2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习43《曲线与方程》(含详解)

这是一份2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习43《曲线与方程》(含详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
已知圆O的方程为x2＋y2=9，若抛物线C过点A(－1，0)，B(1，0)，且以圆O的切线为准线，则抛物线C的焦点F的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,8)=1(x≠0) B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)=1(x≠0) C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,8)=1(y≠0) D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)=1(y≠0)
过抛物线x2=4y的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，分别过A，B作抛物线的切线l1，l2，则l1与l2的交点P的轨迹方程是( )
A.y=－1 B.y=－2 C.y=x－1 D.y=－x－1
已知F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为( )
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
方程(x2＋y2－2x)eq \r(x＋y－3)=0表示的曲线是( )
A.一个圆和一条直线 B.一个圆和一条射线
C.一个圆 D.一条直线
若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( )
A.x＋y=5 B.x2＋y2=9 C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1 D.x2=16y
设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|=5，eq \(OM,\s\up10(→))=eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up10(→))＋eq \f(2,5)eq \(OB,\s\up10(→))，
则点M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)=1 B.eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)=1 C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1 D.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)=1
平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3).若点C满足eq \(OC,\s\up15(→))=λ1eq \(OA,\s\up15(→))＋λ2eq \(OB,\s\up15(→))(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2=1，则点C的轨迹是( )
A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线
已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.
若eq \(MN2,\s\up10(→))=λeq \(AN,\s\up10(→))·eq \(NB,\s\up10(→))，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是( )
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线
已知θ是△ABC的一个内角，且sin θ＋cs θ=eq \f(3,4)，则方程x2sin θ－y2cs θ=1表示( )
A.焦点在x轴上的双曲线
B.焦点在y轴上的双曲线
C.焦点在x轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的椭圆
已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|=2|PB|，则动点P的轨迹是( )
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)，距离之差的绝对值为8，
则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( )
A.x＋y=5 B.x2＋y2=9 C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1 D.x2=16y
在△ABC中，已知A(2,0)，B(－2,0)，G，M为平面上的两点且满足Geq \(A,\s\up15(→))＋Geq \(B,\s\up15(→))＋Geq \(C,\s\up15(→))=0，|Meq \(A,\s\up15(→))|=|Meq \(B,\s\up15(→))|=|Meq \(C,\s\up15(→))|，Geq \(M,\s\up15(→))∥Aeq \(B,\s\up15(→))，则顶点C的轨迹为( )
A.焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外)
B.焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)
C.焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外)
D.焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)
二、填空题
已知圆的方程为x2＋y2=4，若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，
则抛物线焦点的轨迹方程是________.
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足eq \(OC,\s\up15(→))=eq \(OA,\s\up15(→))＋t(eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→)))，
其中t∈R，则点C的轨迹方程是 .
已知△ABC的顶点A，B坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C为动点，且满足sin B＋sin A=eq \f(5,4)sin C，则C点的轨迹方程为 .
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足eq \(OC,\s\up10(→))=eq \(OA,\s\up10(→))＋t(eq \(OB,\s\up10(→))－eq \(OA,\s\up10(→)))，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________.
如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=eq \f(1,3)AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是 .
如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1，0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.则曲线M的方程为________.
\s 0 答案解析
答案为：D；
解析：设抛物线C的焦点为F(x，y)，准线为l，过点A，B，O分别作AA′⊥l，
BB′⊥l，OP⊥l，其中A′，B′，P分别为垂足，则l为圆的切线，P为切点，
且|AA′|＋|BB′|=2|OP|=6.因为抛物线过点A，B，所以|AA′|=|FA|，|FB|=|BB′|，
所以|FA|＋|FB|=|AA′|＋|BB′|=6＞|AB|=2，
所以点F的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
且点F不在x轴上，所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)=1(y≠0).
答案为：A.
解析：抛物线的焦点为F(0,1)，设l：y=kx＋1，代入x2=4y得x2=4kx＋4，
即x2－4kx－4=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=4k，x1x2=－4.
将y=eq \f(1,4)x2求导得y′=eq \f(1,2)x，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l1：y－y1＝\f(1,2)x1x－x1，,l2：y－y2＝\f(1,2)x2x－x2，))
由x2=4y得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l1：y＋y1＝\f(1,2)x1x，,l2：y＋y2＝\f(1,2)x2x，))两方程相除得eq \f(y＋y1,y＋y2)=eq \f(x1,x2)，
变形整理得y=eq \f(x1y2－x2y1,x2－x1)=eq \f(x1x2x2－x1,4x2－x1)=－1，所以交点P的轨迹方程是y=－1.
答案为：B；
解析：不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S，
∵QP是∠F1QF2的平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点.
∵O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，
∴|PO|=eq \f(1,2)|F2S|=eq \f(1,2)(|QS|－|QF2|)=eq \f(1,2)(|QF1|－|QF2|)=a，∴点P的轨迹为圆.
答案为：D；
解析：依题意，题中的方程等价于①x＋y－3=0或②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3≥0，,x2＋y2－2x＝0.))
注意到圆x2＋y2－2x=0上的点均位于直线x＋y－3=0的左下方区域，
即圆x2＋y2－2x=0上的点均不满足x＋y－3≥0，即②不表示任何图形，
因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3=0.
答案为：B；
解析：∵M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，
∴M的轨迹是以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线，方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)=1.
A项，直线x＋y=5过点(5,0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；
B项，x2＋y2=9的圆心为(0,0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；
C项，eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1的右顶点为(5,0)，故椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1与M的轨迹有交点，满足题意；
D项，方程代入eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)=1，可得y－eq \f(y2,9)=1，即y2－9y＋9=0，∴Δ＞0，满足题意.
答案为：A；
解析：设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，由eq \(OM,\s\up10(→))=eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up10(→))＋eq \f(2,5)eq \(OB,\s\up10(→))，
得(x，y)=eq \f(3,5)(x0，0)＋eq \f(2,5)(0，y0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,5)x0，,y＝\f(2,5)y0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝\f(5,3)x，,y0＝\f(5,2)y，))
由|AB|=5，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)x))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)y))eq \s\up12(2)=25，化简得eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)=1.
答案为：A
解析：设C(x，y)，因为eq \(OC,\s\up15(→))=λ1eq \(OA,\s\up15(→))＋λ2eq \(OB,\s\up15(→))，
所以(x，y)=λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3λ1－λ2，,y＝λ1＋3λ2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝\f(y＋3x,10).,λ2＝\f(3y－x,10)，))
又λ1＋λ2=1，所以eq \f(y＋3x,10)＋eq \f(3y－x,10)=1，即x＋2y=5.所以点C的轨迹为直线.故选A.
答案为：C；
解析：以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
设M(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则N(x，0).因为eq \(MN2,\s\up10(→))=λeq \(AN,\s\up10(→))·eq \(NB,\s\up10(→))，
所以y2=λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2=λa2，
当λ=1时，轨迹是圆；
当λ＞0且λ≠1时，轨迹是椭圆；
当λ＜0时，轨迹是双曲线；
当λ=0时，轨迹是直线.
综上，动点M的轨迹不可能是抛物线.
答案为：D；
解析：因为(sin θ＋cs θ)2=1＋2sin θcs θ=eq \f(9,16)，所以sin θcs θ=－eq \f(7,32)＜0，
又sin θ＋cs θ=eq \f(3,4)＞0，所以sin θ＞－cs θ＞0，故eq \f(1,－cs θ)＞eq \f(1,sin θ)＞0，
而x2sin θ－y2cs θ=1可化为eq \f(y2,－\f(1,cs θ))＋eq \f(x2,\f(1,sin θ))=1，
故方程x2sin θ－y2cs θ=1表示焦点在y轴上的椭圆.
答案为：B
解析：设P(x，y)，则eq \r(x＋22＋y2)=2eq \r(x－12＋y2)，整理得x2＋y2－4x=0，
又D2＋E2－4F=16＞0，所以动点P的轨迹是圆.
答案为：B；
解析：因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，
所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)=1.
A项，直线x＋y=5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；
B项，x2＋y2=9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；
C项，eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；
D项，方程代入eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)=1，可得y－eq \f(y2,9)=1，即y2－9y＋9=0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”.
答案为：B；
解析：设C(x，y)(y≠0)，
由Geq \(A,\s\up15(→))＋Geq \(B,\s\up15(→))＋Geq \(C,\s\up15(→))=0，即G为△ABC的重心，得Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)，\f(y,3))).
又|Meq \(A,\s\up15(→))|=|Meq \(B,\s\up15(→))|=|Meq \(C,\s\up15(→))|，即M为△ABC的外心，所以点M在y轴上，
又Geq \(M,\s\up15(→))∥Aeq \(B,\s\up15(→))，则有Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(y,3))).所以x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(y,3)))2=4＋eq \f(y2,9)，化简得eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,12)=1，y≠0.
所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点).
答案为：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1(y≠0)
解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，
则|AA1|＋|BB1|=2|OO1|=4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|=|FA|＋|FB|，
所以|FA|＋|FB|=4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).所以抛物线焦点的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1(y≠0).
答案为：y=2x－2.
解析：设C(x，y)，则eq \(OC,\s\up15(→))=(x，y)，eq \(OA,\s\up15(→))＋t(eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→)))=(1＋t,2t)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t＋1，,y＝2t，))消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x－2.
答案为：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1(x≠±5)；
解析：由sin B＋sin A=eq \f(5,4) sin C可知b＋a=eq \f(5,4)c=10，
则|AC|＋|BC|=10＞8=|AB|，∴满足椭圆定义.令椭圆方程为eq \f(x2,a′2)＋eq \f(y2,b′2)=1，
则a′=5，c′=4，b′=3，则轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1(x≠±5).
答案为：y=2x－2
解析：设C(x，y)，则eq \(OC,\s\up10(→))=(x，y)，eq \(OA,\s\up10(→))＋t(eq \(OB,\s\up10(→))－eq \(OA,\s\up10(→)))=(1＋t，2t)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝t＋1，,y＝2t，))消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x－2.
答案为：y2=eq \f(2,3)x－eq \f(1,9).
解析：如图，过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连接PH，PM，
易证得PH⊥A1D1.设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2=1，得x2＋1－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,3)))2＋y2))=1，
化简得y2=eq \f(2,3)x－eq \f(1,9).
答案为：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1(y≠0)
解析：由题知|CA|＋|CB|=|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|=2|CP|＋|AB|=4＞|AB|，
所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点).
设曲线M的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0，y≠0)，
则a2=4，b2=a2－(0.5|AB|)2=3，所以曲线M：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1(y≠0)为所求.