2020-2021学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷（选用）

这是一份2020-2021学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷（选用），共30页。

A．B．C．D．
2．（3分）用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2＝的形式，则m的值为（ ）
A．9B．﹣9C．1D．﹣1
3．（3分）正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y＝xB．y＝6xC．y＝6x2D．y＝
4．（3分）若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．（3分）下列方程中，无实数根的方程是（ ）
A．x2+3x＝0B．x2+2x﹣1＝0C．x2+2x+1＝0D．x2﹣x+3＝0
6．（3分）如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，转动转盘停后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则下列说法正确的是（ ）
A．指针指向黄色的概率为
B．指针不指向红色的概率为
C．指针指向红色或绿色的概率为
D．指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率
7．（3分）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．1
8．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为 cm．
10．（3分）如图所示的正方形网格中，A，B，C，D，P是网格线交点．若∠APB＝α，则∠BPC的度数为 （用含α的式子表示）．
11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根为 ．
12．（3分）下列事件：①通常加热到100℃，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°．其中是随机事件的是 （只填写序号即可）．
13．（3分）在同一个平面直角坐标系xOy中，二次函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为 ．
14．（3分）为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B（﹣5，0），C（5，0），点D（11，0），将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则的长度为 ，线段AE的长为 ，图中阴影部分面积为 ．
16．（3分）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面有四个推断：
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．
所有合理推断的序号是 ．
三、解答题（本题共31分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分）
17．（5分）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，写出一个符合条件的m的值并求出此时方程的根．
18．（5分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC和点D（A，B，C，D是网格线交点）．
（1）画出一个△DEF，使它与△ABC全等，且点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，点F与点C是对应点（要求：△DEF是由△ABC经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．
（2）在（1）的条件下，在网格中建立平面直角坐标系，写出点C和点F的坐标．
19．（5分）已知：如图，△ABC中，∠C＝90°．
求作：∠CPB＝∠A，使得顶点P在AB的垂直平分线上．
作法：①作AB的垂直平分线l，交AB于点O；
②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线l的一个交点为P（点P与点C在AB的两侧）；
③连接BP，CP，∠CPB就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OC，
∵l为AB的垂直平分线，
∴OA＝ ．
∵∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
又∵点P在⊙O上，
∴∠CPB＝∠A（ ）（填推理依据）．
20．（5分）12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：
（1）频数分布表中，m＝ ；
（2）从70≤x＜75中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率是多少？
21．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝﹣x﹣1交于点A（﹣1，0），B（m，﹣3），点P是线段AB上的动点．
（1）①m＝ ；
②求抛物线的解析式．
（2）过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线y＝ax2+bx﹣3于点Q，求线段PQ的长最大时，点P的坐标．
四、解答题（本题共21分，每小题7分）
23．（7分）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．
（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形．
①求证：∠BDP＝∠PCB；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．
（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．
24．（7分）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在⊙O上，其他部分不在⊙O外，点A，B的对应点分别为点A'，B'，线段AA'长度的最大值称为线段AB到⊙O的“极大距离”，记为d（AB，⊙O）．
（1）若点A（﹣4，0）．
①当点B为（﹣3，0），如图所示，平移线段AB，在点P1（﹣2，0），P2（﹣1，0），P3（1，0），P4（2，0）中，连接点A与点 的线段的长度就是d（AB，⊙O）；
②当点B为（﹣4，1），求线段AB到⊙O的“极大距离”所对应的点A'的坐标．
（2）若点A（﹣4，4），d（AB，⊙O）的取值范围是 ．
2020-2021学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷（选用）
参考答案与试题解析
一.选择题（本题共24分每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（3分）下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．
2．（3分）用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2＝的形式，则m的值为（ ）
A．9B．﹣9C．1D．﹣1
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可求出m的值．
【解答】解：方程3x2﹣6x+2＝0，
变形得：x2﹣2x＝﹣，
配方得：x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，
则m＝1．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（3分）正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y＝xB．y＝6xC．y＝6x2D．y＝
【分析】正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，这6个正方形的面积和就是该正方体的表面积．
【解答】解：由题意得，y＝6x2，
故选：C．
【点评】本题考查函数关系式，理解两个变量之间的关系是得出关系式的关键．
4．（3分）若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】因为⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，推出这个多边形的中心角＝60°，构建方程即可解决问题．
【解答】解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴这个多边形的中心角＝60°，
∴＝60°，
∴n＝6，
故选：C．
【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（3分）下列方程中，无实数根的方程是（ ）
A．x2+3x＝0B．x2+2x﹣1＝0C．x2+2x+1＝0D．x2﹣x+3＝0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可分别找出四个选项中方程的根的判别式△的值，取Δ＜0的选项即可得出结论．
【解答】解：A、∵Δ＝32﹣4×1×0＝9＞0，
∴方程x2+3x＝0有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；
B、∵Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，选项B不符合题意；
C、∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，
∴方程x2+2x+1＝0有两个相等的实数根，选项C不符合题意；
D、∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，
∴方程x2﹣x+3＝0没有实数根，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
6．（3分）如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，转动转盘停后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则下列说法正确的是（ ）
A．指针指向黄色的概率为
B．指针不指向红色的概率为
C．指针指向红色或绿色的概率为
D．指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率
【分析】利用概率公式求得每个选项中的事件的概率后进行判断即可．
【解答】解：∵转盘分成8个大小相同的扇形，红色的有2块，黄色3块，绿色3块，
∴A、指针指向黄色的概率为，错误，不符合题意，
B、指针不指向红色的概率为＝，正确，符合题意；
C、指针指向红色或绿色的概率为，错误，不符合题意；
D、指针指向绿色的概率等于指向黄色的概率，故原命题错误，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】连接AB，利用勾股定理求出AB，再利用垂径定理以及三角形的中位线定理解决问题即可．
【解答】解：连接AB．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝1，
∴AB＝＝＝，
∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴AC＝CP，PD＝DB，
∴CD＝AB＝，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线即可解决问题．
8．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据直线y＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c相交于M、N两点，可以得到方程kx＝ax2+bx+c有两个不同的根，从而可以得到函数y＝ax2+（b﹣k）x+c与x轴的交点个数和交点的正负情况，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx交于M，N两点，
∴kx＝ax2+bx+c有两个不同的根，
即ax2+（b﹣k）x+c＝0有两个不同的根且都小于0，
∴函数y＝ax2+（b﹣k）x+c与x轴两个交点且都在x轴的负半轴，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为 1.5 cm．
【分析】如图，过圆心O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，如图，根据切线的性质得OD、OE为⊙O的半径，再证明四边形ODAE为正方形，所以OE＝AD，然后量出AD即可．
【解答】解：如图，过圆心O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，如图，
∵⊙O分别与AB、AC相切，
∴OD、OE为⊙O的半径，
∵∠EAD＝∠ADO＝∠OEA＝90°，
而OE＝OD，
∴四边形ODAE为正方形，
∴OE＝AD＝1.5，
即圆的半径为1.5cm．
故答案为1.5．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
10．（3分）如图所示的正方形网格中，A，B，C，D，P是网格线交点．若∠APB＝α，则∠BPC的度数为 90°﹣α （用含α的式子表示）．
【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．
【解答】解：∵AP2＝32+32＝18，AC2＝36，PC2＝32+32＝18，
∴AC2＝AP2+PC2，
∴∠APC＝90°，
∴∠BPC＝∠APC﹣∠APB＝90°﹣α，
故答案为：90°﹣α．
【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出∠APC＝90°解答．
11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根为 ．
【分析】首先计算出△＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，然后利用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式直接求解．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×1＝5，
x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式为x＝（b2﹣4ac≥0）．
12．（3分）下列事件：①通常加热到100℃，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°．其中是随机事件的是 ② （只填写序号即可）．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：①通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件；
②人们外出旅游时，使用手机app购买景点门票是随机事件；
③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°是不可能事件．
故答案为：②．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
13．（3分）在同一个平面直角坐标系xOy中，二次函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为 a1＜a2＜a3 ．
【分析】抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定的，系数越大，开口越小．
【解答】解：∵二次函数y1＝a1x2的开口最大，二次函数y3＝a3x2的开口最小，
∴a1＜a2＜a3，
故答案为：a1＜a2＜a3．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定是解题的关键．
14．（3分）为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 24000（1+x）2＝34560 ．
【分析】设月平均增长率为x，根据6月及8月的盈利，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设月平均增长率为x，
根据题意得：24000（1+x）2＝34560．
故答案为：24000（1+x）2＝34560．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B（﹣5，0），C（5，0），点D（11，0），将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则的长度为 π ，线段AE的长为 14 ，图中阴影部分面积为 16π ．
【分析】根据等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，可得OB＝OC＝5，根据勾股定理可得OA和AD的长，根据△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，可得∠DAE＝60°，AE＝AD；再根据弧长公式和扇形面积公式即可求出结果．
【解答】解：∵等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，
∴OB＝OC，
∵B（﹣5，0），C（5，0），
∴OB＝OC＝5，AB＝AC＝BC＝10，
∴OA＝＝5，
∵D（11，0），
∴OD＝11，
∴AD2＝AO2+OD2＝75+121＝196，
∵△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD＝＝14；
∴的长度为＝π；
∴图中阴影部分面积
＝S扇形DAE﹣S扇形BAC
＝π×AD2﹣π×AC2
＝π（196﹣100）
＝16π．
故答案为：π；14；16π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，弧长的计算，坐标与图形变化﹣旋转，解决本题的关键是综合运用以上知识．
16．（3分）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面有四个推断：
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．
所有合理推断的序号是 ②③ ．
【分析】根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率接近0.33，故本选项推理错误；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35，故本选项推理正确；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球20×0.35＝7（个），故本选项推理正确；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率也是0.35，故本选项推理错误．
故答案为：②③．
【点评】此题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
三、解答题（本题共31分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分）
17．（5分）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，写出一个符合条件的m的值并求出此时方程的根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）由（1）的结论结合m为正整数可得出m的值，将其代入原方程后解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×（m2+m﹣2）＞0，
∴﹣8m+9＞0，
∴m＜．
（2）∵m为正整数，且m＜，
∴m＝1，
∴原方程为x2+x＝0，
∴x（x+1）＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解出一元二次方程．
18．（5分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC和点D（A，B，C，D是网格线交点）．
（1）画出一个△DEF，使它与△ABC全等，且点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，点F与点C是对应点（要求：△DEF是由△ABC经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．
（2）在（1）的条件下，在网格中建立平面直角坐标系，写出点C和点F的坐标．
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）建立如图坐标系，写出坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求作（答案不唯一）．
（2）建立如图坐标系，C（0，0），F（4，1）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（5分）已知：如图，△ABC中，∠C＝90°．
求作：∠CPB＝∠A，使得顶点P在AB的垂直平分线上．
作法：①作AB的垂直平分线l，交AB于点O；
②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线l的一个交点为P（点P与点C在AB的两侧）；
③连接BP，CP，∠CPB就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OC，
∵l为AB的垂直平分线，
∴OA＝ OB ．
∵∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
又∵点P在⊙O上，
∴∠CPB＝∠A（ 同弧所对的圆周角相等 ）（填推理依据）．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用圆周角定理证明即可．
【解答】解：（1）如图，∠CPB即为所求作．
（2）证明：连接OC，
∵l为AB的垂直平分线，
∴OA＝OB．
∵∠ACB＝90°，
∴OA＝OB＝OC，
∴点A，B，C都在⊙O上．
又∵点P在⊙O上，
∴∠CPB＝∠A（同弧所对的圆周角相等）．
故答案为：OB，同弧所对的圆周角相等．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（5分）12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：
（1）频数分布表中，m＝ 3 ；
（2）从70≤x＜75中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率是多少？
【分析】（1）先求出九年级一班的学生为20人，各班人数相同，即可得出答案；
（2）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵九年级一班的学生为：2+0+3+7+8+0＝20（人），各班人数相同，
∴m＝20﹣（0+3+7+5+2）＝3，
故答案为：3；
（2）一班有2人，分别记为A、B；四班有3人，分别记为C、D、E；
画树状图如图：
共有20个等可能的结果，所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的结果有14个，
∴所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法以及频数分布表；正确画出树状图是解题的关键．
21．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠ODA，求得∠CAD＝∠ODA，得到OD∥AE，根据平行线的性质得到DE⊥OD，根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
（2）连接OC，CD，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠CDA＝60°，求得△AOC是等边三角形，推出四边形ACDO是菱形，得到CD＝AC＝2，∠CDE＝30°，根据直角三角形的性质得到CE＝1．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵D是的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，CD，
∵∠CDA＝30°，
∴∠AOC＝2∠CDA＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴由（1）可得，四边形ACDO是菱形，
∴CD＝AC＝2，∠CDE＝30°，
∴CE＝1．
【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质及判定定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝﹣x﹣1交于点A（﹣1，0），B（m，﹣3），点P是线段AB上的动点．
（1）①m＝ 2 ；
②求抛物线的解析式．
（2）过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线y＝ax2+bx﹣3于点Q，求线段PQ的长最大时，点P的坐标．
【分析】（1）①将点B（m，﹣3）代入直线y＝﹣x﹣1，即可得m的值；②由①知点B（2，﹣3），根据点A（﹣1，0），B（2，﹣3）在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，即可求出抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为x，其中﹣1≤x≤2，可得点P（x，﹣x﹣1），点Q（x，x2﹣2x﹣3），得PQ＝﹣x2+x+2，进而可得点P的坐标．
【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝﹣x﹣1交于点A（﹣1，0），B（m，﹣3），
∴将点B（m，﹣3）代入直线y＝﹣x﹣1，得﹣m﹣1＝﹣3，
解得m＝2，
故答案为：2；
②由①知：B（2，﹣3），
∵点A（﹣1，0），B（2，﹣3）在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点P的横坐标为x，其中﹣1≤x≤2，
∴点P（x，﹣x﹣1），点Q（x，x2﹣2x﹣3），
∴PQ＝﹣x2+x+2，
∴当x＝时，PQ最大，
此时点P的坐标为（，﹣）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解决本题的关键是综合掌握二次函数的相关知识．
四、解答题（本题共21分，每小题7分）
23．（7分）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．
（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形．
①求证：∠BDP＝∠PCB；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．
（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．
【分析】（1）①根据题意补全图形，由直角三角形的性质可得出答案；
②过点P作PF⊥BP交BC于点F，证明△BPD≌△FPC（AAS），由全等三角形的性质得出BD＝FC，由等腰直角三角形的性质可得出结论；
（2）过点P作PM⊥PB交BD于点M，证明△PMD≌△PBC（AAS），由全等三角形的性质可得出DM＝BC，则可得出结论．
【解答】解：（1）①补全图形如图1，
证明：如图1，设PD与BC的交点为点E，
根据题意可知，∠CPD＝90°，
∵BC⊥l，
∴∠DBC＝90°，
∴∠BDP+∠BED＝∠PCB+∠PEC＝90°，
∴∠BDP＝∠PCB；
②BC﹣BD＝BP．
证明：如图2，过点P作PF⊥BP交BC于点F，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴BP＝BF，∠PFB＝45°，
∴∠PBD＝∠PFC＝135°，
又∵∠BDP＝∠PCF，
∴△BPD≌△FPC（AAS），
∴BD＝FC，
在等腰直角△BPF中，BF＝BP，
∴BC﹣BD＝BP．
（2）BD﹣BC＝BP．
证明：如图3，过点P作PM⊥PB交BD于点M，
由（1）可知∠ABC＝∠PBM＝45°，
∴∠PBM＝∠PMB＝45°，
∴PB＝PM，∠PBC＝∠PCB＝135°，
同（1）可得∠PDB＝∠PCB，
∴△PMD≌△PBC（AAS），
∴DM＝BC，
∵PB＝PM，∠BPM＝90°，
∴BM＝PB，
∴BD﹣DM＝BM＝BD﹣BC＝PB．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
24．（7分）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
（1）该抛物线的对称轴为 直线x＝﹣1 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得抛物线的对称轴；
（2）抛物线的顶点在x轴上，可得顶点坐标为（﹣1，0），进而可得a的值；
（3）根据点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），进而可得m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．
∴对称轴为直线x＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴顶点坐标为（﹣1，0），
解得a＝﹣1或a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x﹣1或y＝x2+x+；
（3）∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴点N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N′（﹣4，y2），
①当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；
②当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．
【点评】本题考查的待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等．
25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在⊙O上，其他部分不在⊙O外，点A，B的对应点分别为点A'，B'，线段AA'长度的最大值称为线段AB到⊙O的“极大距离”，记为d（AB，⊙O）．
（1）若点A（﹣4，0）．
①当点B为（﹣3，0），如图所示，平移线段AB，在点P1（﹣2，0），P2（﹣1，0），P3（1，0），P4（2，0）中，连接点A与点 P3 的线段的长度就是d（AB，⊙O）；
②当点B为（﹣4，1），求线段AB到⊙O的“极大距离”所对应的点A'的坐标．
（2）若点A（﹣4，4），d（AB，⊙O）的取值范围是 4+1≤d（AB，⊙O）≤4+2 ．
【分析】（1）①根据线段AB到⊙O的“极大距离”的定义判断即可．
②如图1中，设A′B′交x轴于M，连接OA′．解直角三角形求出OM，可得结论．
（2）如图2中，由题意，点B的运动轨迹是以A为圆心，1为半径的⊙A．求出d（AB，⊙O）的最大值与最小值可得结论．
【解答】解：（1）①根据线段AB到⊙O的“极大距离”的定义可知：
连接点A与点P3的线段的长度就是d（AB，⊙O），
故答案为：P3．
②如图1中，设A′B′交x轴于M，连接OA′．
∵OM⊥A′B′，
∴A′M＝B′M＝，
∴OM＝＝＝，
∴A′（，﹣）．
（2）如图2中，由题意，点B的运动轨迹是以A为圆心，1为半径的⊙A．
当线段BA平移到B′A′时，d（AB，⊙O）的值最大，最大值＝4+2，
当线段AB平移到A′B′时，d（AB，⊙O）的值最小，最小值＝4+1，
∴4+1≤d（AB，⊙O）≤4+2．
故答案为：4+1≤d（AB，⊙O）≤4+2．
【点评】本题属于圆综合题，考查了线段AB到⊙O的“极大距离”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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日期：2021/12/1 23:27:46；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111成绩x
人数
班级
70≤x＜75
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
一班
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二班
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70≤x＜75
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
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95≤x≤100
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