上海市松江区2020届高三第一次模拟（期末）考试数学试卷

这是一份上海市松江区2020届高三第一次模拟（期末）考试数学试卷，共7页。试卷主要包含了12， 已知集合，，则， 若角的终边过点，则， 设，则， 的展开式中的系数为， 已知向量，，若向量∥，则实数等内容，欢迎下载使用。
上海市松江区2020届高三一模数学试卷2019.12 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合，，则        2. 若角的终边过点，则        3. 设，则        4. 的展开式中的系数为        5. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点满足，则        6. 若关于、的二元一次方程组无解，则实数        7. 已知向量，，若向量∥，则实数        8. 已知函数存在反函数，若函数的图像经过点，则函数的图像必经过点        9. 在无穷等比数列中，若，则的取值范围是        10. 函数的大致图像如图，若函数图像经过和两点，且和是其两条渐近线，则        11. 若实数，满足，，则实数的最小值为        12. 记边长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，集合，在中任取两个元素、，则的概率为         二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知是平面的一条斜线，直线 ，则（    ）A. 存在唯一的一条直线，使得        B. 存在无限多条直线，使得C. 存在唯一的一条直线，使得∥        D. 存在无限多条直线，使得∥14. 设，则“”是“、中至少有一个数大于1”的（    ）A. 充分非必要条件                 B. 必要非充分条件C. 充要条件                       D. 既非充分又非必要条件15. 已知，若对任意的恒成立，则（    ）A. 的最小值为1                 B. 的最小值为2C. 的最小值为4                 D. 的最小值为816. 已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则（    ）A. 45            B. 1012            C. 2036            D. 9217 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，圆锥的底面半径，高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点.（1）求圆锥的侧面积和体积；（2）求异面直线与所成角的大小. （结果用反三角函数表示）       18. 已知函数.（1）求的最大值；（2）在△中，内角、、所对的边分别为、、，若，、、成等差数列，且，求边的长.        19. 汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、，当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数随地面湿滑成都等路面情况而变化，）.阶段0、准备1、人的反应2、系统反应3、制动时间秒秒距离米米（1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到0.1秒）；（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？              20. 设抛物线的焦点为，经过轴正半轴上点的直线交于不同的两点和.（1）若，求点的坐标；（2）若，求证：原点总在以线段为直径的圆的内部；（3）若，且直线∥，与有且只有一个公共点，问：△的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由.          21. 已知数列满足：① （）；② 当（）时，；③ 当（）时，，记数列的前项和为.（1）求，，的值；（2）若，求的最小值；（3）求证：的充要条件是（）.              参考答案 一. 填空题1.        2.        3.         4.        5.         6.      7.         8.         9.         10.      11.           12.  二. 选择题13. B           14. A           15. B           16. C 三. 解答题17.（1）侧面积，体积；（2）或. 18.（1），最大值为1；（2），. 19.（1），秒；（2），时，米/秒，合72千米/小时. 20.（1）；（2），证明略；（3）最小值2，. 21.（1），或1，或1；（2）115；（3）略. 20． 解：（1）由抛物线方程知，焦点是，准线方程为，设A（x1，y1），由|FA|=3及抛物线定义知，x1=2，代入得所以A点的坐标或      ………………………4分（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程是：x＝my+2，联立，消去x得：y2﹣4my﹣8＝0，由韦达定理得，………6分，故恒为钝角，故原点总在以线段AB为直径的圆的内部．     ………………………10分（3）设A（x1，y1），则x1y1≠0，因为|FA|＝|FM|，则|m﹣1|＝x1+1，由m＞0得m＝x1+2，故M（x1+2，0）．故直线AB的斜率KAB＝．因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得．……………12分设E（xE，yE），则，        ………………………14分当且仅当，即时等号成立，由  得，解得或（舍），………………15分所以点的坐标为，      ………………………16分21． 解：（1）因，，且是自然数，；      ………………2分，，且都是自然数；或；………………3分，，且，或．……4分（2），当时，，由于，所以或，     ………………………6分                    ，            ………………………8分又，所以                          ………………………10分（3）必要性：若则：                 ①          ②
①②得：    ③      ………………………11分由于或或，且或只有当同时成立时，等式③才成立                              ………………………13分充分性：若，由于所以，即，，，…，，又所以对任意的，都有…（I）        ………………………14分另一方面，由，所以对任意的，都有…（II）          ………………………15分由于  证毕. ………18分