河北省廊坊市2021年中考数学核心考点题集合含答案解析

这是一份河北省廊坊市2021年中考数学核心考点题集合含答案解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1、计算 a3?（ ﹣a）的结果是（）
A．a2B．﹣ a2C． a4D．﹣ a4
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．
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【解答】解： a （? ﹣ a）＝﹣ a ?a＝﹣ a ．故选： D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
2、如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）
A．B．
C．D．
【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可．
【解答】解：几何体的主视图为：
故选： C．
【点评】此题考查了简单组合体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图．
3、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点 O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点 C是的中点，且CD
＝ 10m，则这段弯路所在圆的半径为（）
A．25mB．24mC． 30mD． 60m
【分析】根据题意，可以推出AD＝ BD＝ 20，若设半径为r ，则 OD＝r ﹣10，OB＝ r ，结合勾股定理可推出半径r
的值．
【解答】解：∵ OC⊥AB，
∴AD＝ DB＝20m，
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在 Rt △AOD中， OA＝OD+AD，
2
设半径为 r 得： r
解得： r ＝ 25m，
＝（ r ﹣ 10）
2+202，
∴这段弯路的半径为25m
故选： A．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r 后，用 r 表示出 OD、OB的长度．
4、一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：几何体的俯视图是：
故选： C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的正面看得到的视图．
5、下列四个图案中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解： A．此图案是中心对称图形，符合题意； B．此图案不是中心对称图形，不合题意； C．此图案不是中心对称图形，不合题意； D．此图案不是中心对称图形，不合题意；
故选： A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．
6、实数 2019 的相反数是（）
A．2019B．﹣ 2019C．D．
【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．
【解答】解：实数2019 的相反数是：﹣ 2009． 故选： B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
7、下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容
则回答正确的是（）
A．◎代表∠ FECB． @代表同位角
C．▲代表∠ EFCD．※代表 AB
【分析】根据图形可知※代表CD，即可判断D；根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC，即可判断A；利用等量代换得出▲代表∠EFC，即可判断C；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．
【解答】证明：延长BE交 CD于点 F，
则∠ BEC＝∠ EFC+∠ C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠ BEC＝∠ B+∠C，得∠ B＝∠ EFC．
故 AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故选： C．
8、2019 年“五一” 假日期间， 我省银联网络交易总金额接近161 亿元， 其中 161 亿用科学记数法表示为（）
A．1.61 × 109B．1.61 × 1010C． 1.61 ×1011D． 1.61 ×1012
n
【分析】科学记数法的表示形式为a× 10 的形式，其中1≤| a| ＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变
10
成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10 时， n 是正数；当原数的绝对值小于1 时， n 是负数．
【解答】解：根据题意161 亿用科学记数法表示为1.61 ×10．
故选： B．
n
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a× 10
表示时关键要正确确定a 的值以及 n 的值．
B．
D．
9、根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）
A．
的形式， 其中 1≤ | a| ＜ 10，n 为整数，
C．
【分析】根据三角形外心的定义， 三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图格选项进行判断．
【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选： C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外心． 10、平面内，⊙ O的半径为 1，点 P 到 O的距离为 2，过点 P可作⊙ O的切线条数为（）
A．0 条B．1 条C． 2 条D．无数条
【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为 1，点 P 到圆心 O的距离为 2，
∴d＞ r ，
∴点 P与⊙ O的位置关系是： P在⊙ O外，
∵过圆外一点可以作圆的2 条切线， 故选： C．
【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1 个公共点的直线，理解定义是关键．
二、填空题
1、如图，在 ?ABCD中， E、F 是对角线 AC上两点， AE＝ EF＝CD，∠ ADF＝ 90°，∠ BCD＝63°，则∠ ADE的大小为
21°．
【分析】设∠ ADE＝ x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ ADE＝x，DE＝AF＝ AE＝ EF，得出 DE
＝CD，证出∠ DCE＝∠ DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠ BCD﹣∠ BCA＝ 63°﹣ x，得出方程，解方程即可．
【解答】解：设∠ADE＝ x，
∵AE＝ EF，∠ ADF＝ 90°，
∴∠ DAE＝∠ ADE＝ x，DE＝AF＝AE＝EF，
∵AE＝ EF＝CD，
∴DE＝ CD，
∴∠ DCE＝∠ DEC＝ 2x，
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD∥ BC，
∴∠ DAE＝∠ BCA＝ x，
∴∠ DCE＝∠ BCD﹣∠ BCA＝63°﹣ x，
∴2x＝ 63°﹣ x， 解得： x＝ 21°， 即∠ ADE＝ 21°；故答案为： 21°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系得出方程是解题的关键．
2、如图， AB与 CD相交于点 O， AB＝CD，∠ AOC＝ 60°，∠ ACD+∠ABD＝210°，则线段AB， AC， BD之间的等量关
＝
系式为AB2AC2+BD2．
【分析】过点A 作 AE∥CD，截取 AE＝CD，连接 BE、DE，则四边形ACDE是平行四边形，得出DE＝AC，∠ ACD
＝∠ AED，证明△ ABE为等边三角形得出BE＝AB，求得∠ BDE＝360°﹣（∠ AED+∠ABD）﹣∠ EAB＝ 90°，由勾
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股定理得出 BE＝DE+BD，即可得出结果．
【解答】解：过点A作 AE∥ CD，截取 AE＝ CD，连接 BE、DE，如图所示：则四边形 ACDE是平行四边形，
∴DE＝ AC，∠ ACD＝∠ AED，
∵∠ AOC＝ 60°， AB＝CD，
∴∠ EAB＝ 60°， CD＝AE＝AB，
∴△ ABE为等边三角形，
∴BE＝ AB，
∵∠ ACD+∠ABD＝210°，
∴∠ AED+∠ABD＝210°，
∴∠ BDE＝ 360°﹣（∠ AED+∠ABD）﹣∠ EAB＝ 360°﹣ 210°﹣ 60°＝ 90°，
222
∴BE＝DE+BD，
222
∴AB＝AC+BD；
222
故答案为： AB＝AC+BD．
【点评】本题考查了勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、四边形内角和等知识，熟练掌握平行四边形的性质、通过作辅助线构建等边三角形与直角三角形是解题的关键．
3、把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图 3 所示的正方
形，则图 1 中菱形的面积为12．
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥ BD，设 OA＝ x，OB＝y，由题意得：，解得：，
得出 AC＝ 2OA＝6， BD＝ 2OB＝ 4，即可得出菱形的面积．
【解答】解：如图1 所示：
∵四边形 ABCD是菱形，
∴OA＝ OC，OB＝OD，AC⊥BD，设 OA＝x， OB＝y，
由题意得：，
解得：，
∴AC＝ 2OA＝ 6，BD＝2OB＝4，
∴菱形 ABCD的面积＝AC×BD＝×6× 4＝ 12；故答案为： 12．
【点评】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．
4、把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图 3 所示的正方
形，则图 1 中菱形的面积为12．
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥ BD，设 OA＝ x，OB＝y，由题意得：，解得：，
得出 AC＝ 2OA＝6， BD＝ 2OB＝ 4，即可得出菱形的面积．
【解答】解：如图1 所示：
∵四边形 ABCD是菱形，
∴OA＝ OC，OB＝OD，AC⊥BD，设 OA＝x， OB＝y，
由题意得：，
解得：，
∴AC＝ 2OA＝ 6，BD＝2OB＝4，
∴菱形 ABCD的面积＝AC×BD＝×6× 4＝ 12；故答案为： 12．
【点评】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．
5、分式的值为 0，则 x 的值是1．
【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣ 1＝ 0 且 x≠ 0，易得 x＝1．
【解答】解：∵分式的值为 0，
∴x﹣ 1＝ 0 且 x≠0，
∴x＝ 1． 故答案为 1．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零． 三、解答题 ( 难度：中等 )
1、在 Rt△ ABC中，∠ ABC＝ 90°，∠ ACB＝ 30°，将△ ABC绕点 A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点 A、B 的对应点分别是D、E．
当点 E恰好在 AC上时，如图 1，求∠ ADE的大小；
若α＝ 60°时，点 F 是边 AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．
【分析】（1）如图 1，利用旋转的性质得CA＝ CD，∠ ECD＝∠ BCA＝30°，∠ DEC＝∠ ABC＝ 90°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD，从而利用互余和计算出∠ADE的度数；
（2）如图 2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝AC，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到AB
＝AC，则 BF＝ AB，再根据旋转的性质得到∠BCE＝∠ ACD＝60°， CB＝ CE，DE＝AB，从而得到DE＝ BF，△ ACD
和△ BCE为等边三角形，接着证明△CFD≌△ ABC得到 DF＝BC，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．
【解答】（ 1）解：如图1，∵△ ABC绕点 A 顺时针旋转α得到△DEC，点 E 恰好在 AC上，
∴CA＝ CD，∠ ECD＝∠ BCA＝ 30°，∠ DEC＝∠ ABC＝90°，
∵CA＝ CD，
∴∠ CAD＝∠ CDA＝（ 180°﹣ 30°）＝ 75°，
∴∠ ADE＝ 90°﹣ 75°＝ 15°；
（2）证明：如图2，
∵点 F 是边 AC中点，
∴BF＝AC，
∵∠ ACB＝ 30°，
∴AB＝AC，
∴BF＝ AB，
∵△ ABC绕点 A顺时针旋转60 得到△ DEC，
∴∠ BCE＝∠ ACD＝ 60°， CB＝CE，DE＝AB，
∴DE＝ BF，△ ACD和△ BCE为等边三角形，
∴BE＝ CB，
∵点 F 为△ ACD的边 AC的中点，
∴DF⊥ AC，
易证得△ CFD≌△ ABC，
∴DF＝ BC，
∴DF＝ BE， 而 BF＝DE，
∴四边形 BEDF是平行四边形．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．
2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ ax2+bx﹣与 y 轴交于点 A，将点 A向右平移 2 个单位长度，得到点B，
点 B 在抛物线上．
求点 B的坐标（用含a 的式子表示） ；
求抛物线的对称轴；
已知点 P（，﹣），Q（ 2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点， 结合函数图象， 求 a 的取值范围．
【分析】（ 1） A（0，﹣）向右平移2 个单位长度，得到点B（ 2，﹣）；
A与 B关于对称轴x＝ 1 对称；
① a＞0 时，当 x＝ 2 时， y＝﹣＜ 2，当 y＝﹣时， x＝0 或 x＝ 2，所以函数与AB无交点；
2
②a＜ 0 时，当 y＝ 2 时， ax ﹣2ax﹣＝2，x＝或 x＝当≤ 2 时， a≤﹣；
【解答】解：（ 1） A（0，﹣）
点 A向右平移 2 个单位长度，得到点B（ 2，﹣）；
A与 B关于对称轴x＝ 1 对称，
∴抛物线对称轴x＝ 1；
∵对称轴x＝ 1，
∴b﹣ 2a，
2
∴y＝ ax ﹣ 2ax﹣，
①a＞ 0 时，
当 x＝ 2 时， y＝﹣＜ 2， 当 y＝﹣时， x＝0 或 x＝2，
∴函数与 AB无交点；
②a＜ 0 时，
2
当 y＝ 2 时， ax ﹣ 2ax﹣＝ 2，
x＝或 x＝
当≤ 2 时， a≤﹣；
∴当 a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．
3、在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、 材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，
3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3， 4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．
2
请用列表或画树状图的方法表示出所有（m， n）可能的结果；
2
若 m，n 都是方程 x
﹣5x+6＝ 0 的解时，则小明获胜；若m，n 都不是方程 x
﹣5x+6＝ 0 的解时，则小利获
胜，问他们两人谁获胜的概率大？
【分析】（ 1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
（2）画树状图展示所有6 种等可能的结果数， 再找出数字之积能被2 整除的结果数， 然后根据概率公式求解．
【解答】解：（ 1）树状图如图所示：
2
（2）∵ m，n 都是方程 x ﹣5x+6＝0 的解，
∴m＝ 2， n＝ 3，或 m＝ 3， n＝2，
2
由树状图得：共有12 个等可能的结果，m，n 都是方程 x ﹣ 5x+6＝ 0 的解的结果有2 个，
2
m，n 都不是方程 x ﹣5x+6＝ 0 的解的结果有2 个，
小明获胜的概率为＝，小利获胜的概率为＝，
∴小明、小利获胜的概率一样大．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方差的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
4、解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集．
【分析】分别解两个不等式得到x＜3 和 x≥﹣ 2，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．然后利用数轴表示其解集．
【解答】解：
解①得 x＜ 3， 解②得 x≥﹣ 2，
所以不等式组的解集为﹣2≤ x＜ 3．
用数轴表示为：
【点评】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
5、在甲乙两个不透明的口袋中， 分别有大小、 材质完全相同的小球， 其中甲口袋中的小球上分别标有数字 1，2，
3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字 2，3， 4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为 m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为 n．
请用列表或画树状图的方法表示出所有（ m， n）可能的结果；
2
若 m，n 都是方程 x
﹣5x+6＝ 0 的解时，则小明获胜；若m，n 都不是方程 x2
﹣5x+6＝ 0 的解时，则小利获
胜，问他们两人谁获胜的概率大？
【分析】（ 1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
（2）画树状图展示所有6 种等可能的结果数， 再找出数字之积能被2 整除的结果数， 然后根据概率公式求解．
【解答】解：（ 1）树状图如图所示：
﹣
（2）∵ m，n 都是方程 x25x+6＝0 的解，
∴m＝ 2， n＝ 3，或 m＝ 3， n＝2，
2
由树状图得：共有12 个等可能的结果，m，n 都是方程 x ﹣ 5x+6＝ 0 的解的结果有2 个，
2
m，n 都不是方程 x ﹣5x+6＝ 0 的解的结果有2 个，
小明获胜的概率为＝，小利获胜的概率为＝，
∴小明、小利获胜的概率一样大．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方差的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
6、在平面直角坐标系xOy中，直线 l ： y＝kx+1（ k≠0）与直线 x＝ k，直线 y＝﹣ k 分别交于点A，B，直线 x＝ k
与直线 y＝﹣ k 交于点 C．
求直线 l 与 y 轴的交点坐标；
横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB， BC， CA围成的区域（不含边界）为W．
①当 k＝ 2 时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；
②若区域 W内没有整点，直接写出k 的取值范围．
【分析】（ 1）令 x＝ 0， y＝1，直线 l与 y 轴的交点坐标（ 0，1）；
（2）①当 k＝ 2 时， A（2， 5）， B（﹣，﹣ 2）， C（2，﹣ 2），在 W区域内有 6 个整数点；②当x＝ k+1 时， y
2
＝﹣ k+1，则有 k +2k＝ 0，k＝﹣ 2，当 0＞ k≥﹣ 1 时， W内没有整数点；
【解答】解：（ 1）令 x＝ 0， y＝ 1，
∴直线 l与 y 轴的交点坐标（ 0， 1）；
（2）由题意， A（ k，k2+1）， B（，﹣ k），C（k，﹣ k），
①当 k＝ 2 时， A（ 2，5），B（﹣，﹣ 2），C（ 2，﹣ 2），
在 W区域内有 6 个整数点：（ 0， 0），（ 0，﹣ 1），（1， 0），（ 1，﹣ 1），（ 1， 1），（ 1， 2）；
②直线 AB的解析式为y＝ kx+1，
2
当 x＝ k+1 时， y＝﹣ k+1，则有 k +2k＝0，
∴k＝﹣ 2，
当 0＞ k≥﹣ 1 时， W内没有整数点，
∴当 0＞ k≥﹣ 1 或 k＝﹣ 2 时 W内没有整数点；
【点评】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k 变化分析 W区域内整数点的情况是解题的关键．
7、如图， △ ABC和△ ADE中， AB＝ AD＝ 6，BC＝ DE，∠ B＝∠ D＝ 30°，边 AD与边 BC交于点 P（不与点 B，C 重合），点 B， E在 AD异侧， I 为△ APC的内心．
求证：∠ BAD＝∠ CAE；
设 AP＝ x，请用含 x 的式子表示PD，并求 PD的最大值；
（ 3 ） 当AB⊥ AC 时 ， ∠ AIC的 取 值 范 围 为m° ＜ ∠ AIC ＜ n ° ， 分 别 直 接 写 出m， n的
值．
【分析】（ 1）由条件易证△ABC≌△ ADE，得∠ BAC＝∠ DAE，∴∠ BAD＝∠ CAE．
PD＝ AD﹣ AP＝ 6﹣ x，∵点 P在线段 BC上且不与 B、C重合，∴ AP的最小值即 AP⊥ BC时 AP的长度，此时 PD可得最大值．
（3） I 为△ APC的内心，即I 为△ APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即可表示出∠ AIC，从而得到m，n 的值．
【解答】解：（ 1）在△ ABC和△ ADE中，（如图 1）
∴△ ABC≌△ ADE（ SAS）
∴∠ BAC＝∠ DAE
即∠ BAD+∠DAC＝∠ DAC+∠CAE
∴∠ BAD＝∠ CAE．
（2）∵ AD＝ 6，AP＝x，
∴PD＝ 6﹣ x
当 AD⊥BC时， AP＝AB＝ 3 最小，即 PD＝6﹣ 3＝ 3 为 PD的最大值．
如图 2，设∠ BAP＝α，则∠ APC＝α +30°，
∵AB⊥ AC
∴∠ BAC＝ 90°，∠ PCA＝60°，∠ PAC＝90°﹣α，
∵I 为△ APC的内心
∴AI、CI 分别平分∠ PAC，∠ PCA，
∴∠ IAC＝∠PAC，∠ ICA＝∠PCA
∴∠ AIC＝ 180°﹣（∠ IAC+∠ICA）
＝180°﹣（∠ PAC+∠ PCA）
＝180°﹣（90°﹣α +60°）
＝α +105°
∵0＜α＜ 90°，
∴105°＜α+105°＜ 150°，即 105°＜∠ AIC＜ 150°，
∴m＝ 105，n＝ 150．
【点评】本题是一道几何综合题，考查了点到直线的距离垂线段最短，30°的角所对的直角边等于斜边的一半， 全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题关键是将PD最大值转化为PA的最小值．
8、解方程组：．
【分析】运用加减消元解答即可．
【解答】解：，
②﹣①得， 4y＝2，解得 y＝ 2，
把 y＝ 2 代入①得， x﹣ 2＝1，解得 x＝3，
故原方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．