河南省豫南重点高中2021-2022学年高二上学期精英对抗赛理科数学试题含答案

豫南重点高中2021-2022学年高二上学期精英对抗赛

理科数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上；

2.答选择题时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效；

3.答主观题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效；

4.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（    ）

A．若，则                B．若，，则

C．若，则           D．若，则

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为. 若，，，则角（　　）

A．            B．            C．或            D．或

3．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（    ）

A．             B．            C．            D．58

4．已知△ABC中，角所对的边分别为，若△ABC的面积为，，则的值为（    ）

A．              B．             C．             D．

5．在△ABC中，，，边上的中线的长度为，则△ABC的面积为（    ）

A．            B．           C．             D．

6．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)（    ）

A．300米           B．299米         C．199米          D．166米

7．在△ABC中，，则△ABC是（    ）

A．等腰三角形         B．直角三角形   C．等腰或直角三角形       D．等边三角形

8．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是

A．             B．

C．          D．

9．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为（    ）

A．           B．           C．           D．

10．已知，，且，则的最小值为（    ）

A．            B．            C．4            D．6

11．已知数列的前n项和为，且，若，则数列的最大值为（    ）

A．第5项         B．第6项         C．第7项         D．第8项

12.数列满足，，. 设，记表示不超过的最大整数．设，若不等式，对恒成立，则实数的最大值为（    ）

A．         B．         C．         D．

二、填空题

13．现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是________．（用数字作答）

14．已知，的取值如下表所示：

若与线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数的值为____________.

15．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．

16．裴波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多•裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是_______

三、解答题（本题共6小题，共计70分，其中第17小题10分，其余每小题12分。解

答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知直线的方程为.

（1）求过点且与直线平行的直线的程；

（2）求直线与的交点，并求这个点到直线的距离.

18. 在中，内角的对边分别是，已知，.

（1）若，求角的大小；

（2）若，求边及面积.

19. 已知等差数列中，，，且，，成等比数列

（1）求的通项公式；

（2）已知，前n项和为，若，求n的最大值.

20. 如图所示，在直三棱柱中，，，，

．

（1）证明：平面；

（2）若是棱的中点，在棱上是否存在一点，使∥平面？

 证明你的结论．

21. 已知坐标平面上两个定点，，动点满足：．

（1）求点轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）记(1)中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，

求直线的方程．

22．已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左、右顶点

构成等腰直角三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的

斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．

理科参考答案

1．A

【分析】

利用基本不等式可推出A正确；利用不等式的性质可推出B不正确；作差后，可知当时，C不正确；当时，D不正确.

【详解】

对于A，因为，所以，，所以，故A正确；

对于B，若，则，又，所以，故B不正确；

对于C，因为，，

所以当时，，此时，故C不正确；

对于D，当时，不成立，故D不正确.

故选：A

2．D

【分析】

由正弦定理即可求解．

【详解】

在中，由正弦定理可得，

所以，

因为，所以，

因为，所以或，

故选：D.

3．A

【分析】

由已知得和，可求出，利用等差数列的通项公式得到.

【详解】

设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，

因为，，依次成等比数列，，

所以有，即，整理得，

因为，所以，，

因此，

故选：A.

4．D

【分析】

利用三角形的面积公式整理得出，利用二倍角的正弦和余弦公式化简得出，结合角的取值范围可求得结果.

【详解】

在中，因为，则，

，则，则，

所以，，可得，，故.

故选：D.

5．B

【分析】

根据题设条件结合余弦定理可求得，从而可得，结合三角形面积公式，即可求解.

【详解】

∵，，边上的中线的长度为

∴根据余弦定理可得，即，解得

∴

∴的面积为

故选：B

6．A

【分析】

根据题意，得到小球经过的里程，结合等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】

由题意，可得小球10次着地共经过的路程为：

米

故选：A.

7．C

【分析】

根据，利用正弦定理转化为：，整理为再转化为角判断.

【详解】

因为，

所以由正弦定理得：，

所以 ，

即 ，

所以或 ，

所以或，

所以是等腰或直角三角形.

故选：C

【点睛】

本题主要考查正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

8．A

【分析】

根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD>DE即可得到答案.

【详解】

连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.

在中，由射影定理可得，即，

由得，

故选A.

【点睛】

本题考查圆的性质、射影定理的应用，考查推理能力，属于中档题.

9．C

【分析】

根据等差数列的性质及等差数列前n项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案．

【详解】

由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，

∴＋＝＝＝＝＝＝

故选：C．

10．C

【分析】

由基本不等式得出关于的不等式，解之可得．

【详解】

因为，

所以，当且仅当时取等号．

，解得或（舍去），

所以，即的最小值.4．此时．

故选：C．

11．D

【分析】

由先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案.

【详解】

当时，；

由，当时，，

两式相减，可得，

解得，当时，也符合该式，故．

所以

由，解得；又，所以，所以，当时，，故，因此最大项为，

故选：D．

12．C

【详解】

由题意得：，

，又，

数列是以为首项，为公比的等比数列，，

又，，…，，，

，；

，，

，

，

，，，，

对恒成立，，则实数的最大值为.

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数与导数、数列的综合应用问题，解题关键是能够采用构造法、累加法求得数列的通项公式，进而确定求和方法为裂项相消法，从而求得的形式.

13．336

【分析】

根据排列定义及公式即可求解．

【详解】

从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为，故共有336种不同的选派方案．

故答案为：336

14．3.8

【分析】

利用线性回归分析方程经过样本中心点，直接带入即可求解.

【详解】

因为，，所以，解得.

故答案为：3.8.

15．15

【分析】

根据超几何分布概率公式列出不等式，进而解出n.

【详解】

用X表示中奖票数，

P(X≥1)＝，

所以，解得n≥15.

故答案为：15.

16．

【分析】

列举出数列{an}的前40项及其中能被3整除的数，代入公式，即可求得概率．

【详解】

解：在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，

∴数列{an}的前40项为：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，

10946，17711，28657，46368，75025，121393，196418，317811，514229，832040，1346269，

2178309，3524578，5702887，9227465，14930352，24157817，39088169，63245986，10334155，

其中能被3整除的有10个，分别为：3，21，144，987，6765，46368，317811，1346269，2178309，14930352．

∴从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是P＝．

故答案为：

三、解答题：

17. 解：(1)设与直线平行的直线方程为,把代入，得，解得,

∴所求直线方程为.　　　　　　　　　　…………………5分

(2)解方程组得　　　　　　　　  …………………7分

∴直线与的交点为,　　　　　…………………8分

点到直线的距离.　………10分

18.解：（1）由正弦定理，得

解得.   　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………2分

又∵，   则， 　　　　　　　　　　　　　…………………4分

.　 　　　　　　　　　　　　　…………………6分

　（备注：若B没有去掉，扣2分）

（2）由余弦定理，得 整理得

又∵，∴.　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………10分

由==.　　　　　　　　　　…………………12分

（备注：正确写出余弦定理给2分；先用正弦定理求出，得出直角三形）

19. 解：（1），，成等比数列，，

又，，，

，又，解得：，　　…………………3分

；　　　　　　　…………………5分

（2）由（1）可得：，……………7分　　

，……10分

，整理可得：，解得：，

，　　的最大值为.　　　　　　　…………………12分

20. 证明：（1）∵，∴．

∵三棱柱为直三棱柱，∴．

∵，∴平面．

∵平面，∴，　∵BC∥B1C1，∥则．

在中，，，∴．

∵，∴四边形为正方形．

∴．

∵，∴ 平面． 　　　　…………………6分

（2）当点为棱的中点时，平面．

证明如下：如图，取中点，连、、，

∵、、分别为、、的中点，

∴EF∥AB1

∵平面，平面，

∴EF∥平面，同理可证FD∥平面．

∵，∴平面∥平面．

∵平面，∴DE∥平面．　　　　　　　　…………………12分

21．解：(1)由得，

化简得：，点M的轨迹以为圆心，以为半径的圆。

　　　　　　　　　　　　…………………5分　　（没有说明轨迹扣1分）

（2）当直线的斜率不存在时，直线符合题意；

当直线的斜率存在时，设的方程为：，即，

由圆心到直线的距离等于，解得，

直线方程为

所求的直线的方程为：或.…………………12分　　

（没有直线扣2分）

22．解：（1）椭圆离心率为，即，

∵点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，

∴，综上有：，，故椭圆方程为.  ……………4分

（2）由直线与椭圆交于两点，联立方程：

，整理得，……………5分

设，则

，……………7分

，

，              ……………9分

，……10分

原点到的距离，                            ……………11分

为定值.   ……………12分