高中数学6.2 平面向量的运算教案及反思

  6.2.4 向量的数量积

第2课时 向量的向量积

1.掌握数量积的运算律；

2.利用数量积的运算律进行化简、求值；

1.教学重点：数量积的运算律；

2.教学难点：利用数量积的运算律化简、求值。

1.向量数量积的运算律

(1)a·b＝        (交换律)．

(2)(λa)·b＝           ＝          (结合律)．

(3)(a＋b)·c＝               (分配律)．

一、探索新知

1.平面向量数量积的运算律

探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？

思考：设是向量，一定成立吗？为什么？

例1.对任意，恒有，，对任意向量，是否也有下面类似的结论？（1）；（2）

例2.

例3.已知且不共线，当k为何值时，向量互相垂直？

1.给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦向量a，b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影长．其中正确的是：________．

2.若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．

3.已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？

这节课你的收获是什么？

参考答案：

探究：平面向量数量积的运算律

证明：（1）因为， 所以，。

（2）当一样。

因为，

同理，当成立。

所以，。

（3）

思考：表示与一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，但与不一定共线。所以。

例1.

例2.

例3.解：互相垂直的充要条件是，

即，因为。

所以，解得。

也就是说，当时，向量互相垂直。

达标检测

1.【解析】　由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；

若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③不正确；

对于④应有|a||b|≥a·b；

对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a；

⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；

当a与b的夹角为0时，也有a·b>0，因此⑦错；

【答案】　①②⑥

2.【解】　设a与b夹角为θ，因为|a|＝3|b|，所以|a|2＝9|b|2，

又|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cos θ＝13|b|2＋12|b|2cos θ，

即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cos θ，故有cos θ＝－.

【答案】　－

3.【解析】　由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3.

由c⊥d，知c·d＝0，

即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2

＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，

∴m＝，即m＝时，c与d垂直．