 B.放大了10倍
C.放大了30倍 D.放大了100倍
【分析】直接利用相似图形的性质得出答案.
解:在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比,则边长扩大10倍,故三角形的周长放大了10倍.
故选:B.
6.将抛物线y=(x﹣2)2﹣8向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物线的表达式为( )
A.y=(x+1)2﹣13 B.y=(x﹣5)2﹣3
C.y=(x﹣5)2﹣13 D.y=(x+1)2﹣3
【分析】根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可.
解:由“左加右减”的原则可知,将抛物线y=(x﹣2)2﹣8向左平移3个单位所得直线的解析式为:y=(x+1)2﹣8;
由“上加下减”的原则可知,将抛物线y=(x﹣5)2﹣8向上平移5个单位所得抛物线的解析式为:y=(x+1)2﹣3.
故选:D.
7.如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE.若∠ABC=64°,则∠AEC的度数为( )
A.106° B.116° C.126° D.136°
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案.
解:∵圆内接四边形ABCD,
∴∠D=180°﹣∠ABC=116°,
∵点D关于AC的对称点E在边BC上,
∴∠D=∠AEC=116°,
故选:B.
8.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=m.若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积S的最大值为( )
A.193 B.194 C.195 D.196
【分析】根据长方形的面积公式可得S关于m的函数解析式,由树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m求出m的取值范围,再结合二次函数的性质可得答案.
解:∵AB=m米,
∴BC=(28﹣m)米.
则S=AB•BC=m(28﹣m)=﹣m2+28m.
即S=﹣m2+28m(0<m<28).
由题意可知,,
解得6≤m≤13.
∵在6≤m≤13内,S随m的增大而增大,
∴当m=13时,S最大值=195,
即花园面积的最大值为195m2.
故选:C.
9.如图,AB是⊙O的弦(非直径),点C是弦AB上的动点(不与点A、B重合),过点C作垂直于OC的弦DE.设⊙O的半径为r,弦AB的长为a,,则弦DE的长( )
A.与r,a,m的值均有关 B.只与r,a的值有关
C.只与r,m的值有关 D.只与a,m的值有关
【分析】连接AD、BE,如图,根据垂径定理得到CE=CD,利用得到AC=,BC=,再证明△ADC∽△EBC,利用相似比得CD2=AC•BC,所以DE2=•,从而可判断弦DE的长只与a、m有关.
解:连接AD、BE,如图,
∵OC⊥DE,
∴CE=CD,
∵,
∴AC=,BC=,
∵∠D=∠B,∠A=∠E,
∴△ADC∽△EBC,
∵CD:BC=AC:EC,
∴CD2=AC•BC,
∴DE2=•,
∴DE2=,
∴弦DE的长只与a、m有关.
故选:D.
10.如图坐标系中,O(0,0),A(3,3),B(6,0),将△OAB沿直线CD折叠,使点A恰好落在线段OB上的点E处,若OE=,则AC:AD的值是( )
A.1:2 B.2:3 C.6:7 D.7:8
【分析】过A作AF⊥OB于F,如图所示:根据已知条件得到AF=3,OF=3,OB=6,求得∠AOB=60°,推出△AOB是等边三角形,得到∠AOB=∠ABO=60°,根据折叠的性质得到∠CED=∠OAB=60°,求得∠OCE=∠DEB,根据相似三角形的性质得到BE=OB﹣OE=6﹣=,设CE=a,则CA=a,CO=6﹣a,ED=b,则AD=b,DB=6﹣b,于是得到结论.
解:过A作AF⊥OB于F,如图所示:
∵A(3,3),B(6,0),
∴AF=3,OF=3,OB=6,
∴BF=3,
∴OF=BF,
∴AO=AB,
∵tan∠AOB=OF=,
∴∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴∠AOB=∠ABO=60°,
∵将△OAB沿直线CD折叠,使点A恰好落在线段OB上的点E处,
∴∠CED=∠OAB=60°,
∴∠OCE=∠DEB,
∴△CEO∽△EDB,
∴==,
∵OE=,
∴BE=OB﹣OE=6﹣=,
设CE=a,则CA=a,CO=6﹣a,ED=b,则AD=b,DB=6﹣b,
则=,=,
∴6b=30a﹣5ab①,24a=30b﹣5ab②,
②﹣①得:24a﹣6b=30b﹣30a,
∴=,
即AC:AD=2:3.
解法二:∵△CEO∽△EDB,△COE周长,△DEB周长,
∴相似比就是2:3,
∴CE:DE=2:3,
即AC:AD=2:3.
故选:B.
二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)
11.抛物线y=(x﹣1)2﹣2与y轴的交点坐标是 (0,﹣1) .
【分析】将x=0代入y=(x﹣1)2﹣2,计算即可求得抛物线与y轴的交点坐标.
解:将x=0代入y=(x﹣1)2﹣2,得y=﹣1,
所以抛物线与y轴的交点坐标是(0,﹣1).
故答案为:(0,﹣1).
12.如图,点 A,B,C均在6×6的正方形网格格点上,过A,B,C三点的外接圆除经过A,B,C三点外还能经过的格点数为 5 .
【分析】根据圆的确定先做出过A,B,C三点的外接圆,从而得出答案.
解:如图,分别作AB、BC的中垂线,两直线的交点为O,
以O为圆心、OA为半径作圆,则⊙O即为过A,B,C三点的外接圆,
由图可知,⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点,
故答案为:5.
13.抛物线y=ax2+c(a≠0)与直线y=6相交于点A,B,与y轴交于点C(0,﹣2),且∠ACB为直角,当y<0时,自变量x的取值范围是 ﹣4<x<4 .
【分析】∠ACB为直角,则△ABC为等腰直角三角形,则点B(8,6),即可求解.
解:∠ACB为直角,则△ABC为等腰直角三角形,
C(0,﹣2),则抛物线的表达式为:y=ax2﹣2;
CD=6﹣(﹣2)=8,则点B(8,6),
将点B的坐标代入抛物线表达式并解得:a=,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣2,
令y=0,则x=±4,
故y<0时,﹣4<x<4,
故答案为:﹣4<x<4.
14.如图,扇形OAB中,∠AOB=60°,OA=4,点C为弧AB的中点,D为半径OA上一点,点A关于直线CD的对称点为E,若点E落在半径OA上,则OE= 4﹣4 .
【分析】连接OC,作EF⊥OC于F,根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC=30°,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ECF=45°,根据正切的定义列式计算,得到答案.
解:连接OC,作EF⊥OC于F,
∵点A关于直线CD的对称点为E,点E落在半径OA上,
∴CE=CA,
∵=,
∴∠AOC=∠AOB=30°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=75°,
∵CE=CA,
∴∠CAE=∠CEA=75°,
∴∠CAE=30°,
∴∠ECF=45°,
设EF=x,则FC=x,
在Rt△EOF中,tan∠EOF=,
∴OF==x,
由题意得,OF+FC=OC,即x+x=4,
解得,x=2﹣2,
∵∠EOF=30°,
∴OE=2EF=4﹣4,
故答案为:4﹣4.
15.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点M,N分别为AD,AC上的动点(不含端点),AN=DM,连接点M与矩形的一个顶点,以该线段为直径作⊙O,当点N和矩形的另一个顶点也在⊙O上时,线段DM的长为 或 .
【分析】分两种情形:如图1中,当点N在CM为直径的圆上时,如图2中,当点N在BM为直径的圆上时,分别利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可.
解:如图1中,当点N在CM为直径的圆上时,设DM=AN=x.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°,AB=CD=6,BC=AD=8,
∴AC===10,
∵∠MAN=∠DAC,∠ANM=∠ADC=90°,
∴△ANM∽△ADC,
∴=,
∴=,
解得x=,
∴DM=
如图2中,当点N在BM为直径的圆上时,设BC与圆的交点为H,连接MH,NH.设DM=AN=y.
∵BM是直径,
∴∠MHB=90°,
∴∠MHC=∠D=∠DCH=90°,
∴四边形CDMH是矩形,
∴CH=DM=y,
∵∠NCH=∠BCA,∠CHN=∠CAB,
∴△CNH∽△CBA,
∴=,
∴=,
解得y=,
∴DM=,
故答案为或.
16.如图,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=,点P是AD边上的一个动点,连结BP,点C关于直线BP的对称点为C1,当点P运动时,点C1也随之运动.若点P从点A运动到点D,则线段CC1扫过的区域的面积是 π+ .
【分析】由临界状态确定出C1的运动路径,明确点P从点A运动到点D,则线段CC1扫过的区域为:扇形BC'C''和△BCC'',再分别计算两部分面积即可.
解:如图,当P与A重合时,点C关于BP的对称点为C′,
当P与D重合时,点C关于BP的对称点为C″,
∴点P从点A运动到点D,则线段CC1扫过的区域为:扇形BC'C''和△BCC'',
在△BCD中,
∵∠BCD=90°,DC=AB=1,BC=,
∴tan∠DBC==,
∴∠DBC=30°,
∴∠CBC″=60°,
∵BC=BC''
∴△BCC''为等边三角形,
∴S扇形BC′C″==π,
作C''F⊥BC于F,
∵△BCC''为等边三角形,
∴BF=BC=,
∴C''F=tan60°×=,
∴S△BCC''=×=,
∴线段CC1扫过的区域的面积为:π+.
故答案为:π+.
三、解答题(本题有8小题,第17题4分,第18题6分,第19题6分,第20题8分,第21题12分,第22题10分,第23题12分,第24题12分,共70分)
17.计算:4sin30°﹣cos45°+tan260°.
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值.
解:原式=4×﹣×+()2=2﹣1+3=4.
18.为纪念建国70周年,某校举行班级歌咏比赛,歌曲有:《我爱你,中国》,《歌唱祖国》,《我和我的祖国》(分别用字母A,B,C依次表示这三首歌曲).比赛时,将A,B,C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上,洗匀后正面向下放在桌面上,八(1)班班长先从中随机抽取一张卡片,放回后洗匀,再由八(2)班班长从中随机抽取一张卡片,进行歌咏比赛.
(1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ;
(2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果,并求出八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率.
【分析】(1)直接根据概率公式计算可得;
(2)画树状图得出所有等可能结果,再从中找到符合条件的结果数,利用概率公式计算可得.
解:(1)因为有A,B,C3种等可能结果,
所以八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是;
故答案为.
(2)树状图如图所示:
共有9种可能,八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率==.
19.如图,小锋将一架4米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,使梯子与地面所成的锐角α为60°.
(1)求梯子的顶端与地面的距离AC(结果保留根号);
(2)为使梯子顶端靠墙的高度更高,小锋调整了梯子的位置使其与地面所成的锐角α为70°,则需将梯子底端点B向内移动多少米(结果精确到0.1米)?
参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75.
【分析】(1)根据竖直的墙与梯子形成直角三角形,利用锐角三角函数即可求出AC的长;
(2)将梯子向内移动后,移动的距离为BD,根据DE=AB=4m,利用锐角三角函数即可求出结果.
解:(1)竖直的墙与梯子形成直角三角形,
在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴(m);
(2)如图所示,将梯子向内移动后,移动的距离为BD,
∵DE=AB=4m,
在Rt△ABC中,(m),
在Rt△EDC中,DC=DE⋅cos70°≈4×0.34=1.36(m),
∴BD=BC﹣DC≈2﹣1.36≈0.6(m),
故向内移动0.6m.
20.在平面直角坐标系中,函数y=a(x+1)(x﹣3)(a≠0)的图象经过点(1,4).
(1)求a的值;
(2)求该函数图象的顶点坐标和对称轴;
(3)自变量x在什么范围内时,y随x的增大而增大?
【分析】(1)利用待定系数法即可求得;
(2)把解析式化成顶点式,即可得到顶点坐标为(1,4),对称轴为直线x=1;
(3)根据二次函数的性质即可求得.
解:(1)∵函数y=a(x+1)(x﹣3)(a≠0)的图象经过点(1,4),
∴4=﹣4a,
∴a=﹣1;
(2)∵y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴该函数图象的顶点坐标为(1,4),对称轴为直线x=1;
(3)∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,
∴当x<1时,y随x的增大而增大.
21.如图,⊙O是四边形ABCD的外接圆,直径BD与弦AC交于点E.若∠BAC=2∠ABE.
(1)求证:AB=AC;
(2)当△BCE是等腰三角形时,求∠BCE的大小;
(3)当AE=4,CE=6时,求边BC的长.
【分析】(1)欲证明AB=AC,只要证明∠ABC=∠ACB即可.
(2)分三种情形:①BE=BC,②BC=CE,③BE=CE,分别利用等腰三角形的性质求解即可.
(3)连接AO并延长,交BC于点F,由AF∥CD,推出,可得OE=OD,DE=OD,CD=OA,证明△ABE∽△DCE,可得,推出AE•CE=DE•BE=24,求出OD=,再利用勾股定理,可得结论.
【解答】(1)证明:∵直径BD,
∴∠ABE+∠ADB=90°,
∵∠BAC=2∠ABE,∠ADB=∠ACB,
∴∠BAC+∠ACB=90°,
∴∠ACB=90°∠BAC,
∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=90°∠BAC,
∴∠ACB=∠ABC,
∴AB=AC;
(2)解:由题意可知:∠BEC=3∠ABE.
分情况:
①BE=BC,
那么∠ACB=∠BEC=3∠ABE,∠EBC=2∠ABE,
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC=8∠ABE=180°,
∴∠ABE=22.5°,
∴∠BCE=3∠ABE=67.5°.
②BC=CE,
那么∠EBC=∠BEC=3∠ABD,
∠ACB=∠ABC=∠ABE+∠EBC=4∠ABE,
∴∠ACB+∠BEC+∠EBC=10∠ABE=180°,
∴∠ABE=18°,
∴∠BCE=4∠ABE=72°.
③BE=CE,此时E,A重合,舍去,
综上所述,满足条件的∠BCE的值为67.5°或72°;
(3)解:连接AO并延长,交BC于点F,
根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BC,
∵直径BD,
∴∠BCD=90°,
∴AF∥CD,
∴,
∴OE=OD,DE=OD,CD=OA,
∵∠AEB=∠DEC,∠ABE=∠DCE,
∴△ABE∽△DCE,
∴,
∴AE•CE=DE•BE=24,
∵OB=OD=OA,
∴OD•OD=24,
∴OD==OA,
∴CD=,BD=,
在直角△BCD中,BC2+CD2=BD2,
∴BC=.
22.锐角△ABC中,BC=6,AD为BC边上的高线,S△ABC=12,两动点M,N分别在边AB,AC上滑动,且MN∥BC,以MN为边向下作正方形MPQN(如图1),设其边长为x,
(1)当PQ恰好落在边BC上(如图2)时,求x;
(2)正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为时,求x的值.
【分析】(1)根据S△ABC=12求出AD=4,再由△AMN∽△ABC,确定比例关系求出x的值即可;
(2)当正方形MPQN与ABC公共部分的面积为 时,可分两种情况,一是当PQ在△ABC的内部,二是当PQ在△ABC的外部,当当PQ在△ABC的外部时,根据相似三角形的性质得出比例线段,表达出重叠部分面积,再列出方程,解出x的值即可.
解:(1)∵BC=6,AD为BC边上的高线,S△ABC=12,
∴,
∴AD=4,
设AD交MN于点H,
∵MN∥BC,
∴△AMN∽△ABC,
∴,即,解得x=,
∴当PQ恰好落在边BC上时,x=.
(2)①当PQ在△ABC的内部时,正方形MPQN与△ABC公共部分的面积即为正方形MPQN的面积,
∴,
解得,
②当PQ在△ABC的外部时,如图3,PM交BC于点E,QN交BC于点F,AD交MN于点H,
设HD=a,则AH=4﹣a,
由得,解得a=,
∴矩形MEFN的面积为MN=﹣(2.4<x≤6).
即,
解得x1=4,x2=2(舍去),
综上:正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为时,x为或4.
23.已知:如图1,抛物线的顶点为M,平行于x轴的直线与该抛物线交于点A,B(点A在点B左侧),根据对称性△AMB恒为等腰三角形,我们规定:当△AMB为直角三角形时,就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”.
(1)①如图2,求出抛物线y=x2的“完美三角形”斜边AB的长;
②抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 相等 ;
(2)若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4,求a的值;
(3)若抛物线y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n,且y=mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1,求m,n的值.
【分析】(1)①过点B作BN⊥x轴于N,根据△AMB为等腰直角三角形,AB∥x轴,所以∠BMN=∠ABM=45°,所以∠BMN=∠MBN,得到MN=BN,设B点坐标为(n,n),代入抛物线y=x2,得n=n2,解得n=1,n=0(舍去),所以B(1,1),求出BM的长度,利用勾股定理,即可解答;
②因为抛物线y=x2+1与y=x2的形状相同,所以抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等;
(2)根据抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+4的形状相同,所以抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+4的“完美三角形”全等,所以抛物线y=ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4,所以抛物线y=ax2的“完美三角形”斜边的长为4,从而确定B点坐标为(2,2)或(2,﹣2),把点B代入y=ax2中,得到.
(3))根据y=mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1,得到,化简得mn﹣4m﹣1=0,抛物线y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n,所以抛物线y=mx2的“完美三角形”斜边长为n,所以B点坐标为,代入抛物线y=mx2,得,mn=﹣2或n=0(不合题意舍去),所以,所以.
解:(1)①过点B作BN⊥x轴于N,如图2,
∵△AMB为等腰直角三角形,
∴∠ABM=45°,
∵AB∥x轴,
∴∠BMN=∠ABM=45°,
∴∠MBN=90°﹣45°=45°,
∴∠BMN=∠MBN,
∴MN=BN,
设B点坐标为(n,n),代入抛物线y=x2,
得n=n2,
∴n=1,n=0(舍去),
∴B(1,1)
∴MN=BN=1,
∴MB==,
∴MA=MB=,
在Rt△AMB中,AB==2,
∴抛物线y=x2的“完美三角形”的斜边AB=2.
②∵抛物线y=x2+1与y=x2的形状相同,
∴抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等;
故答案为:相等.
(2)∵抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+4的形状相同,
∴抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+4的“完美三角形”全等,
∵抛物线y=ax2+4的“完美三角形”斜边的长为4,
∴抛物线y=ax2的“完美三角形”斜边的长为4,
∴B点坐标为(2,2)或(2,﹣2),
把点B代入y=ax2中,
∴.
故a=或﹣;
(3)∵y=mx2+2x+n﹣5的最大值为﹣1,
∴,
∴mn﹣4m﹣1=0,
∵抛物线y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形”斜边长为n,
∴抛物线y=mx2的“完美三角形”斜边长为n,
∴B点坐标为,
∴代入抛物线y=mx2,得,
∴mn=﹣2或n=0(不合题意舍去),
∴,
∴.
故m=﹣,n=.
24.已知:在⊙O中,弦AC⊥弦BD,垂足为H,连接BC,过点D作DE⊥BC于点E,DE交AC于点F.
(1)如图1,求证:BD平分∠ADF;
(2)如图2,连接OC,若AC=BC,求证:OC平分∠ACB;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接AB,过点D作DN∥AC交⊙O于点N,若AB=3,DN=9.求sin∠ADB的值.
【分析】(1)根据等角的余角相等即可证明;
(2)连接OA、OB.只要证明△OCB≌△OCA即可解决问题;
(3)如图3中,连接BN,过点O作OP⊥BD于点P,过点O作OQ⊥AC于点Q,则四边形OPHQ是矩形,可知BN是直径,则HQ=OP=DN=,设AH=x,则AQ=x+,AC=2AQ=2x+9,BC=2x+9,CH=AC﹣AH=2x+9﹣x=x+9
在Rt△AHB中,BH2=AB2﹣AH2=()2﹣x2.在Rt△BCH中,BC2=BH2+CH2即(2x+9)2=()2﹣x2+(x+9)2,解得 x=3,BC=2x+9=15,CH=x+9=12求出sinBCH,即为sin∠ADB的值.
【解答】(1)证明:如图1,
∵AC⊥BD,DE⊥BC,
∴∠AHD=∠BED=90°,
∴∠DAH+∠ADH=90°,∠DBE+∠BDE=90°,
∵∠DAC=∠DBC,
∴∠ADH=∠BDE,
∴BD平分∠ADF.
(2)证明:连接OA、OB.
∵OB=OC=OA,AC=BC
∴△OCB≌△OCA(SSS),
∴OBC=∠OCA,
∴OC平分∠ACB;
(3)如图3中,连接BN,过点O作OP⊥BD于点P,过点O作OQ⊥AC于点Q.
则四边形OPHQ是矩形,
∵DN∥AC,
∴∠BDN=∠BHC=90°,
∴BN是直径,
则OP=DN=,
∴HQ=OP=,
设AH=x,则AQ=x+,AC=2AQ=2x+9,BC=AC=2x+9,
∴CH=AC﹣AH=2x+9﹣x=x+9
在Rt△AHB中,BH2=AB2﹣AH2=()2﹣x2.
在Rt△BCH中,BC2=BH2+CH2,
即(2x+9)2=()2﹣x2+(x+9)2,
整理得2x2+9x﹣45=0,
(x﹣3)(2x+15)=0
解得 x=3(负值舍去),
BC=2x+9=15,CH=x+9=12,
则BH=.
∵∠ADB=∠BCH,
∴sin∠ADB=sin∠BCH===.
即sin∠ADB的值为.
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