2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习20《正弦定理和余弦定理》(含详解)

这是一份2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习20《正弦定理和余弦定理》(含详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，C.若c2=(a－b)2＋6，C=eq \f(π,3)，则△ABC的面积是( )
A.3 B.eq \f(9\r(3),2) C.eq \f(3\r(3),2) D.3eq \r(3)
平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，AC=4，则BD=（ ）
A.4 B. SKIPIF 1 < 0 C. D.
如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海上巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是( )
A.5(eq \r(6)＋eq \r(2))km B.5(eq \r(6)－eq \r(2))km
C.10(eq \r(6)－eq \r(2))km D.10(eq \r(6)＋eq \r(2))km
某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是eq \f(1,13)、eq \f(1,11)、eq \f(1,5)，则此人将( )
A.不能作出满足要求的三角形
B.能作出一个锐角三角形
C.能作出一个直角三角形
D.能作出一个钝角三角形
已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC=120°，
则A，C两地间的距离为( )
A.10 km B.10eq \r(3) km C.10eq \r(5) km D.10eq \r(7) km
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B=asin A，
则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=eq \f(\r(5),2)b，A=2B，则csB=( )
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(\r(5),4) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(5),6)
如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )
A.5eq \r(6) B.15eq \r(3) C.5eq \r(2) D.15eq \r(6)
在△ABC中，B=eq \f(π,4)，BC边上的高等于eq \f(1,3)BC，则cs A=( )
A.eq \f(3\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10) C.－eq \f(\r(10),10) D.－eq \f(3\r(10),10)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs A＋sin A－eq \f(2,cs B＋sin B)=0，
则eq \f(a＋b,c)的值是( )
A.1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D.2
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccsB=2a＋b，若△ABC的面积S=eq \r(3)c，则ab的最小值为( )
A.28 B.36 C.48 D.56
△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b=c，a2=2b2(1－sin A)，则A=( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
二、填空题
如图，在四边形ABCD中，△ABD，△BCD分别是以AD和BD为底的等腰三角形，
其中AD=1，BC=4，∠ADB=∠CDB，则BD=________，AC=________.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.若a=eq \r(7)，b=2，A=60°，则sinB=eq \f(\r(21),7)，c= .
我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为 平方千米.
如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300eq \r(3) m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB=90°，∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°，则P，Q两点间的距离为 m.
若△ABC的面积为eq \f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B= ；eq \f(c,a)取值范围是 .
如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acs C＋ccs A=bsin B，且∠CAB=eq \f(π,6).若点D是△ABC外一点，DC=2，DA=3，则当四边形ABCD面积取最大值时，sin D=______.
\s 0 答案解析
答案为：C；
解析：c2=(a－b)2＋6，即c2=a2＋b2－2ab＋6.①
∵C=eq \f(π,3)，∴由余弦定理得c2=a2＋b2－ab，②
由①和②得ab=6，∴S△ABC=eq \f(1,2)absinC=eq \f(1,2)×6×eq \f(\r(3),2)=eq \f(3\r(3),2)，故选C.
B.
答案为：C；
解析：由题意知∠BAC=60°－30°=30°，∠CBA=30°＋45°=75°，
所以∠ACB=180°－30°－75°=75°，故AC=AB，
因为AB=40×eq \f(1,2)=20，所以AC=AB=20.
在△ABC中，由余弦定理得，
BC2=AC2＋AB2－2AC·ABcs∠CAB=400＋400－2×20×20cs 30°
=400(2－eq \r(3))，故BC=eq \r(400（2－\r(3)）)=eq \r(200（\r(3)－1）2)=10(eq \r(6)－eq \r(2)).
答案为：D；
解析：设三角形三边长为a，b，c.根据三角形面积相等得S=eq \f(1,2)a×eq \f(1,13)=eq \f(1,2)c×eq \f(1,5)=eq \f(1,2)b×eq \f(1,11)，
∴a=26S，c=10S，b=22S.由大角对大边得26S对应的角最大，
∴cs A=eq \f(（10S）2＋（22S）2－（26S）2,2×10S×22S)=－eq \f(23,110)＜0.
又A∈(0，π)，∴∠A为钝角，故D正确.
答案为：D；
解析：如图所示，
由余弦定理可得，AC2=100＋400－2×10×20×cs 120°=700，∴AC=10eq \r(7)(km).
答案为：B；
解析：由已知及正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B=sin2A，即sin(B＋C)=sin2A，
又sin(B＋C)=sin A，∴sin A=1，∴A=eq \f(π,2).故选B.
答案为：B.
解析：由正弦定理，得sinA=eq \f(\r(5),2)sinB，
又A=2B，所以sinA=sin2B=2sinBcsB，所以csB=eq \f(\r(5),4).
答案为：D；
解析：在△BCD中，∠CBD=180°－15°－30°=135°.
由正弦定理得eq \f(BC,sin30°)=eq \f(30,sin135°)，所以BC=15eq \r(2).
在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=15eq \r(2)×eq \r(3)=15eq \r(6).
答案为：C；
解析：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，由题意知AD=BD=eq \f(1,3)BC，
则CD=eq \f(2,3)BC，AB=eq \f(\r(2),3)BC，AC=eq \f(\r(5),3)BC，在△ABC中，
由余弦定理的推论可知，cs∠BAC=eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)=eq \f(\f(2,9)BC2＋\f(5,9)BC2－BC2,2×\f(\r(2),3)BC×\f(\r(5),3)BC)=－eq \f(\r(10),10)，故选C.
答案为：B；
解析：因为cs A＋sin A－eq \f(2,cs B＋sin B)=0，
所以(cs A＋sin A)(cs B＋sin B)=2，
所以cs Acs B＋sin Asin B＋sin Acs B＋cs Asin B=2，
即cs(A－B)＋sin(A＋B)=2，所以cs(A－B)=1，sin(A＋B)=1，
又A，B分别为三角形的内角，所以A=B，A＋B=eq \f(π,2)，所以a=b，C=eq \f(π,2)，
所以eq \f(a＋b,c)=eq \f(\f(\r(2),2)c＋\f(\r(2),2)c,c)=eq \r(2)，故选B.
答案为：C.
解析：在△ABC中，2ccsB=2a＋b，由正弦定理，得2sinCcsB=2sinA＋sinB.
又A=π－(B＋C)，所以sinA=sin[π－(B＋C)]=sin(B＋C)，
所以2sinCcsB=2sin(B＋C)＋sinB=2sinBcsC＋2csBsinC＋sinB，
得2sinBcsC＋sinB=0，
因为sinB≠0，所以csC=－eq \f(1,2)，又0