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初中数学苏科版九年级上册2.3 确定圆的条件教案
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这是一份初中数学苏科版九年级上册2.3 确定圆的条件教案，共4页。
教学目标：1、经历不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程；
2、了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念，会过不在同一直线上三点作一个圆；
3、在确定圆的条件的探究过程中，感受类比和转化的数学思想.
教学重点：确定圆的条件
教学难点：确定圆的条件
教学过程：
复习旧知、引入课题
活动一：两点确定一条直线
操作1：在平面上任取一点A，过点A画一条直线.
问：这样的直线有多少条？
操作2：在平面上任取两点A、B，过点A和点B画一条直线.
问：这样的直线有多少条？
过任意两点画直线，首先有这样的直线，而且只有一条，这就是我们曾经学过的一个几何公理“两点确定一条直线”。
师：对于最近所学的圆，确定圆的条件（板书课题）又是什么呢？今天我们就从确定的 “有”和“只有”两个视角进行确定圆的条件的探索之旅。
设计意图：学生对“确定”这词的理解并不清晰，还很模糊，通过对探究“两点确定一条直线”的过程回忆，帮助学生明晰“确定”的双重含义，“有”且“只有”，为本节课确定圆的条件的要求做好铺垫。此外，通过逐渐增加点的个数来探究确定直线的条件与逐渐增加点的个数来探究确定圆的条件，在研究方法和研究角度上都有类似之处，可为后续确定圆的条件做类比。
2、探索活动、寻求条件
活动二：找出你所想的圆，探寻画圆要素
如图，在平面直角坐标系中，有三个圆。
（1）邀请甲同学背对黑板；
（2）再邀请乙同学面对其他同学选择三个圆中的一个；
（3）乙同学告知甲同学相关他所选圆的信息；
（4）请甲同学指出乙同学所选的圆。
设计意图：通过这个活动，让学生感受到画圆的两要素：圆心和半径，已知圆心只能确定圆位置，已知半径只能确定圆的大小，只有同时知道圆心和半径才可确定一个圆。
活动三：类比点确定直线，探究点确定圆的条件
设计意图：类比“确定直线的研究方法”，明确“几个点可以确定一个圆”的探究思路。
（1）怎样作一个圆，使它经过已知点A？这样的圆可以作多少个？
设计意图：从一点开始探究确定圆的条件，符合学生的认知，学生通过动手操作，会发现过一个可画出无数个圆，从而感知到一个不能确定一个圆。此外，在该活动中让学生说说是怎么画圆的，进而感受到，过已知点画圆，其实只要确定圆心O，半径OA也就随之确定，定圆心是关键，也为后面过两点画圆，提供了思路。
（2）怎样作一个圆，使它经过已知点A、B？这样的圆可以作多少个？
设计意图：在前面的探究中，已知一点不能确定一个圆，可画无数个圆，进而需增加点，探究两点是否可确定一个圆。过点画圆就是找圆心O，且使得：OA=OB，这就说明圆心在AB的垂直平分线上，过已知两点可画圆，且有无数个。这里有个重要发现：圆心O在AB的垂直平分线上，为后面的探究做铺垫。
（3）能否作一个圆，使它经过A、B、C三点？如果能，这样的圆可作多少个？
设计意图：这个环节需解决两个问题，存在性和唯一性。过三点能不能画圆，如果能画，圆心在哪？圆过A、B、C三点，说明经过点A和点B，转化为过两点找圆心问题，圆心O在AB垂直平分线上；此外，圆也经过点A和点C，则说明圆心O在AC垂直平分线上，和的交点就可能是圆心O，交点O是不是圆心，则需证明OA=OB=OC，从而说明存在性，又因为两直线的交点是唯一的，说明圆心唯一，从而半径唯一，得到圆是唯一。探究至此，发现一个似乎正确的结论：三点确定一个圆，三点确定一个圆对吗？当平行时，两直线没有交点，此时，圆不存在,需对上述结论进行修改，得出确定圆的条件“不在同一直线上的三个点确定一个圆”.
“不在同一直线上的三个点”可表现为三角形的三个顶点。
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。如图，⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形.
注：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形的三个顶点的距离相等.
问题：给定一个三角形可画几个外接圆？反之，给定一个圆可画几个内接三角形？
试一试：
（1）如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1，3）、 B（-2，-2）、C（4，-2），则△ABC外心为 .
（2）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是 .
设计意图：第（1）题的设计，主要是利用垂直平分线找三角形的外心，以网格为背景，便于画出BC和AC边的垂直平分线；第（2）题的设计，是“弧”复“圆”，弧是“三点不在同一直线”的另外一种表现形式，可在弧上任意取三点，便可复原原来的圆。
“不在同一直线上的三个点”的两种表现形式：三角形三个顶点、弧
活动四：
若△ABC是直角或钝角三角形时，利用直尺和圆规作△ABC的外接圆.
设计意图：巩固尺规作已知三角形外接圆的技能，并在此基础上探究三角形外心的位置和三角形之间的关系.
练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则Rt△ABC的外接圆的直径是 .
设计意图：练习设计的目的是对三角形的外心的位置和三角形关系的巩固，直角三角形的外心在斜边上，斜边就是外接圆的直径.
同过本节课的学习，你有什么收获？
板书设计：
教学目标：1、经历不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程；
2、了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念，会过不在同一直线上三点作一个圆；
3、在确定圆的条件的探究过程中，感受类比和转化的数学思想.
教学重点：确定圆的条件
教学难点：确定圆的条件
教学过程：
复习旧知、引入课题
活动一：两点确定一条直线
操作1：在平面上任取一点A，过点A画一条直线.
问：这样的直线有多少条？
操作2：在平面上任取两点A、B，过点A和点B画一条直线.
问：这样的直线有多少条？
过任意两点画直线，首先有这样的直线，而且只有一条，这就是我们曾经学过的一个几何公理“两点确定一条直线”。
师：对于最近所学的圆，确定圆的条件（板书课题）又是什么呢？今天我们就从确定的 “有”和“只有”两个视角进行确定圆的条件的探索之旅。
设计意图：学生对“确定”这词的理解并不清晰，还很模糊，通过对探究“两点确定一条直线”的过程回忆，帮助学生明晰“确定”的双重含义，“有”且“只有”，为本节课确定圆的条件的要求做好铺垫。此外，通过逐渐增加点的个数来探究确定直线的条件与逐渐增加点的个数来探究确定圆的条件，在研究方法和研究角度上都有类似之处，可为后续确定圆的条件做类比。
2、探索活动、寻求条件
活动二：找出你所想的圆，探寻画圆要素
如图，在平面直角坐标系中，有三个圆。
（1）邀请甲同学背对黑板；
（2）再邀请乙同学面对其他同学选择三个圆中的一个；
（3）乙同学告知甲同学相关他所选圆的信息；
（4）请甲同学指出乙同学所选的圆。
设计意图：通过这个活动，让学生感受到画圆的两要素：圆心和半径，已知圆心只能确定圆位置，已知半径只能确定圆的大小，只有同时知道圆心和半径才可确定一个圆。
活动三：类比点确定直线，探究点确定圆的条件
设计意图：类比“确定直线的研究方法”，明确“几个点可以确定一个圆”的探究思路。
（1）怎样作一个圆，使它经过已知点A？这样的圆可以作多少个？
设计意图：从一点开始探究确定圆的条件，符合学生的认知，学生通过动手操作，会发现过一个可画出无数个圆，从而感知到一个不能确定一个圆。此外，在该活动中让学生说说是怎么画圆的，进而感受到，过已知点画圆，其实只要确定圆心O，半径OA也就随之确定，定圆心是关键，也为后面过两点画圆，提供了思路。
（2）怎样作一个圆，使它经过已知点A、B？这样的圆可以作多少个？
设计意图：在前面的探究中，已知一点不能确定一个圆，可画无数个圆，进而需增加点，探究两点是否可确定一个圆。过点画圆就是找圆心O，且使得：OA=OB，这就说明圆心在AB的垂直平分线上，过已知两点可画圆，且有无数个。这里有个重要发现：圆心O在AB的垂直平分线上，为后面的探究做铺垫。
（3）能否作一个圆，使它经过A、B、C三点？如果能，这样的圆可作多少个？
设计意图：这个环节需解决两个问题，存在性和唯一性。过三点能不能画圆，如果能画，圆心在哪？圆过A、B、C三点，说明经过点A和点B，转化为过两点找圆心问题，圆心O在AB垂直平分线上；此外，圆也经过点A和点C，则说明圆心O在AC垂直平分线上，和的交点就可能是圆心O，交点O是不是圆心，则需证明OA=OB=OC，从而说明存在性，又因为两直线的交点是唯一的，说明圆心唯一，从而半径唯一，得到圆是唯一。探究至此，发现一个似乎正确的结论：三点确定一个圆，三点确定一个圆对吗？当平行时，两直线没有交点，此时，圆不存在,需对上述结论进行修改，得出确定圆的条件“不在同一直线上的三个点确定一个圆”.
“不在同一直线上的三个点”可表现为三角形的三个顶点。
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。如图，⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形.
注：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形的三个顶点的距离相等.
问题：给定一个三角形可画几个外接圆？反之，给定一个圆可画几个内接三角形？
试一试：
（1）如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-1，3）、 B（-2，-2）、C（4，-2），则△ABC外心为 .
（2）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是 .
设计意图：第（1）题的设计，主要是利用垂直平分线找三角形的外心，以网格为背景，便于画出BC和AC边的垂直平分线；第（2）题的设计，是“弧”复“圆”，弧是“三点不在同一直线”的另外一种表现形式，可在弧上任意取三点，便可复原原来的圆。
“不在同一直线上的三个点”的两种表现形式：三角形三个顶点、弧
活动四：
若△ABC是直角或钝角三角形时，利用直尺和圆规作△ABC的外接圆.
设计意图：巩固尺规作已知三角形外接圆的技能，并在此基础上探究三角形外心的位置和三角形之间的关系.
练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则Rt△ABC的外接圆的直径是 .
设计意图：练习设计的目的是对三角形的外心的位置和三角形关系的巩固，直角三角形的外心在斜边上，斜边就是外接圆的直径.
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