陕西省咸阳市2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题

咸阳市2019届第一次模拟考试

数学（文）试题

命题人：            审题人：

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

   A.   B.   C.   D.

2. 设等差数列的前项和为．若，，则（    ）

   A.      B.        C.     D.

3. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）

   A.    B.   C.   D.

4．设向量，，若向量与同向，则（    ）

A.     B.     C.     D.

5．已知命题，则，则下列叙述正确的是（    ）

A. 命题的逆命题是：若，则

B. 命题的否命题是：若，则

C. 命题的否命题是：若，则

D. 命题的逆否命题是真命题

6. 若角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（    ）

   A.                  B.              C.               D.

7.将函数y＝sin的图象向右平移个单位，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)图象的一个对称中心为(　　)

A.    B.    C.    D.

8. 已知实数满足则的最大值为（    ）

   A.       B.      C.　　          D.2

9.中国古代建筑借助榫卯（sǔn mǎo）将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进去部分叫卯眼．某榫卯木构件的三视图及其部分尺寸（单位：厘米）如图所示，则该木构件的体积等于（单位：立方厘米）（    ）

   A.       B.     　   

   C.       D.

10. 甲盒子装有分别标有数字1,2,3,4的4张卡片，乙盒子装有分别标有数字2,5的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字为相邻数字的概率为(　　)

A.    B.          C.      D.

11. 设，，，则（  ）

   A.        B.     C.    D.

12. 若函数有两个极值点，则的取值范围是（     ）

   A.     B.     C.    D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 复数满足（为虚数单位），则的模是           ．

14. 已知函数 则           ．

15.已知直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围           ．

16.观察下面的数阵，则第40行最左边的数是__________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17.（12分）的内角的对边分别为，且．

（1）证明：；

（2）若，且的面积为，求．

18. （12分）某绿色有机水果店中一款有机草莓味道鲜甜，店家每天以每斤元的价格从农场购进适量草莓，然后以每斤元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的草莓由果汁厂以每斤元的价格回收.  

（1）若水果店一天购进斤草莓，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：斤，）的函数解析式；

   （2）水果店记录了天草莓的日需求量（单位：斤），整理得下表：

①假设水果店在这天内每天购进斤草莓，求这天的日利润（单位：元）的平均数；

②若水果店一天购进斤草莓，以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于元的概率.

19（12分）如图，四面体中，，，为的中点．

（1）证明：；

（2）已知是边长为正三角形．若为棱上与不重合的点，且,求四面体的体积．

20.（12分）设A，B为曲线C：上两点，A与B的横坐标之和为4．

（1）求直线AB的斜率；

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．

21.（12分）设函数．

  （1）证明：过点的直线中有且只有一条与曲线相切；

  （2）若，，求的取值范围．

请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修：坐标系与参数方程]（10分）

    在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

    （1）写出的普通方程和的直角坐标系方程；

（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标．

23．[选修：不等式选讲]（10分）

    已知函数．

    （1）当时，求不等式的解集；

   （2）设函数．当时，，求的取值范围．

数学（文）参考答案

一、选择题

二、填空题13.  5；    14.  4；    15. ；   16. 1522

三、解答题

17. (1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，

所以BC＝.

(2)由正弦定理知，＝，

所以sin C＝·sin A＝＝.

因为AB＜BC，所以C为锐角，

则cos C＝＝＝.

因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2××＝.

18. (1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.

(2)由频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4.

所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.

(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；

受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝.

19. 证明　(1)设AC∩BD＝O，连接OM，

因为ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点，

又因为M为PC的中点，所以AP∥OM.

又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，

所以直线AP∥平面BDM.

(2)因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP.

又因为平面ABP⊥平面BCP，

平面ABP∩平面BCP＝BP, AP⊂平面ABP，

所以AP⊥平面BCP.

又因为BM⊂平面BCP，所以AP⊥ BM.

因为BP＝BC，M为PC的中点，所以BM⊥CP.

又因为AP∩CP＝P，AP，CP⊂平面ACP，

所以直线BM⊥平面ACP.

21. 解：（1）函数的定义域为，设切点为，

．

则的斜率为，又．

故方程为：．

把代入得，

化简得，考察函数，．

可得在区间上单调递增；在上单调递减；

故在处取到极大值． 即，即．

所以方程的解为，且是唯一的解．

所以过点的直线中有且只有一条与曲线相切.

（2）设，定义域为．

，设，，

故在区间上单调递减， 所以．

情况1：当时，则，即，故在区间上单调递增，

即，符合题意．

情况2：当时，，

注意到在（Ⅰ）解题过程中，可得，即．

从而且．

故，满足，又因为在区间上单调递减，

故在区间，，即在区间上单调递增；

故在区间，，即在区间上单调递减．

所以当时，取到极大值，，

所以任意皆不合题意．

综上，所求的的取值范围是．

22. 解：（1）的普通方程为，     

的极坐标方程化为，

所以，的直角坐标方程为：．

（2）由题意得，设点的直角坐标为，

因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，

，

当且仅当时， 取得最小值，最小值为，

此时直角坐标为．

23. （1）当时，．

不等式即，等价于，

解得或．

因此的解集为或．

（2）

，

所以当时，等价于．

当时，不符合题意．

当时，等价于，解得．

综上得，的取值范围为.