高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数导学案

第七讲 幂函数

一、知识点睛

1、幂函数图形和性质

2、二次函数的复杂应用

二、考点梳理

重难点一  幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

三、重难点题型突破

重难点1 求幂函数的解析式

幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：

(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.

例1．已知幂函数的图象过点，则的值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设幂函数的表达式为，则，解得，

所以，则.故答案为B.

【点睛】本题考查了幂函数，以及对数的运算，属于基础题．

例2.幂函数在上为增函数，则实数的值为（    ）

A．0 B．1 C．1或2 D．2

【答案】D

【解析】

由题意为幂函数，所以，解得或.

因为在上为增函数，所以，即，所以.

故选D.

例3.若函数是幂函数且在是递减的，则（    ）

A．-1 B．2 C．-1或2 D．3

【答案】A

【解析】

函数是幂函数且在是递减的，

则，解得．

故选：A．

【变式训练1】.幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)是(　　)

A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

【答案】D　

【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，将(3，)代入解析式得3α＝，解得α＝，∴y＝x，其是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．故选D．

【变式训练2】.已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)<x，则α的取值范围是(　　)

A．(0，1) B．(－∞，1)

C．(0，＋∞) D．(－∞，0)

【答案】B　

【解析】当x>1时，恒有f(x)<x，即当x>1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象，由图象可知(图略)α<1时满足题意．故选B

重难点2 幂函数的图像及其性质的应用

(二) 幂函数的图像及其性质的应用

1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．

②幂函数的指数与图象特征的关系

当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：

2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：

结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.

例4.幂函数y＝x (m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)

A．－1   B．0

C．1  D．2

【答案】C　

【解析】从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．

例5．有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是，且；（3）在上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（    ）

A．① B．②

C．③ D．④

【答案】B

【解析】①只满足值域是，且；

③只满足在上是增函数；④只满足在上是增函数；

②是偶函数，在上是增函数，但其值域是.故选：B.

【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性、值域和奇偶性，考查分析与推理的能力，属于基础题.

【变式训练1】．已知点在幂函数的图象上，设

，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由已知得：，解得：，所以，因为，，，

又，所以

由在上递增，可得：，所以.

【点睛】本题在比较、、三个数的大小时，引入中间变量1，这是比较大小的常用方法.

重难点3 复合函数

例6．已知函数f(x)＝a＋bx(b＞0，b≠1)的图像过点(1,4)和点(2,16)．

(1)求f(x)的表达式．

(2)解不等式

(3)当x∈(－3,4]时，求函数g(x)＝log2f(x)＋x2－6的值域．

【答案】（1）f(x)＝4x.（2）(－1,3)．(3)[－7,18]．

【解析】解：(1)由题知所以或 (舍去)．

所以f(x)＝4x.

(2)因为4x＞3－x2，所以22x＞2x2－3.所以2x＞x2－3.

所以x2－2x－3＜0.所以－1＜x＜3.所以不等式的解集为(－1,3)．

(3)g(x)＝log24x＋x2－6＝log222x＋x2－6＝2x＋x2－6＝(x＋1)2－7.

因为－1∈(－3,4]，所以g(x)min＝－7，

当x＝4时，g(x)max＝18.

所以值域为[－7,18]．

例7．已知函数f(x)=x2−x＋k，且log2f(a)=2，f(log2a)=k，a＞0，且a≠1.

（1）求a，k的值；

（2）当x为何值时，f(logax)有最小值？求出该最小值．

【答案】（1）；（2）时，f(logax)有最小值.

【解析】（1）因为，

所以，

又a＞0，且a≠1，

所以.

（2）f(logax)=f(log2x)=(log2x)2−log2x＋2=(log2x−)2＋.

所以当log2x=，即时，f(logax)有最小值.

【变式训练1】．若函数满足.

（1）求的值及的解析式；

（2）试判断是否存在正数，使函数在区间 上的取值范围为区间 ?若存在，求出正数的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）或，；（2）存在.

【解析】

(1)∵，∴．

故，解得.

又∵，∴或.

当或时，，∴.

(2) 存在，求解如下：

假设存在满足题设，由(1)知，

，

∵，∴两个最值点只能在和处取得，

，，

而，

∴，即，此时，

故符合题意．

四、课后作业

1．若幕函数的图像经过点，则该函数的图像（    ）

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称

【答案】B

【解析】设，依题意可得，解得，

所以，因为，

所以为偶函数，其图象关于轴对称.故选：B.

2．幂函数图象过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，因为幂函数图象过点，

所以有，解得，所以，

因为，所以.故选：A

3．幂函数的图象经过点，则是（    ）

A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数

C．奇函数，且在上是减函数 D．非奇非偶函数，且在上是增函数

【答案】D

【解析】设幂函数，因为图象经过点，所以，.

故，因为，所以为非奇非偶函数，且在上是增函数.故选：D

4．已知函数是幂函数且是上的增函数，则的值为(　　)

A．2 B．－1 C．－1或2 D．0

【答案】B

【解析】

由题意得，

故选：B.

5．满足的实数m的取值范围是（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

幂函数在为减函数，且函数值为正，

在为减函数，且函数值为负，

等价于，

或或，

解得或或，

所以不等式的解集为.

故选：D.

6．若幂函数的图像过点，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

设幂函数的解析式为，

∵幂函数的图象过点，∴，

∴，∴，∴的定义域为，且单调递增，

∵等价于，解得，

∴的解集为.

故选：D.

7．幂函数的单调增区间为______.

【答案】

【解析】

因为幂函数在是减函数，又因为函数是偶函数，所以函数在是增函数.

故答案为：

8．函数在区间上的值域为__________．

【答案】

【解析】

因为幂函数在区间上为减函数，

所以当时，函数取得最大值，又当时，，

所以函数在区间上的值域为.

故答案为：.

9．幂函数的图像经过点，则_______.

【答案】

【解析】

设幂函数，

图像经过点，

，，

，

.

故答案为：3

10．函数既是幂函数又是二次函数，则_________；函数既是幂函数又是反比例函数，则_________．

【答案】       

【解析】

因为是幂函数，所以设（为常数），

又因为又是二次函数，所以，即

因为是幂函数，所以设（为常数），

又因为又是反比例函数，所以，即

故答案为：；

11．已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出其定义域.

【答案】或，.

【解析】

为函数，，解得或.

当时，，则，且有；

当时，，则，且有.

故所求幂函数的解析式为或，它们的定义域都是.