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2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习56《不等式选讲》(含详解)
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已知函数f(x)=|x＋m|＋|2x－1|(m∈R).
(1)当m=－1时，求不等式f(x)≤2的解集；
(2)设关于x的不等式f(x)≤|2x＋1|的解集为A，且[eq \f(3,4),2]⊆A，求实数m的取值范围.
设函数f(x)=|x－1|－|2x＋1|的最大值为m.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)若a2＋2c2＋3b2=m，求ab＋2bc的最大值.
已知函数f(x)=|x＋1|＋|x－3|.
(1)若关于x的不等式f(x)
(1)求m的值；
(2)若a，b，c，x，y，z∈R，且x2＋y2＋z2=a2＋b2＋c2=m，求证：ax＋by＋cz≤1.
设函数f（x）=|x﹣a|．
（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；
（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．
已知函数f(x)=|x＋1|.
(1)若∃x0∈R，使不等式f(x0－2)－f(x0－3)≥u成立，求满足条件的实数u的集合M；
(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a>1，b>1，c>1，且(a－1)(b－1)(c－1)=t，求证：abc≥8.
\s 0 答案解析
解：(1)当m=－1时，f(x)=|x－1|＋|2x－1|，由f(x)≤2，得|x－1|＋|2x－1|≤2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤\f(1,2)，,1－x＋1－2x≤2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＜x＜1，,1－x＋2x－1≤2))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x－1＋2x－1≤2.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤\f(1,2)，,x≥0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＜x＜1，,x≤2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x≤\f(4,3).))
∴0≤x≤eq \f(1,2)或eq \f(1,2)＜x＜1或1≤x≤eq \f(4,3).
∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|0≤x≤\f(4,3))).
(2)∵[eq \f(3,4),2]⊆A，
∴当x∈[eq \f(3,4),2]时，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立，
即|x＋m|＋|2x－1|≤|2x＋1|在x∈[eq \f(3,4),2]上恒成立，
∴|x＋m|＋2x－1≤2x＋1，即|x＋m|≤2，
∴－2≤x＋m≤2，
∴－x－2≤m≤－x＋2在x∈[eq \f(3,4),2]上恒成立，
∴(－x－2)max≤m≤(－x＋2)min，
∴－eq \f(11,4)≤m≤0，
∴实数m的取值范围是[－eq \f(11,4),0].
解：(1)因为f(x)=|x－1|－|2x＋1|，
所以f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤－\f(1,2)，,－3x，－\f(1,2)＜x＜1，,－x－2，x≥1，))
画出图象如图.
(2)由(1)可知m=eq \f(3,2).
因为eq \f(3,2)=m=a2＋2c2＋3b2=(a2＋b2)＋2(c2＋b2)≥2ab＋4bc，
所以ab＋2bc≤eq \f(3,4)，当且仅当a=b=c=eq \f(1,2)时，等号成立.
所以ab＋2bc的最大值为eq \f(3,4).
解：
(1)不等式等价于a>f(x)min，f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－2，x>3，,4，－1≤x≤3，,2－2x，x<－1，))
绘制函数f(x)的图象如图所示，观察函数的图象，
可得实数a的取值范围是(4，＋∞).
(2)由题意可得x=eq \f(7,2)是方程|x＋1|＋|x－3|=a的解，
据此有a=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)＋1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)－3))=5，
求解绝对值不等式|x＋1|＋|x－3|<5可得：－eq \f(3,2)
解：
(1)由f(x＋1)≥0，得|x|＋|x－1|≤m.
∵|x|＋|x－1|≥1恒成立，
∴若m<1，不等式|x|＋|x－1|≤m的解集为∅，不合题意；
若m=1，不等式|x|＋|x－1|≤1的解集为[0,1].
若m>1，①当x<0时，eq \f(1－m,2)≤x<0；
②当0≤x≤1时，得x＋1－x≤m,0≤x≤1；
③当x>1时，得2x－1≤m,1
由题意知，原不等式的解集为[0,1].
∴eq \f(1－m,2)=0，eq \f(m＋1,2)=1，解得m=1.∴m=1.
(2)证明：∵x2＋a2≥2ax，y2＋b2≥2by，z2＋c2≥2cz，
当且仅当x=a，y=b，z=c时等号成立.
三式相加，得x2＋y2＋z2＋a2＋b2＋c2≥2ax＋2by＋2cz.
由题设及(1)，知x2＋y2＋z2=a2＋b2＋c2=m=1，
∴2≥2(ax＋by＋cz)，
∴ax＋by＋cz≤1，不等式得证.
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，
则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，
当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；
当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，
当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2，
综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．
（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．即得a=1，
即+=a=1，（m＞0，n＞0），则m+4n=（m+4n）（+）=1+2++≥3+2=2+3．
当且仅当+，即m2=8n2时取等号，故m+4n≥2+3成立．
解：
(1)由已知得f(x－2)－f(x－3)=|x－1|－|x－2|=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1，x≤1，,2x－3，1
由于∃x0∈R，使不等式|x0－1|－|x0－2|≥u成立，所以u≤1，即M={u|u≤1}.
(2)证明：由(1)知t=1，
则(a－1)(b－1)(c－1)=1，
因为a>1，b>1，c>1，
所以a－1>0，b－1>0，c－1>0，
则a=(a－1)＋1≥2eq \r(a－1)>0(当且仅当a=2时等号成立)，
b=(b－1)＋1≥2eq \r(b－1)>0(当且仅当b=2时等号成立)，
c=(c－1)＋1≥2eq \r(c－1)>0(当且仅当c=2时等号成立)，
则abc≥8eq \r(a－1b－1c－1)=8(当且仅当a=b=c=2时等号成立).
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