重庆市缙云教育联盟2021-2022学年高一11月质量检测数学试题含答案

重庆缙云教育联盟2021-2022学年（上）11月月度考试

高一数学

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 若命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围为

A. 或 B. 或
C.  D.

2. 下列五个命题：

；

；

；

；

．

其中真命题的个数是

A.  B.  C.  D.

3. 下面选项正确的是

A. 存在实数，使
B. ，是锐角的内角，是的充分不必要条件
C. 函数是奇函数
D. 函数的图象向右平移个单位，得到的图象

4. 已知一个古典概型的样本空间和事件，如图所示其中，，则事件与事件 的对立事件     

A. 是互斥事件，不是独立事件
B. 不是互斥事件，是独立事件
C. 既是互斥事件，也是独立事件
D. 既不是互斥事件，也不是独立事件

5. 已知椭圆与双曲线具有相同焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是   

A.  B.  C.  D.

6. 已知正实数，满足，的最小值为    ．

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数，则关于的不等式的解集为     

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数、的定义域为，其中的图象关于原点对称，的图象关于直线对称，若，则   

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是   

A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 在上是增函数 D. 的值域是

10. 已知函数，则下列结论中正确的有    ．

A. 的图象的对称中心为
B. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
C. 在上的值域为
D. 方程在上的根为

11. 记使得函数在上的值域为的实数的取值范围为集合，过点的幂函数在区间上的值域为集合，若是的必要不充分条件，则整数的取值可以为   

A.  B.  C.  D.

12. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形如下图的雪花曲线，将一个边长为的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图，如此继续下去，得图记为第个图形的边长，记为第个图形的周长，为的前项和，则下列说法正确的是 

A.
B.
C. 若，为中的不同两项，且，则最小值是
D. 若恒成立，则的最小值为

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 在锐角中，，若点为的外心，且，则的最大值为          ．
14. 设为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，若，则______．
15. 已知函数，若对任意，均有，则实数的取值范围是_________．
16. 对于函数给出下列四个命题：
    该函数是以为最小正周期的周期函数；
    当且仅当时，该函数取得最小值；
    该函数的图像关于对称；
    当且仅当时，．
    其中正确命题的序号是________请将所有正确命题的序号都填上．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17. 已知集合，．

若，求实数的取值范围；

若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．






 

18. 已知函数．

解关于的不等式；

若不等式在上有解，求实数的取值范围．






 

19. 为净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒个单位的净化剂，空气中该净化剂释放的浓度单位：毫克立方米随着时间单位：小时变化的函数关系式近似为，其中若多次喷洒，则某一时刻空气中净化剂浓度为每次喷洒的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于毫克立方米时，它才能起到净化空气的作用．

若一次喷洒个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？

若第一次喷洒个单位的净化剂，小时后再喷洒个单位的净化剂，问能否使接下来的个小时内起到持续净化空气的作用？请说明理由．






 

20. 已知函数．

求函数的值域．

已知函数的最小值等于，正实数，，满足证明：．






 

21. 函数，方程有三个互不相等的实数根，从小到大依次为，，．

当时，求的值；

若对于任意符合题意的正数，恒成立，求实数的取值范围．






 

22. 已知函数．

常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；

若函数在上的最大值为，求实数的值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查命题的否定，以及不等式恒成立和存在问题，属于基础题．
根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数，使，根据命题的否定是真命题，得到判别式小于等于，解不等式即可．
【解答】
解：命题“存在，使”的否定是“任意实数，使”，
原命题为假命题，
命题的否定是真命题．
，整理得出，
．
故选D．  

2.【答案】
 

【解析】略
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，必要条件，充分条件及充要条件的判断，函数的奇偶性，函数图象的变换的应用，
依次判断各个选项，根据的值域，可否定；根据，结合角的范围和的单调性可得，推得充分性，易于举反例否定必要性，则B正确；利用诱导公式化简函数解析式，利用偶函数定义可判断得到C错误；根据三角函数左右平移求得平移后的解析式，可知D错误．
【解答】
解：选项：，则
不存在，使得，可知不正确；
选项：为锐角三角形，，即，
，，又，且在上单调递增
；若，满足，但，不是锐角的内角，可知B正确；
选项：，则，则为偶函数，可知C错误；
选项：向右平移个单位得，可知D错误．
故选B．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查事件与事件的关系的判断，考查集合的交集、并集、韦恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

【解答】

解：一个古典概型的样本空间和事件，如图所示．
其中，，，，
，且，
事件与事件不是互斥事件；
由题意知，，，
故事件与事件相互独立，所以事件与事件也相互独立．
故选：．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查椭圆和双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，余弦定理，基本不等式求最小值的问题，属于中档题．
由题意设焦距为，不妨令在第一象限，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义以及余弦定理，推出，由此，根据基本不等式即可求得结果．
【解答】
解：设焦距为，由对称性，不妨令在第一象限．
根据题意，可知，
解得，
根据余弦定理，可知：
，
整理得，
所以
 ，
当且仅当时取等号．
故的最小值是．
故选B．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查基本不等式求解表达式的最小值，利用基本不等式将已知条件进行转化是解题的关键，属于一般题．
化简方程为，然后变换表达式利用基本不等式求出表达式的最小值即可．
【解答】
解：，，
由得，
即，
，当且仅当时取等号．
故选C．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．
根据题意，设分析函数的奇偶性以及单调性，据此可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数，设，则有，解可得，
即函数的定义域为，关于原点对称，
又由，即函数为奇函数，
设，则，
，在上为减函数，而在上为增函数，
故在区间上为减函数，
解可得：，即不等式的解集为．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查函数的奇偶性，对称性，属中档题，
由题意得到函数为奇函数，函数为偶函数，利用奇函数，偶函数定义分别求得解析式，即可求解，
【解答】
解：依题意，则函数为奇函数，函数的图象关于轴对称，
故函数为偶函数，
因为，
则，
即，
联立，
解得，，
故，
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础，考查函数的奇偶性和单调性以及值域，属于中档题．由取整函数的定义，计算出即可判断；计算出即可判断；由复合函数的单调性，即可判断的单调性，从而判断；由取整函数的定义，结合，，即可得到的值域，从而判断．
【解答】

解：，，

，则不是偶函数，故A错误；

的定义域为，

，

为奇函数，故B正确；

，

又在上单调递增，

在上是增函数，故C正确；

，，则，可得，

即．

，故D错误．
故选BC．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角函数的图象与性质，函数图象变换，三角函数的定义域与值域，属于中档题．
A.化简得，由，即可判断；利用函数的图象变换即可判断利用三角函数的定义域与值域即可判断解方程，，即可．
【解答】
解：：由，得函数的对称中心是，所以选项A正确
：把的图象向右平移个单位，得到，所以选项B错误
：当，，，所以在上的值域为，故C错．
：当，令解得，故D对，  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查的是二次函数的定义域和值域，充分、必要条件，幂函数的性质，属于较难题．
根据二次函数的性质可得集合；根据幂函数的性质可得集合，由集合是集合的必要不充分条件，则是的真子集，即可得出答案．

【解答】

解：函数的对称轴为，在时取最小值，故，
又与时函数值均为，故，
故的取值范围为，即集合；
设幂函数，过点，
即，得，
故，在区间上的值域为，
即，
若集合是集合的必要不充分条件，
则是的真子集，
即等号不能同时成立，
解得．
则整数的取值可以为，，．
故选ABC．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查等比数列的通项公式和等比数列的应用，属于较难题目．
设第个图形的边数为，可得为等比数列，求得其通项公式，同样求得的通项公式，进而得到和的通项公式，即可对，作出判定，利用等比数列的性质得到，进而求得的最小值，根据的单调性和范围求得单调性和范围，得到，，从而求得的最小值．
【解答】
解：对于，由题意可知，下一个图形的边长是上一个图边长的，边数是上一个图形的倍，
则周长之间的关系为，
所以数列是公比为，首项为的等比数列，所以，所以A正确，
对于，由题意可知，从第个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的，
所以数列是为首项，为公比的等比数列，
所以，所以B错误，
对于，由，，
得，
所以，所以，
因为，且，所以当时，，则，
当时，，则，
同理当时，，则，
当时，，则，
所以最小值是，
所以C错误，对于，因为在上递增，
所以，即，令，则在上递增，
所以，即，即，
因为恒成立，所以的最小值为，所以D正确，
故选：  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了平面向量基本定理、向量的数量积、二倍角公式、基本不等式的运用，属于中档题．
根据平面向量基本定理及向量运算得到，两边平方后利用向量的数量积得到
，结合二倍角公式求得，化简式整理得
，最后利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：，整理得：，
设锐角三角形外接圆的半径为，所以，则上式两边平方得：，其中，，
代入式，得：，整理得：，
由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，
即，解得：或，
当时，此时，，
此时点在外部，为钝角三角形，与题干矛盾，
所以舍去，
即成立．
则的最大值为．  

14.【答案】
 

【解析】解：为定义在上的奇函数，则，
为定义在上的偶函数，则，
由于，
则，即有，
由解得，，
，
则，
，
则．
故答案为：．
由奇偶函数的定义，将换成，运用函数方程的数学思想，解出，，再求，，即可得到结论．
本题考查函数的奇偶性和运用：求函数解析式，求函数值，考查运算能力，属于中档题．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数，不等式的恒成立问题，分段函数，函数的单调性与单调区间和指数函数及其性质，属于中档题．
利用分段函数的单调性，结合二次函数和指数函数的单调性得函数是上的增函数，再利用题目所给条件得当时，，从而把问题转化为对任意恒成立，令把问题转化为恒成立，再利用不等式的恒成立问题处理策略，结合二次函数图象得，最后计算得结论．
【解答】
解：因为函数
所以当时，函数是增函数
当时，函数是增函数
而当时，，因此函数是上的增函数．
又因为当时，
所以，
而当时，，
因此当时，，
所以对任意，均有等价于：
对任意，均有，
因此对任意，均有，
即对任意恒成立．
令，
则对任意恒成立等价于恒成立．
因为函数的图象开口向上，
所以要恒成立，则
即，解得，
因此实数的取值范围是．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考点是三角函数的最值，本题是函数图象的运用，由函数的图象研究函数的性质，并以由图象研究出的结论判断和函数有关的命题的真假．
由题意作出此分段函数的图象，由图象研究该函数的性质，依据这些性质判断四个命题的真假，此函数取自变量相同时函数值小的那一个，由此可顺利作出函数图象．
【解答】
解：由题意函数，画出在上的图象．
由图象知，函数的最小正周期为，
在和时，该函数都取得最小值，故错误，
由图象知，函数图象关于直线对称，
在时，，故正确．
故答案为     

17.【答案】解：或，集合．
所以且，所以  
因为“”是“”的充分条件
所以，所以或 
所以或
 

【解析】本题主要考查了充分条件、必要条件的判断，涉及一元二次不等式的解法与集合关系中参数取值问题，属于基础题．
解一元二次不等式得到化简集合，由可得关于的不等式组，解不等式组可得答案；
因为“”是“”的充分条件，可得，可得关于的不等式组，解之可得答案．
 

18.【答案】解：，即，
所以 ，
所以 ， 
当时不等式的解为或，
当时不等式的解为，
当时不等式的解为或，
综上：原不等式的解集为
当时或，
当时，
当时或．
 不等式在上有解，即
在上有解，
所以在上有解，
所以，
因为，
所以，      
当且仅当，即时取等号，
所以
 

【解析】本题考查了一元二次不等式的解法和不等式恒成立问题，是一般题．
由题意得对的值进行分类讨论可得不等式的解集；

将条件转化为，，再利用基本不等式求最值可得的取值范围；

19.【答案】解：依题意，令，则
或．
解得或，即
故一次喷洒个单位的净化剂，净化时间可达小时．
设从第一次喷洒起，小时后，空气中净化剂的浓度为，由题意得
当且仅当，即时取“”号．
故小时后再喷洒个单位净化剂，能使接下来的小时内持续净化空气．
 

【解析】本题考查了分段函数的意义与性质、基本不等式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决实际问题的能力，属于中档题． 
利用已知可得：一次喷洒个单位的净化剂，可得或，分类讨论解出即可；
设从第一次喷洒起，小时后，空气中净化剂的浓度为，变形利用基本不等式即可得出．
 

20.【答案】解：由题意可得，的定义域为，

当时，，

，

，

，

当 时，，

，

，

，

当 时，，

当 时，，

，

，

，

综上所述，的值域为．

证明：由知，，

，

，

由柯西不等式可得，

，

即 当且仅当时取等号，

，即得证．

【解析】略
 

21.【答案】解：当时，

当时，

令

得或舍去

当时，

令

得或

所以，，

等价于

设，

即与有三个交点

当时，

在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递增

，

即

解得：

，为方程的两个根

则，且

等价于

为方程的正根

当时，

在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递增

，

即

解得：

，为方程的两个根

则，且

等价于

当，即时，

为方程的较小根

在单调递减，

综上所述，实数的取值范围为：

【解析】本题考查函数与方程的根，考查不等式恒成立问题，属于中档题对分类讨论得出分段函数后，关键在于分析出，将不等式转化为，再根据的范围求出最值．

由已知写出得表达式并分类讨论去绝对值，再分别求出三个零点即可；

先对进行分类讨论，再分析出，将不等式化简，进而求出的取值范围．

22.【答案】解：
，
，由，
得，
的递增区间为，
在上是增函数，
当时，有，
，解得，
的取值范围是．
，
令，
，
，
由，
．
当，
由，
解得舍．
当即，
由，得，
解得舍或．
当，即时，在处．
因此，．
 

【解析】本题考查三角函数的性质的综合应用，难度较大．
化简函数解析式，得单调区间，由函数在区间上是增函数，得，求得结论；
，令，得到，，结合二次函数性质即可得到答案．