云南省玉溪市一中2021-2022学年高二上学期期中考试数学（文）试题含答案

玉溪一中2021—2022学年上学期高二年级期中考

文科数学试卷

  总分：150分   考试时间：120分钟           命题人：飞超   审题人：张丹

一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．某试验的样本空间，事件，事件，则事件

  A．       B．     C．      D．

2．已知复数满足，其中是虚数单位，则在复平面内对应的点位于

  A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．下列函数为奇函数的是

  A． B． C． D．

4．若直线与直线平行，则两条直线之间的距离为

  A．  B． C． D．

5．已知在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是，则的长为

  A．6 B． C． D．

6．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，直线的方向向量为，已知，则的坐标可以是 

  A．  B．  C． D．

7．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为

  A． B． C． D．

8．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在内，现将这100名学生的成绩按照，，，，， ，分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是

  A．频率分布直方图中的值为0.040 

  B．样本数据低于130分的频率为0.3

  C．总体的中位数（结果保留1位小数）估计值为123.3

  D．总体分布在的频数一定与总体分布在的频数相等

9．已知函数,则方程的根的个数为  

  A．1个           B．2个          C．3个           D．4个

10．在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥的外接球的表面积为

   A．    B．   C． D．

二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，有错选得0分，部分选对得3分．

11. 为了得到曲线，只需把曲线上所有的点

  A．先向右平移个单位长度，再将所得曲线上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）

  B．先向右平移个单位长度，再将所得曲线上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）

  C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线向右平移个单位长度

  D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得曲线向右平移个单位长度

12．在空间直角坐标系中，平面的法向量，直线的方向向量为，则下列说法正确的是

  A．轴一定与平面相交           B．平面一定经过点 

  C．若，则       D．若，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知直线恒过定点，则点坐标为                  ．

14．一个袋子中有2个白球，3个黑球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到白球的概率为                  ．

15．经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角的取值范围是              ；的斜率的取值范围是               ．

16．已知对任意两个向量，都有.若将和代入，计算化简可得：；若将和代入，计算化简可得：                   ．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）已知的三个顶点是，，，求：

（1）边上的中线所在直线的一般式方程；

（2）边上的高所在直线的一般式方程．

18．（本小题满分12分）某市为了解疫情过后制造业企业的复工复产情况，随机调查了100家企业，得到这些企业4月份较3月份产值增长率的频数分布表如下：

（1）估计该市制造业企业中产值增长率不低于的企业比例及产值负增长的企业比例；

（2）求该市制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

19．（本小题满分12分）如图，正方体的棱长为，点，，分别为，，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面．

20．（本小题满分12分）垃圾分类（Garbage classification），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益．小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为，小亮每轮答对的概率为，且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．

（1）求“明亮队”在一轮活动中一题都没有答对的概率；

（2）求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率．

21．（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面平面， ，，，，点在线段上．

（1）若是的中点，求异面直线与所成角的余弦值；

（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值．

22．（本小题满分12分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．

（1）若，求护栏的长度（的周长）；

（2）若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；

（3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？

玉溪一中2021—2022学年上学期高二年级期中考

文科数学试卷

一、单项选择题： C   D    D   A   B    D    B   C    C    A    

二、多项选择题：AD      AC

三、填空题：13．     14．     15．；.  16．

四、解答题：

17．解：（1）边的中点，又∵直线过点，∴ 所求直线的斜率,方程为：，即......5分

（2）∵直线的斜率为，所以边上的高所在的直线的斜率为，又∵直线过点，∴所求直线的方程为，即......10分

18．（1）制造业企业中产值增长率不低于的企业比例为，产值负增长的企业比例，所以，估计该市制造业企业中产值增长率不低于的企业比例为，产值负增长的企业比例为......4分

（2）100家制造业企业产值增长率的平均数为，......7分

方差为

......11分，所以该市制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值分别为和......12分

19．解：法一、（1）取中点，连结，，因为，且，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，，所以四边形为平行四边形，所以，从而 ，又因为平面，平面，所以平面......6分

（2）点，分别为，的中点，在正方形中，可得，所以，设，因为，所以，即 中，，所以，即，因为，所以.又因为平面，平面，所以，，所以平面......12分

法二、（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，所以，，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面......6分

（2），，所以，因为， ，所以，，所以，，又因为，所以平面......12分

20．解：（1）设 “一轮活动中小明答对一题”，“一轮活动中小亮答对一题”，则，.设““明亮队”在一轮活动中一题都没有答对”，则，由于每轮答题中小明和小亮答对与否不影响，所以与相互独立，从而与相互独立，所以，.所以“明亮队”在一轮活动中一题都没有答对的概率为.....4分

（2）设“两轮活动中小明答对了道题”，“两轮活动中小亮答对了道题”，，1，2.由题意得，，，，......8分设““明亮队”在两轮活动中答对3道题”，则.由于和相互独立，与互斥，所以.

所以，“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率......12分

21．（1）因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB， 因为 平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB， AF平面ABEF，所以AF⊥平面ABCD， 因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系......2分

所以 ，，，，

所以 ，，所以，即异面直线BE与CP所成角的余弦值为. .....5分

（2）因为AB⊥平面ADF，所以平面ADF的法向量为......6分,设，，，因为，∴，∴，,在平面APC中，，，设平面APC的法向量（x，y，z），则，令y＝1，则， 得平面APC的法向量为 ，....10分,，所以平面与平面的夹角的余弦值为......12分

22．解：（1）∵，，，∴，∴，∴，∴，在中，由余弦定理可得，则，∴，∴，∵，∴，∴，∴护栏的长度（的周长）为；.....4分

（2）设（），因为鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，所以，即，，中，由三角形外角定理可得，在中，由，得，从而，即，

由，得，所以，即......8分

（3）设，由（2）知，，中，由外角定理可得,又在中，由，得，所以

，所以当且仅当，

即时，的面积取最小值为......12分