2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习41《抛物线》(含详解)

这是一份2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习41《抛物线》(含详解)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
设抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
已知过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S，则eq \f(|OS|,|OR|)的取值范围是( )
A.(0，2) B.[2，＋∞) C.(0，2] D.(2，＋∞)
已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，且|AB|=8，M为抛物线C准线上一点，则△ABM的面积为( )
A.16 B.18 C.24 D.32
设F为抛物线y2=2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点.若F为△ABC的重心，
则|eq \(FA,\s\up15(→))|＋|eq \(FB,\s\up15(→))|＋|eq \(FC,\s\up15(→))|的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若eq \(FP,\s\up10(→))=4eq \(FQ,\s\up10(→))，则|QF|等于( )
A.eq \f(7,2) B.eq \f(5,2) C.3 D.2
若点A，B在抛物线y2=2px(p＞0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4eq \r(3)，
则该抛物线方程是( )
A.y2=eq \f(2\r(3),3)x B.y2=eq \r(3)x C.y2=2eq \r(3)x D.y2=eq \f(\r(3),3)x
过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=eq \f(1,2)|AB|，
则点A到抛物线C的焦点的距离为( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(7,5) C.eq \f(9,7) D.2
已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|=|MF|=eq \f(3,2)(O为坐标原点)，则eq \(OM,\s\up7(―→))·eq \(MF,\s\up7(―→))=( )
A.－eq \f(7,4) B.eq \f(7,4) C.eq \f(9,4) D.－eq \f(9,4)
已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|=4，则直线AF的倾斜角等于( )
A.eq \f(7π,12) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(5π,6)
已知F是抛物线C1：y2=2px(p>0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，eq \f(p,2)为半径的圆，
直线4x－3y－2p=0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则eq \f(|AB|,|CD|)=( )
A.16 B.4 C.eq \f(8,3) D.eq \f(5,3)
已知抛物线C：y2=4x，点D(2,0)，E(4,0)，M是抛物线C上异于原点O的动点，连接ME并延长交抛物线C于点N，连接MD，ND并分别延长交抛物线C 于点P，Q，连接PQ，若直线MN，PQ的斜率存在且分别为k1，k2，则eq \f(k2,k1)=( )
A.4 B.3 C.2 D.1
过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F，斜率为eq \f(4,3)的直线交抛物线于A，B两点，
若eq \(AF,\s\up7(―→))=λeq \(FB,\s\up7(―→)) (λ＞1)，则λ的值为( )
A.5 B.4 C.eq \f(4,3) D.eq \f(5,2)
二、填空题
已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F与双曲线eq \f(x2,3)－y2=1的右焦点重合，若A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|=3，则直线AF的斜率为________.
如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2=2px(p＞0)经过C，F两点，则eq \f(b,a)= .
在直角坐标系xOy中，有一定点M(－1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________.
已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.
已知F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，eq \(OA,\s\up10(→))·eq \(OB,\s\up10(→))=－4(其中O为坐标原点)，则△ABO面积的最小值是________.
已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A，B两点，若2eq \(OA,\s\up10(→))＋eq \(OB,\s\up10(→))－3eq \(OF,\s\up10(→))=0，则弦AB中点到抛物线C的准线的距离为________.
\s 0 答案解析
答案为：C；
解析：由已知得抛物线的焦点F(eq \f(p,2),0)，设点A(0，2)，抛物线上点M(x0，y0)，
则eq \(AF,\s\up10(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，－2))，eq \(AM,\s\up10(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,0),2p)，y0－2)).由已知得，eq \(AF,\s\up10(→))·eq \(AM,\s\up10(→))=0，即yeq \\al(2,0)－8y0＋16=0，
因而y0=4，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,p)，4)).由|MF|=5得，eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,p)－\f(p,2)))\s\up12(2)＋16)=5，又p＞0，解得p=2或p=8，
即抛物线方程为y2=4x或y2=16x.
答案为：D；
解析：由题意知，抛物线y2=8x的焦点F的坐标为(2，0)，直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=k(x－2).由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－2），,y2＝8x))消去y整理得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2=0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x0，y0)，S(x3，y3)，则x1＋x2=eq \f(4（k2＋2）,k2)，故x0=eq \f(x1＋x2,2)=eq \f(2（k2＋2）,k2)，y0=k(x0－2)=eq \f(4,k)，所以kOS=eq \f(y0,x0)=eq \f(2k,k2＋2)，直线OS的方程为y=eq \f(2k,k2＋2)x，代入抛物线方程，
解得x3=eq \f(2（k2＋2）2,k2)，由条件知k2＞0.所以eq \f(|OS|,|OR|)=eq \f(x3,x0)=k2＋2＞2.选D.
答案为：A.
解析：不妨设抛物线C：y2=2px(p>0)，如图，因为直线l过抛物线C的焦点，
且与抛物线的对称轴垂直，所以线段AB为通径，所以2p=8，p=4，
又M为抛物线C的准线上一点，所以点M到直线AB的距离即焦点到准线的距离为4，
所以△ABM的面积为eq \f(1,2)×8×4=16，故选A.
答案为：C
解析：由题意可设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，
x1＋x2＋x3=3×eq \f(1,2)=eq \f(3,2)，
则|eq \(FA,\s\up15(→))|＋|eq \(FB,\s\up15(→))|＋|eq \(FC,\s\up15(→))|=(x1＋eq \f(1,2))＋(x2＋eq \f(1,2))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3＋\f(1,2)))=(x1＋x2＋x3)＋eq \f(3,2)=eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)=3.故选C.
答案为：C；
解析：因为eq \(FP,\s\up10(→))=4eq \(FQ,\s\up10(→))，所以|eq \(FP,\s\up10(→))|=4|eq \(FQ,\s\up10(→))|，所以eq \f(|PQ|,|PF|)=eq \f(3,4).如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，
设l与x轴的交点为A，则|AF|=4，所以eq \f(|PQ|,|PF|)=eq \f(|QQ′|,|AF|)=eq \f(3,4)，所以|QQ′|=3，
根据抛物线定义可知|QQ′|=|QF|=3.
答案为：A；
解析：根据抛物线的对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是4eq \r(3)，故eq \f(\r(3),4)AB2=4eq \r(3)，
故AB=4，正三角形的高为2eq \r(3)，故可以设点A的坐标为(2eq \r(3)，2)代入抛物线方程
得4=4eq \r(3)p，解得p=eq \f(\r(3),3)，故所求的抛物线方程为y2=eq \f(2\r(3),3)x.故选A.
答案为：A
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x=－2的垂线，
垂足分别为点D，E.∵|PA|=eq \f(1,2)|AB|，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x1＋2＝x2＋2，,3y1＝y2.))
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))解得x1=eq \f(2,3)，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋eq \f(2,3)=eq \f(5,3).
答案为：A；
解析：不妨设M(m，eq \r(2pm))(m＞0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
因为|MO|=|MF|=eq \f(3,2)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2pm＝\f(9,4)，,m＋\f(p,2)＝\f(3,2)，))解得m=eq \f(1,2)，p=2，
所以eq \(OM,\s\up7(―→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，eq \(MF,\s\up7(―→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\r(2)))，所以eq \(OM,\s\up7(―→))·eq \(MF,\s\up7(―→))=eq \f(1,4)－2=－eq \f(7,4).故选A.
答案为：B；
解析：由抛物线y2=4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x=－1，
由抛物线定义可知|PA|=|PF|=4，所以点P的坐标为(3,2eq \r(3))，
因此点A的坐标为(－1，2eq \r(3))，所以kAF=eq \f(2\r(3)－0,－1－1)=－eq \r(3)，
所以直线AF的倾斜角等于eq \f(2π,3)，故选B.
答案为：A.
解析：因为直线4x－3y－2p=0过C1的焦点F(C2的圆心)，
故|BF|=|CF|=eq \f(p,2)，所以eq \f(|AB|,|CD|)=eq \f(|AF|－\f(p,2),|DF|－\f(p,2)).
由抛物线的定义得|AF|－eq \f(p,2)=xA，|DF|－eq \f(p,2)=xD.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3y－2p＝0，,y2＝2px))整理得8x2－17px＋2p2=0，
即(8x－p)(x－2p)=0，可得xA=2p，xD=eq \f(p,8)，故eq \f(|AB|,|CD|)=eq \f(xA,xD)=eq \f(2p,\f(p,8))=16.故选A.
答案为：C；
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
则直线MD的方程为x=eq \f(x1－2,y1)y＋2，代入抛物线C：y2=4x，
整理得y2－eq \f(4x1－2,y1)y－8=0，
所以y1y3=－8，即y3=－eq \f(8,y1)，从而x3=eq \f(16,y\\al(2,1))，故Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,y\\al(2,1))，－\f(8,y1)))，
同理可得Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,y\\al(2,2))，－\f(8,y2)))，因为M，E，N三点共线，所以eq \f(y1,x1－4)=eq \f(y2,x2－4)，
得y1y2=－16，所以k2=eq \f(－\f(8,y2)＋\f(8,y1),\f(16,y\\al(2,2))－\f(16,y\\al(2,1)))=eq \f(8,y1＋y2)，k1=eq \f(y2－y1,x2－x1)=eq \f(y2－y1,\f(y\\al(2,2),4)－\f(y\\al(2,1),4))=eq \f(4,y1＋y2)，所以eq \f(k2,k1)=2.故选C.
答案为：B；
解析：根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \(AF,\s\up7(―→))=λeq \(FB,\s\up7(―→))，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－x1，－y1))=λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(p,2)，y2))，故－y1=λy2，即λ=－eq \f(y1,y2).
设直线AB的方程为y=eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
联立直线与抛物线方程，消去x，得y2－eq \f(3,2)py－p2=0.
故y1＋y2=eq \f(3,2)p，y1y2=－p2，则eq \f(y1＋y22,y1y2)=eq \f(y1,y2)＋eq \f(y2,y1)＋2=－eq \f(9,4)，即－λ－eq \f(1,λ)＋2=－eq \f(9,4).
又λ＞1，解得λ=4.
答案为：－2eq \r(2).
解析：∵双曲线eq \f(x2,3)－y2=1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y2=8x，
∵|AF|=3，∴xA＋2=3，得xA=1，代入抛物线方程可得yA=±2eq \r(2).
∵点A在第一象限，∴A(1，2eq \r(2))，∴直线AF的斜率为eq \f(2\r(2),1－2)=－2eq \r(2).
答案为：1＋eq \r(2)；
解析：|OD|=eq \f(a,2)，|DE|=b，|DC|=a，|EF|=b，故Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，－a))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＋b，b))，
又抛物线y2=2px(p＞0)经过C、F两点，
从而有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a2＝2p×\f(a,2)，,b2＝2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＋b))，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝p，,b2＝ap＋2bp，))
∴b2=a2＋2ab，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2－2·eq \f(b,a)－1=0，又eq \f(b,a)＞1，∴eq \f(b,a)=1＋eq \r(2).
答案为：y=－eq \f(5,4).
解析：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x－4y＋5=0，
把焦点坐标(0,eq \f(p,2))代入可求得p=eq \f(5,2)，所以准线方程为y=－eq \f(5,4).
答案为：(1,0).
解析：由题知直线l的方程为x=1，则直线与抛物线的交点为(1，±2eq \r(a))(a＞0).
又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4eq \r(a)=4，即a=1.
所以抛物线的焦点坐标为(1,0).
答案为：4eq \r(2).
解析：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞0，由eq \(OA,\s\up10(→))·eq \(OB,\s\up10(→))=－4，即x1x2＋y1y2=－4得
eq \f(1,16)yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＋y1y2=－4，得y1y2=－8.所以S△ABO=eq \f(1,2)|x1y2－x2y1|=|y1－y2|≥4eq \r(2)，
当y1=2eq \r(2)，y2=－2eq \r(2)时取等号，故△ABO面积的最小值为4eq \r(2).
答案为：eq \f(9,4).
解析：依题意得，抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程是y=－1，
因为2(eq \(OA,\s\up10(→))－eq \(OF,\s\up10(→)))＋(eq \(OB,\s\up10(→))－eq \(OF,\s\up10(→)))=0，即2eq \(FA,\s\up10(→))＋eq \(FB,\s\up10(→))=0，所以F，A，B三点共线.
设直线AB：y=kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y))得x2=4(kx＋1)，即x2－4kx－4=0，x1x2=－4 ①；
又2eq \(FA,\s\up10(→))＋eq \(FB,\s\up10(→))=0，因此2x1＋x2=0 ②.
由①②解得xeq \\al(2,1)=2，弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为
eq \f(1,2)[(y1＋1)＋(y2＋1)]=eq \f(1,2)(y1＋y2)＋1=eq \f(1,8)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2))＋1=eq \f(5xeq \\al(2,1),8)＋1=eq \f(9,4).