数学华师大版第24章 解直角三角形综合与测试同步测试题

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（时间：90分钟，满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．（2021·全国九年级专题练习）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（ ）m．
A．3.4B．5.1C．6.8D．8.5
【答案】B
【分析】
根据相似三角形的性质即可列方程求解．
【详解】
由相似三角形的性质，设树高x米，则，
∴x＝5.1m．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟知相似三角形的性质．
2．（2021·河北沧州市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E、F分别是三边的中点，且DE=3cm，则AF的长度是（ ）cm．
A．6B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】
连接DE，AF，连用DE是三角形ABC的中位线，AF是直角三角形ABC斜边的中线进行求解即可.
【详解】
解：连接DE，AF，
∵DE分别是AC，AB的中点，
∴DE是三角形ABC的中位线，
∴BC=2DE，
又∵F为BC的中点，∠BAC=90°，
∴BC=2AF，
∴AF=DE=3cm，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
3．（2021·通道侗族自治县教育科学研究室八年级期中）如图，在中，，是边上的高，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据直角三角形的性质可得在直角三角形ACB中AB=2BC，在Rt△CDB中，即可推出BC=2BD．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴△ACB是直角三角形，
∵∠A=30°，
∴AB=2BC，
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDA=90°，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCB=30°，
∴BC=2BD．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
4．（2021·全国九年级课时练习）在中，，则的值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先根据勾股定理求得AC的长，然后根据正弦的定义即可求解．
【详解】
解：根据勾股定理可得：AC＝＝，
∴sinB＝＝．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了求一个角的正弦值，求出AC的长，正确理解正弦的定义是解题关键．
5．（2021·全国九年级课时练习）下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据特殊角锐角三角函数值，即可判断．
【详解】
解：∵，
∴A、应该是，故本选项错误，不符合题意；
B、应该是，故本选项错误，不符合题意；
C、应该是，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项一定成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
6．（2021·四川九年级期末）如图，在中，，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】
解：A、 ，∴，故A错误；
B、，∴，故B正确；
C、 ，∴，故C错误；
D、，∴，故D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义及运用，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
7．（2021·吉林长春·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【分析】
在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来．
【详解】
在Rt△ABC中，
,
即，
故选：A．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题关键是根据解三角函数的定义，列出方程．
8．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为（）（ ）．
A．7.5米B．8米C．9米D．10米
【答案】D
【分析】
结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．
【详解】
根据题意，得：
∵米
∴米
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．
9．（2021·上海）修筑一坡度为3︰4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为，那么的正切值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据坡度为坡角的正切值，即可判断出正确的选项.
【详解】
由题意的：
tanα=
故选：C
【点睛】
此题考查的是坡度、坡角的关系，坡度=坡角的正切值.
10．（2021·全国九年级课时练习）甲、乙、丙三人放风筝，各人放出的风筝线分别为，线与地平面所成的角分别为，假设风筝线近似看作是拉直的，则所放风筝最高的是（ ）．
A．甲B．乙C．丙D．无法确定
【答案】B
【分析】
根据三角函数的定义，分别求的甲、乙、丙三人风筝的高度，即可求解．
【详解】
解：根据三角函数的定义可以得到，甲、乙、丙三人风筝的高度分别为、、，
，
，
∵
∴所放风筝最高的是乙
故选为B
【点睛】
此题考查了三角函数的应用，根据三角函数的定义求得每个风筝的高度是解题的关键．
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
11．（2021·广西九年级二模）某人沿着坡度的山坡向上走了，则他上升的高度为_______m．
【答案】200
【分析】
根据坡度，可知坡角为，由可知上升高度．
【详解】
设水平面与坡面夹角为，
，
所以上升的高度为：．
故答案为200．
【点睛】
本题考查了坡度的概念，坡度与坡角（用表示）的关系：i=tan，解决本题的关键是牢记公式与定义．
12．（2021·江苏）从一艘船上测得海岸上高为米的灯塔项部的仰角是度，船离灯塔的水平距离为_____．
【答案】米
【分析】
在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
【详解】
解：根据题意可得：
灯塔的高度÷船离灯塔的水平距离，
那么，船离灯塔的水平距离为（米），
故填：米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
13．（2021·浙江杭州·）tanA=1，则锐角∠A=______．
【答案】45°
【分析】
由 为锐角，而 从而可得答案．
【详解】
解： 为锐角，

故答案为：
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的应用，掌握由锐角三角函数值求解锐角的大小是解题的关键．
14．（2020·达州市第一中学校九年级月考）如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，（即BC：AC=1：2），若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为________米．
【答案】
【分析】
根据坡面AB的坡比以及AC的值，求出BC，再利用勾股定理即可求出斜面AB的长．
【详解】
解：∵大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，AC=12米，
∴，
∴BC=6，
∴（米）
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，能根据坡度求出BC是解题关键．
15．（2021·甘肃九年级期末）如图，在坡度为1︰2（垂直距离与水平距离的比值）的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是_________．
【答案】米．
【分析】
先画出符合题意的几何图形，利用坡度为1︰2，建立方程求解垂直高度，再利用勾股定理可得答案．
【详解】
解：如图，由题意得：



即斜坡上相邻两树间的坡面距离是米．
故答案为：米．
【点睛】
本题考查的解直角三角形的应用，掌握坡度的定义是解题的关键．
16．（2021·广东九年级专题练习）如图，从甲楼底部处测得乙楼顶部处的仰角是，从甲楼顶部处测得乙楼底部处的俯角是，已知乙楼的高是，则甲楼的高是________.（结果保留根号）
【答案】
【分析】
在Rt△ACD中，由∠CAD=30°，CD=50，可求出AD，再在Rt△ABD中，由∠BDA=45°，得AB=AD即可．
【详解】
解：在Rt△ACD中，∵∠CAD=30°，CD=50，∴，
在Rt△ABD中，∵∠BDA=45°，∴（m），
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的应用，理解和掌握三角函数的意义以及仰角、俯角的意义是解题的关键．
17．（2020·全国九年级课时练习）如图，测量试管口径的量具ABC，AB的长为4.5cm，AC被分为60等份．如果试管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么试管口径DE是_____cm．
【答案】3
【分析】
利用三角尺上的刻度和相似三角形的性质求得答案即可．
【详解】
解：由题意得：ED∥BA，
∴△ECD∽△BCA，
∴CD：CA＝ED：AB，
即：40：60＝ED：4.5，
解得：ED＝3，
故答案为3．
【点睛】
考查了相似三角形的应用的知识，解题的关键是从图形中整理出有关的数据，难度不大．
18．（2021·全国九年级单元测试）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是__________．
【答案】2.5
【分析】
先求出方程的两个根，然后再根据题意运用勾股定理求出直角三角形斜边的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】
解：∵x2－7x＋12＝0
∴x1=3，x2=4
∴该直角三角形的斜边长为
∴该直角三角形斜边上的中线长为5÷2=2.5．
故填2.5．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程、勾股定理以及直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键．
19．（2021·全国九年级课时练习）已知是锐角，且，则_____．
【答案】
【分析】
根据三角函数关系可得，即可求解．
【详解】
解：根据三角函数关系可得
又∵
∴
故答案为
【点睛】
本题考查的知识点是锐角三角形的三角函数值，解题关键是熟记三角函数关系．
20．（2021·内蒙古九年级三模）在中，都是锐角，且满足，则三角形的形状是__．
【答案】钝角三角形
【分析】
根据题意非负数之和为零，只有一种情况，即零加零等于零；利用特殊角锐角三角函数值分别求出,再根据三角形内角和定理求得,判断三角形的形状即可．
【详解】
,
是钝角三角形．
故答案为：钝角三角形．
【点睛】
本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的分类，绝对值的非负性，实数平方的非负性，熟练特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，每小题5分，共40分。）
21．（2021·全国九年级课时练习）计算：．
【答案】
【分析】
先求特殊角三角函数值，再计算即可．
【详解】
解：，
=
=
=．
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数的运算，解题关键是熟记特殊角三角函数值．
22．（2021·宁津县教育和体育局教育科学研究所八年级期末）如图，中，是高，、分别是、的中点．
（1）若，，求四边形的周长；
（2）求证：垂直平分．
【答案】（1）18；（2）见解析
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；
（2）根据三角形中位线定理得到EF∥BC，从而得到AD⊥EF，再根据等腰三角形的性质即可求解.
【详解】
解：（1）∵是高，、分别是、的中点，
∴三角形ABD和三角形ACD都是直角三角形，
∴，，
∴四边形的周长．
（2）证明：设AD于EF交于点O，
∵、分别是、的中点，
∴EF是三角形ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥EF
∵，
∴AO=OD
∴垂直平分．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，三线合一定理，垂直平分线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
23．（2021·全国九年级课时练习）如图，为迎接上海2010年世博会，需改变一些老街道的交通状况．在某大道拓宽工程中，要伐掉一棵树，在地面上事先划定以为圆心，半径与等长的圆形区域为危险区，现在某工人站在离点3米处的处测得树的顶端点的仰角为，树的底部点的俯角为，问距离点8米远的保护物是否在危险区内?（取1.73）
【答案】不在危险区内
【分析】
过点作，则米，根据三角函数求得的长度，即可求解．
【详解】
解：过点作，如下图
由题意可知四边形为矩形，则
在中，，，
解得
在中，，，
解得
则
答：距离点8米远的保护物不在危险区内
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数的定义求得树高是解题的关键．
24．（2021·辽宁大连市·九年级一模）如图要测量古塔的高度，在塔前平地上点、处观测塔尖，仰角分别为和，、之间的距离为21m，求古塔的高度．（结果取整数．参考数据：，，）
【答案】63米
【分析】
设，可得，，在中，由即可求解．
【详解】
解：如图，，，．
在中，
，．
．
设，则，
在中，，
，
解得．
答：古塔的高度约为米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义解题的关键．
25．（2019·河南九年级二模）某学校有一栋教学楼AB，小明（身高忽略不计）在教学楼一侧的斜坡底端C处测得教学楼顶端A的仰角为68°，他沿着斜坡向上行走到达斜坡顶端E处，又测得教学楼顶端A的仰角为45°．已知斜坡的坡角（∠ECD）为30°，坡面长度CE＝6m，求楼房AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：tan68°≈2.48，≈1.73）
【答案】楼房AB的高度为13.7米
【分析】
过E作EF⊥AB于F，得到四边形BDEF是矩形，根据矩形的性质得到EF＝DB，BF＝DE，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
过E作EF⊥AB于F，
则四边形BDEF是矩形，
∴EF＝DB，BF＝DE，
在Rt△CDE中，∵∠EDC＝90°CE＝6，∠DCE＝30°，
∴DE＝3，CD＝，
设BC＝x，
∵∠AEF＝45°，
∴EF＝AF＝BD＝+x，
∴AB＝AF+BF＝3++x，
在Rt△ABC中，tan68°＝＝＝2.48，
解得：x≈5.5，
经检验x=5.5是所列方程的解，
∴AB＝3++x≈13.7米，
答：楼房AB的高度为13.7米．
【点睛】
本题是一道关于解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题目将实际问题转化为解直角三角形的问题是解此题的关键.