2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习18《三角函数的图象与性质》(含详解)

这是一份2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习18《三角函数的图象与性质》(含详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
已知函数f(x)=sin(2x－eq \f(π,2))(x∈R)，下列结论错误的是( )
A.函数f(x)是偶函数
B.函数f(x)的最小正周期为π
C.函数f(x)在区间[0,eq \f(π,2)]上是增函数
D.函数f(x)的图象关于直线x=eq \f(π,4)对称
在函数①y=cs|2x|，②y=|csx|，③y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，④y=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))中，最小正周期为π的所有函数为( )
A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
已知函数y=sin(2x＋φ)在x=eq \f(π,6)处取得最大值，则函数y=cs(2x＋φ)的图象( )
A.关于点(eq \f(π,6),0)对称 B.关于点(eq \f(π,3),0)对称
C.关于直线x=eq \f(π,6)对称 D.关于直线x=eq \f(π,3)对称
已知函数f(x)=2sin(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|＜\f(π,2)))的图象过点(0，eq \r(3))，则f(x)图象的一个对称中心是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))
设函数f(x)=|sin(x+eq \f(π,3))|(x∈R)，则f(x)( )
A.在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))上是增函数
B.在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))上是减函数
C.在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上是增函数
D.在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))上是减函数
已知函数f(x)=sin(ωx+eq \f(π,6))的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则ω的最小正值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，
且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)=sin x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值为( )
A.－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(7,16) D.eq \f(\r(3),2)
下列函数中，周期为π的奇函数为( )
A.y=sinxcsx B.y=sin2x C.y=tan2x D.y=sin2x＋cs2x
函数f(x)= SKIPIF 1 < 0 cs x的图象大致为( )
下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(eq \f(π,2),π)上为减函数的是( )
A.y=sin 2x B.y=2|cs x| C.y=cs eq \f(x,2) D.y=tan(－x)
设ω∈N*且ω≤15，则使函数y=sinωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))上不单调的ω的个数是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
若函数f(x)=2asin(2x＋θ)(0<θ<π)，a是不为零的常数，f(x)在R上的值域为[－2,2]，且在区间[- SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ]上是单调减函数，则a和θ的值是( )
A.a=1，θ=eq \f(π,3) B.a=－1，θ=eq \f(π,3) C.a=1，θ=eq \f(π,6) D.a=－1，θ=eq \f(π,6)
二、填空题
函数f(x)= SKIPIF 1 < 0 ＋tan(x＋eq \f(π,4))的定义域是____________.
已知函数f(x)=2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f(eq \f(π,6)+x)=f(eq \f(π,6)-x)，则f(eq \f(π,6))的值为________.
已知ω＞0，在函数y=2sin ωx与y=2cs ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2eq \r(3)，则ω=________.
已知函数f(x)=tan x＋sin x＋2 017，若f(m)=2，则f(－m)=________.
设函数f(x)=cs(ωx- eq \f(π,6))(ω>0).若f(x)≤f(eq \f(π,4))对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.
若函数f(x)=cs(2x+φ- eq \f(π,3))(0<φ<π)是奇函数，则φ= .
\s 0 答案解析
答案为：D
解析：f(x)=sin(2x－eq \f(π,2))=－cs 2x，此函数为最小正周期为π的偶函数，
所以A，B正确；函数图象的对称轴方程为x=eq \f(kπ,2)(k∈Z)，
显然，无论k取任何整数，x≠eq \f(π,4)，所以D错误.故选D.
答案为：A；
解析：①y=cs|2x|=cs2x，最小正周期为π；
②由图象知y=|csx|的最小正周期为π；
③y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期T=eq \f(2π,2)=π；
④y=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的最小正周期T=eq \f(π,2).
答案为：A；
解析：由题意可得eq \f(π,3)＋φ=eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即φ=eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z，
所以y=cs(2x＋φ)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)＋2kπ))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，k∈Z.
当x=eq \f(π,6)时，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋\f(π,6)))=cs eq \f(π,2)=0，
所以函数y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋φ))的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))对称，不关于直线x=eq \f(π,6)对称，故A正确，
C错误；当x=eq \f(π,3)时，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,3)＋\f(π,6)))=cs eq \f(5,6)π=－eq \f(\r(3),2)，
所以函数y=cs(2x＋φ)的图象不关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称，
B错误，也不关于直线x=eq \f(π,3)对称，D错误.故选A.
答案为：B；
解析：函数f(x)=2sin(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|＜\f(π,2)))的图象过点(0，eq \r(3))，
则f(0)=2sinφ=eq \r(3)，∴sinφ=eq \f(\r(3),2)，又|φ|＜eq \f(π,2)，∴φ=eq \f(π,3)，
则f(x)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，令2x＋eq \f(π,3)=kπ(k∈Z)，
则x=eq \f(kπ,2)－eq \f(π,6)(k∈Z)，当k=0时，x=－eq \f(π,6)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))是函数f(x)的图象的一个对称中心.
答案为：A.
解析：函数f(x)=|sin(x+eq \f(π,3))|(x∈R)的图象如图所示，
由图可知函数f(x)=|sin(x+eq \f(π,3))|(x∈R)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))上是增函数.故选A.
答案为：B；
解析：将函数f(x)=sin(ωx+eq \f(π,6))的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后得到函数
g(x)=sin(ωx－eq \f(ωπ,3)＋eq \f(π,6))的图象，因为函数g(x)的图象关于y轴对称，
所以－eq \f(ωπ,3)＋eq \f(π,6)=kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即ω=－3k－1.
易知当k=－1时，ω取最小正值2，故选B.
答案为：D；
解析：∵f(x)的最小正周期是π，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－2π))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))，
∵函数f(x)是偶函数，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))=sin eq \f(π,3)=eq \f(\r(3),2).故选D.
答案为：A.
解析：y=sin2x为偶函数；y=tan2x的周期为eq \f(π,2)；y=sin2x＋cs2x为非奇非偶函数，
故B、C、D都不正确，故选A.
答案为：C；
解析：依题意，注意到f(－x)=eq \f(1－2－x,1＋2－x)·cs(－x)=eq \f(2x（1－2－x）,2x（1＋2－x）)cs x=eq \f(2x－1,2x＋1)cs x=－f(x)，
因此函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A，B均不正确；
当00，f(x)<0，结合选项知，C正确，选C.
答案为：D；
解析：A选项，函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))上单调递增，故排除A；B选项，函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递增，故排除B；C选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D.
答案为：C；
解析：由ωx=eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)得函数y=sinωx的图象的对称轴为x=eq \f(π,2ω)＋eq \f(kπ,ω)(k∈Z).
∵函数y=sinωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))上不单调，∴eq \f(π,4)＜eq \f(π,2ω)＋eq \f(kπ,ω)＜eq \f(π,3)(k∈Z)，
解得1.5＋3k＜ω＜2＋4k(k∈Z).由题意ω∈N*且ω≤15，
∴当k=0时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；
当k=1时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取5；
当k=2时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取8,9；
当k=3时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取11,12,13；
当k=4时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取14,15.
故满足题意的ω有8个，分别为5,8,9,11,12,13,14,15.故选C.
答案为：B.
解析：∵sin(2x＋θ)∈[－1,1]，且f(x)∈[－2，2]，∴2|a|=2，∴a=±1.
当a=1时，f(x)=2sin(2x＋θ)，其最小正周期T=eq \f(2π,2)=π，
∵f(x)在区间[- SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ]内单调递减，且eq \f(π,12)－(- SKIPIF 1 < 0 )=eq \f(π,2)，为半个周期，
∴f(x)max=f(- SKIPIF 1 < 0 )=2sinθ－eq \f(5,6)π=2，∴θ－eq \f(5,6)π=2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
∴θ=2kπ＋eq \f(4,3)π(k∈Z).又0<θ<π，∴a=1不符合题意，舍去.
当a=－1时，f(x)=－2sin(2x＋θ)在[- SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ]上单调递减，
∴f(x)max=f(- SKIPIF 1 < 0 )=－2sinθ－eq \f(5,6)π=2，∴sinθ－eq \f(5,6)π=－1，
∴θ－eq \f(5,6)π=2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，θ=2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z).
又∵0<θ<π，∴当k=0时，θ=eq \f(π,3)，∴a=－1，θ=eq \f(π,3).故选B.
答案为：{x|0解析：依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋lg\f(1,2)x≥0，,x＋\f(π,4)≠kπ＋\f(π,2)k∈Z.))
∴0∴函数f(x)的定义域是{x|0 答案为：2或－2
解析：∵f(eq \f(π,6)+x)=f(eq \f(π,6)-x)，∴x=eq \f(π,6)是函数f(x)=2sin(ωx＋φ)的一条对称轴，
∴f(eq \f(π,6))=±2.
答案为：eq \f(π,2).
解析：由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，
设相邻的两交点坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知|PQ|2=(x2－x1)2＋(y2－y1)2，
其中|y2－y1|=eq \r(2)－(－eq \r(2))=2eq \r(2)，
|x2－x1|为函数y=2sin ωx－2cs ωx=2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,4)))的两个相邻零点之间的距离，
恰好为函数最小正周期的一半，所以(2eq \r(3))2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,2ω)))eq \s\up12(2)＋(2eq \r(2))2，ω=eq \f(π,2).
答案为：4 032.
解析：因为函数f(x)=tan x＋sin x＋2 017，所以f(－x)=－tan x－sin x＋2 017，
从而f(－x)＋f(x)=4 034，又f(m)=2，所以f(－m)=4 032.
答案为：eq \f(2,3).
解析：∵f(x)≤f(eq \f(π,4))对任意x∈R恒成立，∴f(eq \f(π,4))为f(x)的最大值，
∴f(eq \f(π,4))=cs(eq \f(π,4)ω－eq \f(π,6))=1，∴eq \f(π,4)ω－eq \f(π,6)=2kπ，解得ω=8k＋eq \f(2,3)，k∈Z，
又∵ω>0，∴当k=0时，ω的最小值为eq \f(2,3).
答案为：eq \f(5π,6).
解析：因为f(x)为奇函数，所以φ－eq \f(π,3)=eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，φ=eq \f(5π,6)＋kπ，k∈Z.
又因为0<φ<π，故φ=eq \f(5π,6).