山西省太原市第五中学2022届高三上学期11月月考试题数学（理）PDF版含答案（可编辑）

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考查时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1．C 2．C 3.C 4.C 5.D 6.D 7.D 8.B 9.A 10.D 11.D 12.C

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）
13.
14．
15.
16. 25
解答题 (共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17解：(1)由题得，所以函数的最小正周期为．
，所以,
因，所以，所以，
∴，
∴，
∴，
∴或．
当；当，时．
由正弦定理得或．
18．已知，，且．
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为，，所以，
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为9．
（2）因为，，所以，所以．
因为恒成立，所以，解得，所以的取值范围为．
19. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a=2，b2+c2−bc=4.若以AB，AC为边向△ABC外分别作正△MAB，正△NAC，记△MAB，△NAC的中心分别为P，Q，求BP⋅CQ的最大值．
解：csA=b2+c2−a22bc=b2+c2−42bc=12，又0<∠BAC<π，所以∠BAC=π3，则，由正△MAB，正△NAC可得M、A、N共线，
记△MAB，△NAC的中心分别为P，Q，，
因为∠PBA+∠ABC+∠ACB+∠ACQ=π，得BP//CQ，
又|BP|=33c,|CQ|=33b，所以BP⋅CQ=33c·33b·cs0=13bc，
由b2+c2−bc=4.得bc+4=b2+c2≥2bc，所以bc≤4，当且仅当b=c=2等号成立，所以BP⋅CQ的最大值为43.
20.在①nan+1−(n+1)an=n2+n，②3Sn=(n+2)an，③Tn+1=(n+2)anTnn这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目．
设首项为2的数列an的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且____．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=(−1)nan，求数列bn的前n项和．
【答案】解：选①：因为nan+1−(n+1)an=n2+n，得an+1n+1−ann=1，所以数列ann是等差数列，首项为2，公差为1， 则ann=2+(n−1)⋅1=n+1，所以an=n(n+1)．选②：因为3Sn=(n+2)an，当n≥ 2时，3Sn−1=(n+1)an−1，则3an=(n+2)an−(n+1)an−1，即(n−1)an=(n+1)an−1， 所以anan−1=n+1n−1，所以an=n+1n−1⋅nn−2⋅⋯⋅42⋅31⋅a1=n(n+1)．当n=1时，a1=2也满足，所以an=n(n+1).
选③：因为Tn+1=(n+2)anTnn，即an+1=(n+2)ann，所以an+1n+2=ann，即an+1(n+2)(n+1)=an(n+1)n，
所以数列an(n+1)n是常数列， 所以 an(n+1)n=a12×1=1，即an=n(n+1).
(2)因为bn=(−1)nan，当n为偶数时，b1+b2+⋯+bn=−(12+1)+(22+2)−⋯+(n2+n)
=[−12+22−32+42−⋯−(n−1)2+n2]+[−1+2−3+4⋯−(n−1)+n]
=[3+7+⋯+2n−1]+n2=(3+2n−1)2⋅n2+n2=n(n+2)2．
当n为奇数时，b1+b2+⋯+bn=−(12+1)+(22+2)−⋯+[(n−1)2+(n−1)]−n2−n
=(n−1)(n+1)2−n2−n=−(n+1)22．所以b1+b2+⋯+bn=n(n+2)2,n为偶数,−(n+1)22,n为奇数.
21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
解：（1）证明：在正中，为的中点，∴，
∵平面平面，平面平面，且
∴平面
又∵平面
∴
又∵，且.
∴平面.
（2）如图，取的中点为，连接，在正中，，平面平面，
平面平面，∴平面，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨取，则有，，，，，，
∴，
设面的一个法向量为，则由，
令，则，又因为面，
取作为面的一个法向量，设二面角为,
∴，
∴，因此二面角的正弦值为.
22．设函数，g(x)=ax+a−1x−3(a∈R).
(1)求函数φ(x)=f(x)+g(x)的单调增区间；
(2)当a=1时，记ℎ(x)=f(x)⋅g(x)，是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ⩾ℎ(x)有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由. (参考数据：，
【答案】解：(1)因为，所以φ'(x)=1x+a−a−1x2=ax2+x−(a−1)x2=(ax−(a−1))(x+1)x2(x>0)，
①当a=0时，由φ'(x)>0，解得x>0；②当a>1时，由φ'(x)>0，解得x>a−1a；
③当00，解得x>0；④当a=1时，由φ'(x)>0，解得x>0；
⑤当a<0时，由φ'(x)>0，解得01时，φ(x)的增区间为；
(2)当a=1时，g(x)=x−3，所以，由ℎ(1)=0得，当λ=0时，不等式2λ⩾ℎ(x)有解，下证：当λ⩽−1时，ℎ(x)>2λ恒成立，即证恒成立，
显然当时，不等式恒成立，
只需证明当x∈(1,3)时，恒成立，即证明，
令，所以m'(x)=1x−2(x−3)2=x2−8x+9x(x−3)2，由m'(x)=0，得x=4−7，
当x∈(1,4−7)，m'(x)>0；当x∈(4−7,3)，m'(x)<0；
所以，
所以当λ⩽−1时，ℎ(x)>2λ恒成立，
综上所述，存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0.