浙江省温州十校联合体2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题含答案

温州十校联合体2021-2022学年高二上学期期中考试

数学试题

选择题部分（共60分）

一、单选题：本大题共8小题， 每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知空间向量 ，若，则实数（    ）

A． 2      B.       C. 1       D.

2. 直线的倾斜角为（    ）

A．      B.      C.       D.

3. 已知双曲线 的焦距为10 ， 则双曲线的浙近线方程为（    ）

A．     B.     C.    D.

4. 已知， 则“”是“曲线表示椭圆”的 （    ）

A． 充分不必要条件             B. 充要条件

C． 必要不充分条件             D. 既不充分也不必要条件

5. 在平面直角坐标系中， 坐标原点到过点的直线距离为（    ）
A．      B.      C.        D. 1

6. 已知正方体的棱长为3，点在棱上，且，则直线与所成角的余弦值为 （    ）

A．     B.      C.      D.

7. 已知抛物线的焦点为， 点为抛物线上一点，点则的最小值为 （    ）

A．      B. 2      C.       D. 3

8. 在长方体中，分别是棱的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行， 则的最小值为（    ）

A．       B. 25      C.       D.

二、多项选择题 （每小题5分，共20分．每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得5分， 错选或不选得0分， 部分选对的得2分）

9. 下列四个结论正确的有 （    ）

A．对于任意两个向量，若，则或或

B．若空间中点 满足，则三点共线

C．空间中任意三个向量 都满足

D．对于任意两个向量， 都有

10. 已知直线与曲线有且仅有一个公共点， 则的取值可以是 （    ）

A．      B.       C.        D. 1

11. 已知双曲线过点， 且渐近线方程为，则下列结论正确的是（    ）

A． 双曲线的离心率为

B． 左焦点到浙近线的距离为

C． 双曲线的实轴长为1

D． 过右焦点截双曲线所得弦长为6的直线只有三条

12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名， 著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（    ）

A． 曲线的圆心坐标为      

B.

C． 曲线的周长为      

D. 曲线上的点到直线的最小距离为

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若， 则（    ）
14. 设直线， 若，则（    ）
15. 已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为米， 则车辆的最大高度为（    ）米．
16. 已知椭圆，过椭圆在第二象限上的任意一点作椭圆的切线与轴相交于 点，是坐标原点，过点作，垂足为，则的取值范围是（    ）

四、解答题： 本大题共5小题，每小题14分，共70分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知点，直线．不论取何值，直线过定点．
（I）求点的坐标，及点 到直线距离的最大值；
（II）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值．

18. 已知点，圆．
（I）若直线过点，且圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上，求直线的方程；
（II）若直线过点，且直线与圆交于两点，若，求直线的方程．

19.已知抛物线， 点是抛物线上的点．
（I）求抛物线的方程及的值；
（II）直线与抛物线交于 两点，，且，求的最小值并证明直线过定点．

20.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，且侧面为等边三角形．为线段的中点．
（I）求证：直线；
（II）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为．

21.已知是平面上的动点， 且点与的距离之和为．点的轨迹为曲线．
（I）求动点的轨迹的方程；
（II）不与轴垂直的直线过点且交曲线于两点， 曲线与轴的交点为，当时，求的取值范围．

2021学年第一学期温州十校联合体期中联考

高二数学评分标准与参考答案

一、单选题（5×8＝40分）

8.解析：易得平面//平面EFG，可知M的轨迹是直线AC，．选A．也可建系，利用坐标法求解．

二、选择题（4×5＝20分，全部选对的得5分，错选或不选得0分，部分选对的得2分）

三、填空题，（本大题有4小题，每小题5分，共20分）

13.        14.－4        15.        16.

16.解析：设，利用可求得切线方程为，从而可知，为定值，

四、解答题：本大题共5小题，每小题14分，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.解：（Ⅰ）由………………2分

令，解得．

所以直线l过定点P（－1，－3）．………………4分

点A（2，1）到直线l距离的最大值为．………………7分

（用点到直线距离公式表示出距离d，再求最大值可以酌情给分）

（Ⅱ）令y＝0，得；令x＝0，得y＝－a－2………………11分

依题意，，解得a＝2或a＝－2………………14分

18.解：（Ⅰ）依题意，直线l经过圆的圆心C（3.0），所以直线斜率为，…………4分

所以直线l的方程为，化简得：．………………7分

（Ⅱ）由MC⊥NC及圆的半径为4，可得，圆心C到直线的距离为．………9分

设直线l的斜率为m，则直线的方程为，………………10分

圆心C到直线l的距离，………………12分

解得，所以直线l的方程为．…………14分

19.解：（Ⅰ）依题意，点坐标满足方程，…………2分

∴抛物线的方程为．………………4分

（Ⅱ）设直线l的方程为，联立方程组，消去x得，…………6分

．………………7分

，………………9分

解得或2（舍）………………11分

．………………12分

∴t＝3或t＝－1（舍）

所以的最小值为，直线l：x＝my＋3恒过定点（3，0）．………………14分

20.解：（Ⅰ）证明：连接PE，AE，因为三角形PBC为正三角形，

PE⊥BC．………………1分

又四边形ABCD为菱形，且∠ADB＝60°，所以△ABC也是正三角形．

所以AE⊥BC．………………3分

平面PAE

平面PAE．…………5分

又平面PAE，．………………6分

（Ⅱ）由平面PMB⊥平面ABCD，及PE⊥BC可得，PE⊥平面ABC．

直线EA，EB，EP两两垂直，以E为原点，直线EA，EB，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

菱形ABCD边长为2，所以可求得

，

………………8分

设平面PAC的法向量为，则

，取

可得其中一个法向量…………10分

因为F是线段PA上的点，所以存在实数使得

………11分

设直线EF与平面PAC所成的角为，则

解得．………………13分

所以，线段PA上存在点F满足题意，且F为线段PA的两个三等分点．…………14分

21.解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹E是以为焦点，长轴为的椭圆，………2分

设，则

故轨迹E的方程为．…………4分

（Ⅱ）设直线l方程为y＝k（x＋1）

代入E的方程，整理得．…………6分

设点，

可得．…………7分

…………9分

由得，，

解得．………………10分

因为

所以

．

由已知得…………12分

，

．

的取值范围是．………………14分