浙江省杭州市西湖区三墩中学2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】

这是一份浙江省杭州市西湖区三墩中学2021-2022学年八年级上学期期中数学【试卷+答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年浙江省杭州市西湖区三墩中学八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列四个手机APP图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a＝ D．a＝2
3．若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则此三角形的第三边长可能为（　　）
A．1cm B．2cm C．5cm D．8cm
4．若a＞b，则下列式子中错误的是（　　）
A．a+1＞b+1 B．2a＞2b C．﹣＞﹣ D．a＞b﹣1
5．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　）

A．85° B．75° C．65° D．60°
6．如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．∠DCB＝∠EBC B．∠ADC＝∠AEB C．AD＝AE D．BE＝CD
7．如图，正方形网格中（每个小正方形边长为1），点A，B，C均落在格点上，下列关于△ABC的描述中，正确的是（　　）

A．三边长都是有理数 B．是等腰三角形
C．是直角三角形 D．面积为6.5
8．已知x＞1，x+a＝1，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a≤0 C．a＞0 D．a≥0
9．如图，△ABC中，D是AB的中点，BE⊥AC，垂足为E．若DE＝5，AE＝8，则BE的长度是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　）

A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．“等边三角形的各个内角都等于60°”的逆命题是 　 　，这是 　 　命题（填“真”或“假”）．
12．如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD＝40°，则∠EBC＝　 　度．

13．等腰三角形有一外角为100°，则它的底角为　 　．
14．如图，在△ABC中，点D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC＝20，则S△ABE＝　 　．

15．若关于x的不等式组有解，则写出符合条件的一个a的值　 　．
16．等边△ABC中，射线BA上有一点D，连结CD，以CD为边向上作等边△CDE，连结BE和AE，下列结论：①AE＝BD；②AE与直线AB夹的锐角为60°；③当D在射线BA上时，总有∠BED﹣∠AED＝∠BDC；④当∠BCD＝90°时，CE2+AD2＝AC2+DE2，正确的结论序号有 　 　．

三、解答题（本题有7个小题，共66分）
17．解下列不等式（组），并把（1）的解集在数轴上表示出来．
（1）2（x+1）﹣1＞x；
（2）．
18．如图，AB＝DC，AC＝DB，AC和BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求证：∠ABD＝∠DCA．

19．如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：求作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连结EF．请依据上述几何语言，画出完整图形，再判断AD是否垂直平分EF，并说明理由．

20．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，P为BD上的点，PD＝AD且AB＝CP．
（1）求证：CD＝BD；
（2）∠PCD＝30°，求∠CBA．

21．已知等腰△ABC，AB＝AC＝a．
（1）若∠B＝2∠A，求∠B的度数．
（2）若△ABC的周长是10，求腰长a的取值范围．
22．在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销，某药店售出一批口罩．已知3包儿童口罩和2包成人口罩共26个，5包儿童口罩和3包成人口罩共40个．
（1）求儿童口罩和成人口罩的每包各是多少个？
（2）某家庭欲购进这两种型号的口罩共5包，为使其中口罩总数量不低于26个，且不超过34个，
①有哪几种购买方案？
②若每包儿童口罩8元，每包成人口罩25元，哪种方案总费用最少？
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设点P的运动时间为t秒．
（1）则AC＝　 　cm；
（2）当BP平分∠ABC，求此时点P的运动时间t的值；
（3）点P运动过程中，△BCP能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能请说明理由．



参考答案
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列四个手机APP图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a＝ D．a＝2
【分析】反例就是满足条件，但是不满足结论．根据负数的绝对值等于它的相反数，a取任何一个负数都可以．
解：∵负数的绝对值等于它的相反数，
∴任何一个负数都可以，a＝﹣2符合题意，
故选：A．
3．若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则此三角形的第三边长可能为（　　）
A．1cm B．2cm C．5cm D．8cm
【分析】设第三边为xcm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，选出合适的x的值即可．
解：设第三边为xcm，
∵三角形的两边长分别为3cm和5cm，
∴5cm﹣3cm＜x＜5cm+3cm，即2cm＜x＜8cm，
∴5cm符合题意，
故选：C．
4．若a＞b，则下列式子中错误的是（　　）
A．a+1＞b+1 B．2a＞2b C．﹣＞﹣ D．a＞b﹣1
【分析】利用不等式的基本性质判断即可．
解：A、∵a＞b，
∴a+1＞b+1，故本选项不合题意；
B、∵a＞b，
∴2a＞2b，故本选项不合题意；
C、∵a＞b，
∴﹣＜﹣，故本选项符合题意；
D、∵a＞b，
∴a＞b﹣1，故本选项不合题意；
故选：C．
5．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　）

A．85° B．75° C．65° D．60°
【分析】利用三角形外角的性质解答即可．
解：如图所示，

∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，
故选：B．
6．如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．∠DCB＝∠EBC B．∠ADC＝∠AEB C．AD＝AE D．BE＝CD
【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
解：A、因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB，由∠DCB＝∠EBC，所以∠ABE＝∠ACD，根据ASA可以证明△ABE≌△ACD，本选项不符合题意．
B、由∠ADC＝∠AEB，根据AAS可以证明△ABE≌△ACD，本选项不符合题意．
C、由AD＝AE，根据SAS可以证明△ABE≌△ACD，本选项不符合题意．
D、SSA，不能判定三角形全等，本选项符合题意．
故选：D．
7．如图，正方形网格中（每个小正方形边长为1），点A，B，C均落在格点上，下列关于△ABC的描述中，正确的是（　　）

A．三边长都是有理数 B．是等腰三角形
C．是直角三角形 D．面积为6.5
【分析】根据勾股定理分别求出AB、AC、BC，根据有理数的概念、等腰三角形的概念、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式计算，判断即可．
解：A、由勾股定理得：AC＝＝5，AB＝＝，BC＝＝，
则AB、BC的长不是有理数，本选项说法错误，不符合题意；
B、∵△ABC的三边都不相等，
∴△ABC不是等腰三角形，本选项说法错误，不符合题意；
C、∵AB2+BC2＝10+17＝27，AC2＝25，
∴AB2+BC2≠AC2，
∴△ABC不是直角三角形，本选项说法错误，不符合题意；
D、S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×4﹣×3×1＝6.5，
故本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
8．已知x＞1，x+a＝1，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a≤0 C．a＞0 D．a≥0
【分析】根据已知得出a＝1﹣x，再根据x＞1即可得出答案．
解：∵x+a＝1，
∴a＝1﹣x，
∵x＞1，
∴a＜0．
故选：A．
9．如图，△ABC中，D是AB的中点，BE⊥AC，垂足为E．若DE＝5，AE＝8，则BE的长度是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理计算求出BE．
解：∵BE⊥AC，D为AB的中点，
∴AB＝2DE＝10，
由勾股定理得，BE＝＝＝6．
故选：B．
10．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　）

A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180°
【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．
解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠OAD＝α，
在△ABC中，∠ABC＝（180°﹣α），
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，
∴β+（180°﹣α）＝90°，
整理得，α＝2β．
故选：B．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．“等边三角形的各个内角都等于60°”的逆命题是 　三个角都是60°的三角形是等边三角形　，这是 　真　命题（填“真”或“假”）．
【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据等边三角形的判定定理判断即可．
解：命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是“三个角都是60°的三角形是等边三角形”，是真命题，
故答案为：三个角都是60°的三角形是等边三角形，真．
12．如图所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD＝40°，则∠EBC＝　140　度．

【分析】首先根据余角的性质求出∠ABC的度数，再根据邻补角定义求出∠EBC．
解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，
∴∠ABC＝∠ACD＝90°﹣∠BCD＝40°，
∴∠EBC＝180°﹣∠ABC＝140°．
故答案为：140．
13．等腰三角形有一外角为100°，则它的底角为　80°或50°　．
【分析】等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
解：∵等腰三角形的一个外角等于100°，
∴等腰三角形的一个内角为80°，
①当80°为顶角时，其他两角都为50°、50°，
②当80°为底角时，其他两角为80°、20°，
所以等腰三角形的底角可以是50°，也可以是80°
答案为：80°或50°．
14．如图，在△ABC中，点D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC＝20，则S△ABE＝　5　．

【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则利用点D为BC的中点得到S△ABD＝10，然后利用E为AD的中点得到S△ABE＝S△ABD．
解：∵点D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ABC＝×20＝10，
∵E为AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD＝×10＝5．
故答案为：5．
15．若关于x的不等式组有解，则写出符合条件的一个a的值　6　．
【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组有解确定出a的值即可．
解：不等式整理得：，
由不等式组有解，得到a＞5，
则满足题意a的值为6．
故答案为：6．
16．等边△ABC中，射线BA上有一点D，连结CD，以CD为边向上作等边△CDE，连结BE和AE，下列结论：①AE＝BD；②AE与直线AB夹的锐角为60°；③当D在射线BA上时，总有∠BED﹣∠AED＝∠BDC；④当∠BCD＝90°时，CE2+AD2＝AC2+DE2，正确的结论序号有 　①②④　．

【分析】利用△BCD≌△ACE（SAS），可以证明①②正确，③错误，当∠BCD＝90°时，易知AC＝AD，根据EC＝DE即可判断④正确．
解：如图，设CD交AE于O．

∵△ABC，△CED都是等边三角形，
∴CB＝CA，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE，∠BDC＝∠AEC，故①正确，
∵∠EOC＝∠DOA，
∴∠OAD＝∠OCE＝60°，
∴AE与AB的夹角为60°，故②正确，
∵∠BED﹣∠AED＝∠AEB＜∠AEC，∠AEC＝∠BDC，
∴∠BED﹣∠AED＜∠BDC，故③错误，
当∠BCD＝90°时，易证AC＝AD，
∵CE＝DE，
∴CE2+AD2＝AC2+DE2故④正确，
故答案为：①②④．
三、解答题（本题有7个小题，共66分）
17．解下列不等式（组），并把（1）的解集在数轴上表示出来．
（1）2（x+1）﹣1＞x；
（2）．
【分析】（1）去括号，移项、合并同类项、系数化成1即可求解；
（2）解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
解：（1）2（x+1）﹣1＞x，
去括号，得：2x+2﹣1＞x，
移项，得：2x﹣x＞﹣2+1，
合并同类项得：x＞﹣1，
在数轴上表示为：
；
（2），
由①得 x≥﹣4；
由②得 x＜2；
不等式组的解集﹣4≤x＜2．
18．如图，AB＝DC，AC＝DB，AC和BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求证：∠ABD＝∠DCA．

【分析】（1）由“SSS”可证△ABC≌△DCB；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，即可求解．
【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）；
（2）∵△ABC≌△DCB，
∴∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DCA．
19．如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：求作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连结EF．请依据上述几何语言，画出完整图形，再判断AD是否垂直平分EF，并说明理由．

【分析】（1）利用基本作图作角平分线AD，再作DE⊥AB，DF⊥AC；
（2）利用角平分线的性质得DE＝DF，则点D在EF的垂直平分线上，再证明Rt△AED≌Rt△AFD得到AE＝AF；则点A在EF的垂直平分线上，于是可判断AD垂直平分EF．
解：（1）如图，AD即为所求；

（2）如图即为完整图形，AD为EF的垂直平分线．理由如下：
∵△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴点D在EF的垂直平分线上，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF；
∴点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF．
20．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，P为BD上的点，PD＝AD且AB＝CP．
（1）求证：CD＝BD；
（2）∠PCD＝30°，求∠CBA．

【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABD≌Rt△PCD，可得CD＝BD；
（2）由全等三角形的性质可得∠PCD＝∠ABD＝30°，由等腰三角形的性质可求∠CBD＝45°，即可求解．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠CDP＝∠BDA＝90°，
在Rt△ABD和Rt△PCD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△PCD（HL），
∴CD＝BD；
（2）∵Rt△ABD≌Rt△PCD，
∴∠PCD＝∠ABD＝30°，
∵CD＝BD，∠BDC＝90°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝75°．
21．已知等腰△ABC，AB＝AC＝a．
（1）若∠B＝2∠A，求∠B的度数．
（2）若△ABC的周长是10，求腰长a的取值范围．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系解答即可．
解：（1）∵AB＝AC，∠B＝2∠A，
∴∠B＝∠C，
∴2∠A+2∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝36°，
∴∠B＝72°；
（2）∵AB＝AC＝a，△ABC的周长是10，
根据题意可得：10﹣2a﹣a＜a＜10﹣2a+a，
解得2.5＜a＜5．
22．在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销，某药店售出一批口罩．已知3包儿童口罩和2包成人口罩共26个，5包儿童口罩和3包成人口罩共40个．
（1）求儿童口罩和成人口罩的每包各是多少个？
（2）某家庭欲购进这两种型号的口罩共5包，为使其中口罩总数量不低于26个，且不超过34个，
①有哪几种购买方案？
②若每包儿童口罩8元，每包成人口罩25元，哪种方案总费用最少？
【分析】（1）设儿童口罩每包x个，成人口罩每包y个，根据：“3包儿童口罩和2包成人口罩共26个，5包儿童口罩和3包成人口罩共40个”列方程组求解即可；
（2）①设购买儿童口罩m包，根据“这两种型号的口罩共5包，为使其中口罩总数量不低于26个，且不超过34个”列出不等式组，确定m的取值，进而解决问题；
②分别求出每个方案的费用即可解决问题．
解：（1）设儿童口罩每包x个，成人口罩每包y个，根据题意得，
，
解得，，
∴儿童口罩每包2个，成人口罩每包10个；
（2）①设购买儿童口罩m包，则购买成人口罩（5﹣m）包，根据题意得，
，
解得，2≤m≤3，
∵m为整数，
∴m＝2或m＝3，
∴共有两种购买方案：方案一：购买儿童口罩2包，则购买成人口罩3包；方案二：购买儿童口罩3包，则购买成人口罩2包．
②方案一的总费用为：2×8+3×25＝91元；
方案二的总费用为：3×8+2×25＝74元．
∵91＞74，
∴方案二的总费用最少．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设点P的运动时间为t秒．
（1）则AC＝　4　cm；
（2）当BP平分∠ABC，求此时点P的运动时间t的值；
（3）点P运动过程中，△BCP能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能请说明理由．

【分析】（1）根据勾股定理计算；
（2）作PE⊥AB于E，证明△BPE≌△BPC，根据全等三角形的性质和勾股定理计算；
（3）分CP＝CB，点P在CA上，点P在AB上，BP＝BC，PC＝PB三种情况，根据等腰三角形的概念，勾股定理计算．
解：（1）由勾股定理得，AC＝＝4（cm），
故答案为：4；
（2）作PE⊥AB于E，
在△BPE和△BPC中，
，
∴△BPE≌△BPC（AAS）
∴BE＝BC＝3，PE＝PC，
∴AE＝5﹣BE＝2，AP＝4﹣PC，
在Rt△AEP中，AP2＝AE2+EP2，即（4﹣PC）2＝22+PC2，
解得，PC＝，
当BP平分∠ABC时，点P的运动时间t＝÷2＝秒；
（3）如图2，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，
若点P在CA上，则2t＝3，
解得t＝（s）；
如图3，当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形，
∴AP＝AB﹣BP＝2，
∴t＝（4+2）÷2＝3（s）；
如图4，若点P在AB上，CP＝CB＝3，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD＝，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝，
∴PB＝2BD＝
∴CA+AP＝4+5﹣＝5.4，
此时t＝5.4÷2＝2.7（s）；
如图5，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PH⊥BC于H，则BH＝CH，
∴PH为△ABC的中位线，
∴AP＝BP＝AB＝，
∴t＝（4+）÷2＝（s）；
综上所述，t为s或s或3s或s时，△BCP为等腰三角形；