2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习51《几何概型》(含详解)

这是一份2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习51《几何概型》(含详解)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
在正三棱锥S－ABC内任取一点P，使得VP－ABC＜eq \f(1,2)VS－ABC的概率是( )
A.eq \f(7,8) B.eq \f(3,4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
如图所示，正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1，0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y=x2经过点B，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,5)
在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥eq \f(1,2)”的概率，p2为事件“|x－y|≤eq \f(1,2)”的概率，p3为事件“xy≤eq \f(1,2)”的概率，则( )
A.p1 在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使eq \r(x2＋y2)≤1成立的概率为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,5)
中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8 g圆形金质纪念币，直径22 mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积是( )
A.eq \f(726π,5) mm2 B.eq \f(363π,10) mm2 C.eq \f(363π,5) mm2 D.eq \f(363π,20) mm2
如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )

老师计划在晚自习19：00～20：00解答同学甲、乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟.若甲、乙两人在晚自习的任意时刻去问问题是互不影响的，则两人独自去时不需要等待的概率为( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(4,9) C.eq \f(5,9) D.eq \f(7,9)
在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中任取一点M，则满足∠AMB>90°的概率为( )
A.eq \f(π,24) B.eq \f(π,12) C.eq \f(π,8) D.eq \f(π,6)
已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为( )
A.eq \f(π,4) B.1－eq \f(π,4) C.eq \f(π,8) D.1－eq \f(π,8)
已知函数f(x)=x2＋tx＋t，∀x∈R，f(x)>0，函数g(x)=3x2－2(t＋1)x＋t，则“∃a，b∈(0,1)，使得g(a)=g(b)=0”为真命题的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,5)
如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( A )
若a∈[1,6]，则函数y=eq \f(x2＋a,x)在区间[2，＋∞)上单调递增的概率是( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
二、填空题
如图，正四棱锥S­ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，
则这点取自正四棱锥内的概率为 .
已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为eq \f(3,5)，则eq \f(AD,AB)= .
如图，在半径为a的圆内有一片湖水，向圆内随机投入n个点，则有m个点落入湖水中(n>m)，据此估计湖水的面积为 .
平面区域A1={(x，y)|x2＋y2<4，x，y∈R}，A2={(x，y)||x|＋|y|≤3，x，y∈R}.在A2内随机取一点，则该点不在A1内的概率为 .
若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3=0与x轴，y轴围成的三角形的面积小于eq \f(9,8)的概率为________.
某人家门前挂了两盏灯笼，这两盏灯笼发光的时刻相互独立，且都在通电后的5秒内任意时刻等可能发生，则它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率是________.
\s 0 答案解析
答案为：A
解析：如图，分别取D，E，F为SA，SB，SC的中点，
则满足条件的点P应在棱台DEF－ABC内，而S△DEF=eq \f(1,4)S△ABC，
∴VS－DEF=eq \f(1,8)VS－ABC.∴P=eq \f(VDEF－ABC,VS－ABC)=eq \f(7,8).故选A.
答案为：C
解析：由题意可知，阴影部分的面积S阴影= SKIPIF 1 < 0 dx=eq \f(1,3)x3eq \\al(1,0)=eq \f(1,3)，又正方形的面积S=1，
故质点落在图中阴影区域的概率P=eq \f(\f(1,3),1)=eq \f(1,3).故选C.
答案为：B；
答案为：B
解析：如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，
使得eq \r(x2＋y2)≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的eq \f(1,4)与x轴正半轴，
y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P=eq \f(\f(π,4),1)=eq \f(π,4).故选B.
答案为：B.
解析：设军旗的面积为a mm2，则有eq \f(a,π·\f(22,2)2)=eq \f(30,100)，解得a=eq \f(363π,10)，故选B.
答案为：A
解析：设椭圆的面积为S，则eq \f(S,4×6)=eq \f(300－96,300)，故S=16.32.
答案为：B.
解析：设甲、乙两人分别在晚上19：00过x，y分钟后去问问题，则依题意知，x，y应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x－y|≥20，,0≤x≤60，,0≤y≤60.))作出该不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
则所求概率P=eq \f(\f(1,2)×40×40×2,60×60)=eq \f(4,9).故选B.
答案为：A；
答案为：D.
解析：P=eq \f(4×4×sin150°－π×12,4×4×sin150°)=1－eq \f(π,8).
答案为：C.
解析：∵函数f(x)=x2＋tx＋t，∀x∈R，f(x)>0，∴对于x2＋tx＋t=0，
Δ=t2－4t<0，∴0由“∃a，b∈(0,1)，使得g(a)=g(b)=0”为真命题，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0<\f(t＋1,3)<1，,g0＝t>0，,g1＝3－2t＋1＋t>0，,Δ＝4t＋12－12t>0，))解得0∴“∃a，b∈(0,1)，使得g(a)=g(b)=0”为真命题的概率是eq \f(1－0,4－0)=eq \f(1,4).
答案为：A；
答案为：C.
解析：∵函数y=eq \f(x2＋a,x)=x＋eq \f(a,x)在区间(0，eq \r(a))上单调递减，在区间(eq \r(a)，＋∞)上单调递增，
而1≤a≤6，∴1≤eq \r(a)≤eq \r(6).要使函数y=eq \f(x2＋a,x)在区间[2，＋∞)上单调递增，
则eq \r(a)≤2，得1≤a≤4，∴P(1≤a≤4)=eq \f(4－1,6－1)=eq \f(3,5)，故选C.
答案为：eq \f(1,2π).
解析：设球的半径为R，则所求的概率为P=eq \f(V锥,V球)=eq \f(\f(1,3)×\f(1,2)×2R×2R·R,\f(4,3)πR3)=eq \f(1,2π).
答案为：eq \f(3,5).
解析：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，
试验的全部结果构成线段CD，由对称性，可取CD的中点为E，研究PB与AB长度关系.
记PB=AB时，P点位置为P0，
因为“△APB的最大边是AB”发生的概率为eq \f(3,5)，所以eq \f(P0E,DE)=eq \f(3,5)，
设AD=y，AB=x，则DE=eq \f(1,2)x，P0E=eq \f(3,5)DE=eq \f(3,10)x，P0C=eq \f(1,2)x＋eq \f(3,10)x=eq \f(4,5)x，
因为P0C2＋BC2=P0B2=AB2，所以(eq \f(4,5)x)2＋y2=x2，即eq \f(16,25)x2＋y2=x2，
所以y2=eq \f(9,25)x2，y=eq \f(3,5)x，所以eq \f(y,x)=eq \f(3,5)，即eq \f(AD,AB)=eq \f(3,5).
答案为：eq \f(m,n)πa2；
答案为：1－eq \f(2π,9)；
解析：分别画出区域A1，A2，如图中圆内部和正方形及其内部所示，
根据几何概型可知，所求概率为eq \f(18－4π,18)=1－eq \f(2π,9).
答案为：eq \f(2,3).
解析：对于直线方程(m＋2)x＋(3－m)y－3=0，令x=0，得y=eq \f(3,3－m)；令y=0，得x=eq \f(3,m＋2).
由题意可得eq \f(1,2)·|eq \f(3,m＋2)|·|eq \f(3,3－m)|＜eq \f(9,8)，因为m∈(0,3)，所以解得0＜m＜2，
由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是eq \f(2,3).
答案为：eq \f(21,25).
解析：设两盏灯笼通电后发光的时刻分别为x，y，则由题意可知0≤x≤5,0≤y≤5，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒，即|x－y|≤3，做出图形如图所示，
根据几何概型的概率计算公式可知，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率
P=1－eq \f(2×\f(1,2)×2×2,5×5)=eq \f(21,25).