2022年新高考一轮复习考点精选练习37《直线与圆的位置关系》（含详解）

这是一份2022年新高考一轮复习考点精选练习37《直线与圆的位置关系》（含详解），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
若a2＋b2=2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c=0被圆x2＋y2=1所截得的弦长为( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(2)
已知点(a，b)在圆C：x2＋y2=r2(r≠0)的外部，则ax＋by=r2与C的位置关系是( )
A.相切 B.相离 C.内含 D.相交
我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（ ）
A.3步 B.6步 C.4步 D.8步
过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2=r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A.2x＋y－5=0 B.2x＋y－7=0
C.x－2y－5=0 D.x－2y－7=0
过点P(- SKIPIF 1 < 0 ,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.(0, SKIPIF 1 < 0 ] B.(0, SKIPIF 1 < 0 ] C.[0, SKIPIF 1 < 0 ] D.[0, SKIPIF 1 < 0 ]
已知圆O1的方程为x2＋y2=4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2=1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )
A.{1，－1} B.{3，－3} C.{1，－1，3，－3} D.{5，－5，3，－3}
直线l:x-y+1=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心
已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A，B，以线段AB为直径的圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D(－2，t)，则实数t的取值范围为( )
A.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
B.[－1,3]
C.(－∞，2－eq \r(7)]∪[2＋eq \r(7)，＋∞)
D.[2－eq \r(7)，2＋eq \r(7)]
已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－3=0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12=0上，则△PC1C2面积的最大值为( )
A.2eq \r(5) B.4eq \r(5) C.8eq \r(5) D.20
在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x－2)2＋y2=5上的任意一点，点Q(2a，a＋2)，其中a∈R，则线段PQ长度的最小值为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \r(5) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(6\r(5),5)
圆x2＋y2＋2x－6y＋1=0关于直线ax－by＋3=0(a＞0，b＞0)对称，则eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)最小值是( )
A.2eq \r(3) B.eq \f(20,3) C.4 D.eq \f(16,3)
已知圆O：x2＋y2=1，若A，B是圆O上的不同两点，以AB为边作等边△ABC，
则|OC|的最大值是( )
A.eq \f(\r(2)＋\r(6),2) B.eq \r(3) C.2 D.eq \r(3)＋1
二、填空题
已知圆M与直线x－y=0及x－y＋4=0都相切，且圆心在直线y=－x＋2上，则圆M的标准方程为________________.
过点P(3,2)作圆O：x2＋y2=4的切线，则切线的方程为________.
圆x2+y2+2y-3=0被直线x+y-k=0分成两段圆弧,且较短弧长与较长弧长之比为1：3,则k= .
已知直线l：x＋my－3=0与圆C：x2＋y2=4相切，则m=________.
过点P(－1，1)作圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2=1(t∈R)的切线，切点分别为A，B，
则eq \(PA,\s\up10(→))·eq \(PB,\s\up10(→))的最小值为________.
在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2=50上.若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))≤20，则点P的横坐标的取值范围是 .
\s 0 答案解析
答案为：D；
解析：因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c=0的距离d=eq \f(|c|,\r(a2＋b2))=eq \f(|c|,\r(2)|c|)=eq \f(\r(2),2)，
因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)=eq \f(\r(2),2)，
所以弦长为eq \r(2).
答案为：D.
解析：由已知a2＋b2>r2，且圆心到直线ax＋by=r2的距离为d=eq \f(r2,\r(a2＋b2))，
则d B；
解析：由于该直角三角形的两直角边长分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 (等积法)，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故其直径为 SKIPIF 1 < 0 (步).
答案为：B.
解析：由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r2=5，圆的方程为(x－1)2＋y2=5，
则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)=5，即2x＋y－7=0.故选B.
答案为：D；
答案为：C；
解析：因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|=1，
外切时，|a|=3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}.
答案为：D;
答案为：D.
解析：由题意可得直线AB的方程为x=y＋1，与y2=4x联立消去x，可得y2－4y－4=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2=4，y1y2=－4，
设E(xE，yE)，则yE=eq \f(y1＋y2,2)=2，xE=yE＋1=3，又|AB|=x1＋x2＋2=y1＋1＋y2＋1＋2=8，
所以圆E是以(3,2)为圆心，4为半径的圆，所以点D恒在圆E外.
圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D(－2，t)即圆E上存在点P，Q，
使得DP⊥DQ，设过D点的两直线分别切圆E于P′，Q′点，要满足题意，
则∠P′DQ′≥eq \f(π,2)，所以eq \f(|EP′|,|DE|)=eq \f(4,\r(3＋22＋2－t2))≥eq \f(\r(2),2)，
整理得t2－4t－3≤0，解得2－eq \r(7)≤t≤2＋eq \r(7)，
故实数t的取值范围为[2－eq \r(7)，2＋eq \r(7)]，故选D.
答案为：B.
解析：因为C1(－2,2)，r1=eq \r(11)，C2(2,0)，r2=4，所以|C1C2|=2eq \r(5).
易知当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值Smax=eq \f(1,2)×2eq \r(5)×4=4eq \r(5).
答案为：A；
解析：显然点Q(2a，a＋2)是直线x－2y＋4=0上的点，圆心C(2，0)，半径为eq \r(5)，
圆心C到直线x－2y＋4=0的距离为d=eq \f(|2－0＋4|,\r(12＋（－2）2))=eq \f(6\r(5),5)，
所以PQ长度的最小值为eq \f(6\r(5),5)－eq \r(5)=eq \f(\r(5),5).
答案为：D；
解析：由圆x2＋y2＋2x－6y＋1=0知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2=9，
因为圆x2＋y2＋2x－6y＋1=0关于直线ax－by＋3=0(a＞0，b＞0)对称，
所以该直线经过圆心(－1，3)，即－a－3b＋3=0，所以a＋3b=3(a＞0，b＞0).
所以eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)=eq \f(1,3)(a＋3b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(3,b)))=eq \f(1,3)(1＋eq \f(3a,b)＋eq \f(3b,a)＋9)≥eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋2\r(\f(3a,b)·\f(3b,a))))=eq \f(16,3)，
当且仅当eq \f(3b,a)=eq \f(3a,b)，即a=b时取等号.故选D.
答案为：C；
解析：如图所示，连接OA，OB和OC.
∵OA=OB，AC=BC，OC=OC，∴△OAC≌△OBC，∴∠ACO=∠BCO=30°，
在△OAC中，由正弦定理得eq \f(OA,sin 30°)=eq \f(OC,sin∠OAC)，∴OC=2sin∠OAC≤2，
故|OC|的最大值为2，故选C.
答案为：x2＋(y－2)2=2.
解析：∵圆M的圆心在y=－x＋2上， ∴设圆心为(a,2－a)，
∵圆M与直线x－y=0及x－y＋4=0都相切，
∴圆心到直线x－y=0的距离等于圆心到直线x－y＋4=0的距离，
即eq \f(|2a－2|,\r(2))=eq \f(|2a＋2|,\r(2))，解得a=0，
∴圆心坐标为(0,2)，圆M的半径为eq \f(|2a－2|,\r(2))=eq \r(2)，∴圆M的标准方程为x2＋(y－2)2=2.
答案为：12x－5y－26=0或y－2=0
解析：因为|OP|=eq \r(32＋22)=eq \r(13)，所以点P(3,2)在圆外.显然，斜率不存在时，直线与圆相离，故可设切线的方程为y－2=k(x－3)，即kx－y＋2－3k=0.
又圆心为O(0,0)，半径r=2，故圆心到切线的距离d=eq \f(|－3k＋2|,\r(k2＋1))=2，
即|3k－2|=2eq \r(k2＋1)，所以k=eq \f(12,5)或k=0.故所求切线的方程为12x－5y－26=0或y－2=0.
答案为：1或-3；
答案为：±eq \f(\r(5),2).
解析：因为圆C：x2＋y2=4的圆心为(0，0)，半径为2，
直线l：x＋my－3=0与圆C：x2＋y2=4相切，所以2=eq \f(3,\r(1＋m2))，解得m=±eq \f(\r(5),2).
答案为：eq \f(21,4).
解析：圆C：(x－t)2＋(y－t＋2)2=1的圆心坐标为(t，t－2)，半径为1，
所以PC=eq \r(（t＋1）2＋（t－3）2)=eq \r(2（t－1）2＋8)≥eq \r(8)，PA=PB=eq \r(PC2－1)，
cs∠APC=eq \f(AP,PC)，所以cs∠APB=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AP,PC)))eq \s\up12(2)－1=1－eq \f(2,PC2)，
所以eq \(PA,\s\up10(→))·eq \(PB,\s\up10(→))=(PC2－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,PC2)))=－3＋PC2＋eq \f(2,PC2)≥－3＋8＋eq \f(1,4)=eq \f(21,4)，
所以eq \(PA,\s\up10(→))·eq \(PB,\s\up10(→))的最小值为eq \f(21,4).
答案为：[－5eq \r(2)，1]；
解析：解法一：设P(x，y)，则由eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))≤20可得，
(－12－x)(－x)＋(－y)(6－y)≤20，即(x＋6)2＋(y－3)2≤65，
所以P为圆(x＋6)2＋(y－3)2=65上或其内部一点.
又点P在圆x2＋y2=50上，
联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝50，,x＋62＋y－32＝65，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝7))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝－5，))
即P为圆x2＋y2=50的劣弧MN上的一点(如图)，
易知－5eq \r(2)≤x≤1.
解法二：设P(x，y)，则由eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))≤20，
可得(－12－x)(－x)＋(－y)(6－y)≤20，
即x2＋12x＋y2－6y≤20，
由于点P在圆x2＋y2=50上，
故12x－6y＋30≤0，即2x－y＋5≤0，
∴点P为圆x2＋y2=50上且满足2x－y＋5≤0的点，
即P为圆x2＋y2=50的劣弧MN上的一点(如图)，
同解法一，可得N(1,7)，M(－5，－5)，
易知－5eq \r(2)≤x≤1.