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苏科版九年级数学上册 小结与思考(22)（教案）
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这是一份初中数学苏科版九年级上册本册综合教案及反思，共11页。教案主要包含了自主梳理，基础训练，能力提升，例题精讲，课后作业等内容，欢迎下载使用。
(1). 了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想；；
(2). 能够利用一元二次方程解决有关实际问题，认识到运用方程解决实际问题的关键是确定题目中蕴含的等量关系；并且能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.
2 教学重点与难点
重点：了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想；
难点：利用一元二次方程解决有关实际问题。
3 教学设计
3.1 课前准备
1、自主梳理
教师布置学生在上复习课的前一天借鉴微课对知识进行总结的方法和经验，尝试用列表或框架图形式绘制本章知识的思维导图。
2、基础训练
（1）、已知关于x的方程（m²-1）x²+（m-1）x-2m+1=0，当m 时是一元二次方程，当 m= 时是一元一次方程。
（2）、填空
（3）、解下列方程
① ② ③
（4）、已知：关于x的方程 ，不解方程，判断方程根的情况。
（5）、已知方程，则它的两根的倒数和为 。
设计意图： 学生在教师的引导下通过搜索并观看相关的单元复习微课，提前对本章知识进行梳理、归纳，建构知识网络，并通过“基础训练”环节使学生达到对已学知识的巩固提升。
3.2 基础知识重现
1 问题情境
在一块长是32米、宽是24米的矩形空地内，要设计花圃，使花圃面积是矩形面积的一半。你能给出设计方案吗？
例如：在空地中间开辟一个矩形的花圃，四周修筑同样宽的道路（如图），道路的面积与花圃的面积相等。你能计算出道路的宽吗？
32
24
x
x
x
x
【审】
问题1：这个问题能以“能”或“不能”简单作答吗？为什么不能？那该增加什么回答内容？
问题2：那么给出设计方案：“在空地中间开辟一个矩形的花圃，四周修筑同样宽的道路，道路的面积与花圃的面积相等。”这样回答可以了吗？为什么？
问题3：对于“求道路的宽”这个数学问题你准备用什么数学知识来解决？
问题4：方程模型已经内化为我们的解题方法，那么用方程来解决这个问题需要经过哪些步骤？（审、设、列、解、验、答）
设计意图：教师分4个层次给出例题，并辅以问题串的形式对例题进行“审题”，并在教学过程中总结出数学源自生活和数形结合思想、方程模型思想，初步体现思维深刻的课堂，预热学生思维，为后面的学习做好有效的思维铺垫。
2 例题精讲
【设】
问题5：这题的未知数的设定我们有多种方法，那么如果我们设道路的宽为x米，那么你可以列出怎样的方程？
问题6：列方程的关键是找准等量关系，请同学们根据你所找到的等量关系将方程列出来。
【列】
（教师巡视后，让两位学生代表将方程 和方程写到黑板上）
问题7：那么这两位同学所列的方程是什么方程？
问题8：我们是怎样判断一个方程是否为一元二次方程呢？
复习一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2。像这样方程的叫做一元二次方程。
问题9：一元二次方程应具备的三个条件是哪三个？（只含有一个未知数、未知数的最高次数是2、整式方程）
针对训练：
1、判断下列关于x、y的方程一定是一元二次方程的有哪些？
问题10：据此我们可以判断方程 和方程就是一元二次方程，但是这个形式不仅复杂而且不够整洁、美观，最关键的是不便于我们对方程进行研究，所以我们有必要对一元二次方程的形式进行统一，这就是一元二次方程的一般形式。
复习一元二次方程的一般形式：
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
针对训练2：
将方程和方程化成一般形式。
【解】
问题11：经过大家的化简，上述两个方程都可以转化为这一简洁的形式。那么下面按照列方程解应用题的步骤，我们应该到“解”这一步了，请同学们回忆一下一元二次方程的解法都有哪些？
复习一元二次方程的解法：
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
（公式法其实就是用配方法去解一元二次方程的一般形式，教师演示整个解题过程，并从中提炼出两个知识点：根的判别式和根与系数的关系。）
复习“根的判别式”和“根与系数的关系”
（1）一元二次方程根的情况决定于一元二次方程的判别式。
若＞0，方程有两个不相等的实数根；
若＝0，方程有两个相等的实数根；
若＜0，方程没有实数根；
（2）一元二次方程根与系数的关系
针对训练3：
已知关于x的方程，
（1）若方程有两个不等实数根，则m的取值范围_____
（2）若方程的一个根是1 ，则另一个根是_____，m的值是_______
训练后教师将课前做的“基础训练”中存在的解题过程不规范以及解题方法不是最优的进行全班分享、交流。
解方程：全班同学选取合适的方法去解方程，并让两位学生代表到黑板进行板演。
问题12：同学们观察一下两位同学在黑板上的解题过程，最后方程变为了一元一次方程，这说明解一元二次方程是将一元二次变为一元一次，化未知为已知，这正是我们解一元二次方程的基本思路：转化，而“转化”的实质是“降次”。
能力提升：
用“转化”的数学思想，尝试解方程
【验】
问题13： “解”后面的一步是“验”，这里的检验包含了几层检验？
（首先检验方程的解是否正确，其次要检查是否符合实际意义。）
【答】
最后一步“答”，所谓作答其实就是利用检验过的一元二次方程的解去得出实际问题的答案，也就是一元二次方程的应用环节，这也说明数学服务与生活。强调注意解题过程的规范和完整。
设计意图：通过列方程解应用题的各位环节的慢慢展开，自然“生长”出一元二次方程的各个相关知识点，让学生体会到本章知识点之间彼此是相关联的、系统的、有序的，而不是碎片的、独立的、杂乱的，便于知识进行有效串联，形成知识网络框架。
3.3设计展示
展示1：通过 “例题精讲”给出了对于这个设计方案题的完整的、规范的、示范性的解答过程，同学们在小组内进行合作，设计出与范例不同的两种方案，在备用图中画出设计规划图，然后设出合适的未知数，并列出相应的方程。
（教师巡视后将设计方案进行展示如下图，并请设计小组派代表讲解设计时的构思、等量关系的选用及方程产生的过程。）
展示2：其实在我们的微课资源中也有相关的设计方案，下面请同学观看微课视频资源。
设计意图：通过设计、展示、讲解设计方案展示的活动，强调学生的动手操作和主动参与，突出学生在学习中的主体地位，并体会到成功的喜悦；通过让微课渗透到课堂上，激发学生的兴趣，让学生体会微课的价值，感受微课资源的强大。
3.4 课堂小结
问题14：通过本节课的学习，你有哪些收获与体会？（通过黑板上板书形成的思维导图和展示学生课前自己绘制的思维导图加以对比说明，分析优缺点，提升学生归纳总结的能力，并体会成功的喜悦。）
如果在复习中仍存在不理解的知识点或不会做的题目，课后可以与同学进行交流互助，也可继续观看相关讲解的微课进行自我修正。
设计意图：利用思维导图（如下图）进行知识与方法的梳理，能清晰再现本课的学习内容，帮助学生进一步理解所学知识，巩固方法，提升思维能力，培养学生归纳、总结知识点的技巧，提高教与学的针对性、实效性。
3.6 课后作业
1 必做题
（1）.若等腰三角形底边长为8,腰长是方程的一个根，求这个三角形的周长。
（2）.某厂今年1月的产值为50万元,第一季度共完成产值182万元,今年前两个月平均每月增长的百分率是多少?
2 选做题
（2）、已知，求的值。
（3）、设m、n分别为的两个实数根，求的值。
（4）、对知识梳理过程中存在的问题在课后继续收看相关微课进行查漏补缺。
设计意图：分层作业布置，提高课后作业的针对性、有效性。
4 教学设计说明
本节复习课通过“一题一课”进行设计，即从一个例题衍生出本课的全部内容，在微课的课前、课中、课后的全方位、立体式的参与下，形成了自然、简约、系统的课堂风格，也充分体现了知识间的关联与思维的深刻性。具体表现为从一个典型的开放性的实际问题出发，用“审、设、列、解、验、答”6个衔接紧密的步骤辅以有效串联的问题串展开，由局部到整体层层深入，自然生成本课的全部内容，既符合学生的学习心理，也兼顾了不同层次学生的复习要求，体现了简约自然的风格；同时让学生感悟数学模型的有效性，数学思想的无处不在，数学与生活的密切联系。
第一章 一元二次方程小结与思考导学案
【自主梳理】
借鉴微课中相关复习的视频对知识进行总结的方法，请你尝试把本章知识也进行总结（列表、框架图等方式）。
【基础训练】
1、已知关于x的方程（m²-1）x²+（m-1）x-2m+1=0，当m 时是一元二次方程，当 m= 时是一元一次方程。
2、填空
3、解下列方程
4、已知：关于x的方程 ，不解方程，判断方程根的情况。
5.已知方程，则它的两根的倒数和为 。
【能力提升】
用“转化”的数学思想尝试解方程
【例题精讲】
在一块长是32米、宽是24米的矩形空地内，要设计花圃，使花圃面积是矩形面积的一半。你能给出设计方案吗？
示范引领：在空地中间开辟一个矩形的花圃，
四周修筑同样宽的道路，道路的面积与花圃的
面积相等，求道路的宽。
【课后作业】
必做题
1.若等腰三角形底边长为8,腰长是方程的一个根，求这个三角形的周长。
2.某厂今年1月的产值为50万元,第一季度共完成产值182万元,今年前两个月平均每月增长的百分率是多少?
选做题
2、已知，求的值。
3、设m、n分别为的两个实数根，求的值。
三、对知识梳理过程中存在的问题在课后继续收看相关微课进行查漏补缺。一元二次方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
2y(y-3)= -4
一元二次方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
2y(y-3)= -4
(1). 了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想；；
(2). 能够利用一元二次方程解决有关实际问题，认识到运用方程解决实际问题的关键是确定题目中蕴含的等量关系；并且能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.
2 教学重点与难点
重点：了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想；
难点：利用一元二次方程解决有关实际问题。
3 教学设计
3.1 课前准备
1、自主梳理
教师布置学生在上复习课的前一天借鉴微课对知识进行总结的方法和经验，尝试用列表或框架图形式绘制本章知识的思维导图。
2、基础训练
（1）、已知关于x的方程（m²-1）x²+（m-1）x-2m+1=0，当m 时是一元二次方程，当 m= 时是一元一次方程。
（2）、填空
（3）、解下列方程
① ② ③
（4）、已知：关于x的方程 ，不解方程，判断方程根的情况。
（5）、已知方程，则它的两根的倒数和为 。
设计意图： 学生在教师的引导下通过搜索并观看相关的单元复习微课，提前对本章知识进行梳理、归纳，建构知识网络，并通过“基础训练”环节使学生达到对已学知识的巩固提升。
3.2 基础知识重现
1 问题情境
在一块长是32米、宽是24米的矩形空地内，要设计花圃，使花圃面积是矩形面积的一半。你能给出设计方案吗？
例如：在空地中间开辟一个矩形的花圃，四周修筑同样宽的道路（如图），道路的面积与花圃的面积相等。你能计算出道路的宽吗？
32
24
x
x
x
x
【审】
问题1：这个问题能以“能”或“不能”简单作答吗？为什么不能？那该增加什么回答内容？
问题2：那么给出设计方案：“在空地中间开辟一个矩形的花圃，四周修筑同样宽的道路，道路的面积与花圃的面积相等。”这样回答可以了吗？为什么？
问题3：对于“求道路的宽”这个数学问题你准备用什么数学知识来解决？
问题4：方程模型已经内化为我们的解题方法，那么用方程来解决这个问题需要经过哪些步骤？（审、设、列、解、验、答）
设计意图：教师分4个层次给出例题，并辅以问题串的形式对例题进行“审题”，并在教学过程中总结出数学源自生活和数形结合思想、方程模型思想，初步体现思维深刻的课堂，预热学生思维，为后面的学习做好有效的思维铺垫。
2 例题精讲
【设】
问题5：这题的未知数的设定我们有多种方法，那么如果我们设道路的宽为x米，那么你可以列出怎样的方程？
问题6：列方程的关键是找准等量关系，请同学们根据你所找到的等量关系将方程列出来。
【列】
（教师巡视后，让两位学生代表将方程 和方程写到黑板上）
问题7：那么这两位同学所列的方程是什么方程？
问题8：我们是怎样判断一个方程是否为一元二次方程呢？
复习一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2。像这样方程的叫做一元二次方程。
问题9：一元二次方程应具备的三个条件是哪三个？（只含有一个未知数、未知数的最高次数是2、整式方程）
针对训练：
1、判断下列关于x、y的方程一定是一元二次方程的有哪些？
问题10：据此我们可以判断方程 和方程就是一元二次方程，但是这个形式不仅复杂而且不够整洁、美观，最关键的是不便于我们对方程进行研究，所以我们有必要对一元二次方程的形式进行统一，这就是一元二次方程的一般形式。
复习一元二次方程的一般形式：
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
针对训练2：
将方程和方程化成一般形式。
【解】
问题11：经过大家的化简，上述两个方程都可以转化为这一简洁的形式。那么下面按照列方程解应用题的步骤，我们应该到“解”这一步了，请同学们回忆一下一元二次方程的解法都有哪些？
复习一元二次方程的解法：
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
（公式法其实就是用配方法去解一元二次方程的一般形式，教师演示整个解题过程，并从中提炼出两个知识点：根的判别式和根与系数的关系。）
复习“根的判别式”和“根与系数的关系”
（1）一元二次方程根的情况决定于一元二次方程的判别式。
若＞0，方程有两个不相等的实数根；
若＝0，方程有两个相等的实数根；
若＜0，方程没有实数根；
（2）一元二次方程根与系数的关系
针对训练3：
已知关于x的方程，
（1）若方程有两个不等实数根，则m的取值范围_____
（2）若方程的一个根是1 ，则另一个根是_____，m的值是_______
训练后教师将课前做的“基础训练”中存在的解题过程不规范以及解题方法不是最优的进行全班分享、交流。
解方程：全班同学选取合适的方法去解方程，并让两位学生代表到黑板进行板演。
问题12：同学们观察一下两位同学在黑板上的解题过程，最后方程变为了一元一次方程，这说明解一元二次方程是将一元二次变为一元一次，化未知为已知，这正是我们解一元二次方程的基本思路：转化，而“转化”的实质是“降次”。
能力提升：
用“转化”的数学思想，尝试解方程
【验】
问题13： “解”后面的一步是“验”，这里的检验包含了几层检验？
（首先检验方程的解是否正确，其次要检查是否符合实际意义。）
【答】
最后一步“答”，所谓作答其实就是利用检验过的一元二次方程的解去得出实际问题的答案，也就是一元二次方程的应用环节，这也说明数学服务与生活。强调注意解题过程的规范和完整。
设计意图：通过列方程解应用题的各位环节的慢慢展开，自然“生长”出一元二次方程的各个相关知识点，让学生体会到本章知识点之间彼此是相关联的、系统的、有序的，而不是碎片的、独立的、杂乱的，便于知识进行有效串联，形成知识网络框架。
3.3设计展示
展示1：通过 “例题精讲”给出了对于这个设计方案题的完整的、规范的、示范性的解答过程，同学们在小组内进行合作，设计出与范例不同的两种方案，在备用图中画出设计规划图，然后设出合适的未知数，并列出相应的方程。
（教师巡视后将设计方案进行展示如下图，并请设计小组派代表讲解设计时的构思、等量关系的选用及方程产生的过程。）
展示2：其实在我们的微课资源中也有相关的设计方案，下面请同学观看微课视频资源。
设计意图：通过设计、展示、讲解设计方案展示的活动，强调学生的动手操作和主动参与，突出学生在学习中的主体地位，并体会到成功的喜悦；通过让微课渗透到课堂上，激发学生的兴趣，让学生体会微课的价值，感受微课资源的强大。
3.4 课堂小结
问题14：通过本节课的学习，你有哪些收获与体会？（通过黑板上板书形成的思维导图和展示学生课前自己绘制的思维导图加以对比说明，分析优缺点，提升学生归纳总结的能力，并体会成功的喜悦。）
如果在复习中仍存在不理解的知识点或不会做的题目，课后可以与同学进行交流互助，也可继续观看相关讲解的微课进行自我修正。
设计意图：利用思维导图（如下图）进行知识与方法的梳理，能清晰再现本课的学习内容，帮助学生进一步理解所学知识，巩固方法，提升思维能力，培养学生归纳、总结知识点的技巧，提高教与学的针对性、实效性。
3.6 课后作业
1 必做题
（1）.若等腰三角形底边长为8,腰长是方程的一个根，求这个三角形的周长。
（2）.某厂今年1月的产值为50万元,第一季度共完成产值182万元,今年前两个月平均每月增长的百分率是多少?
2 选做题
（2）、已知，求的值。
（3）、设m、n分别为的两个实数根，求的值。
（4）、对知识梳理过程中存在的问题在课后继续收看相关微课进行查漏补缺。
设计意图：分层作业布置，提高课后作业的针对性、有效性。
4 教学设计说明
本节复习课通过“一题一课”进行设计，即从一个例题衍生出本课的全部内容，在微课的课前、课中、课后的全方位、立体式的参与下，形成了自然、简约、系统的课堂风格，也充分体现了知识间的关联与思维的深刻性。具体表现为从一个典型的开放性的实际问题出发，用“审、设、列、解、验、答”6个衔接紧密的步骤辅以有效串联的问题串展开，由局部到整体层层深入，自然生成本课的全部内容，既符合学生的学习心理，也兼顾了不同层次学生的复习要求，体现了简约自然的风格；同时让学生感悟数学模型的有效性，数学思想的无处不在，数学与生活的密切联系。
第一章 一元二次方程小结与思考导学案
【自主梳理】
借鉴微课中相关复习的视频对知识进行总结的方法，请你尝试把本章知识也进行总结（列表、框架图等方式）。
【基础训练】
1、已知关于x的方程（m²-1）x²+（m-1）x-2m+1=0，当m 时是一元二次方程，当 m= 时是一元一次方程。
2、填空
3、解下列方程
4、已知：关于x的方程 ，不解方程，判断方程根的情况。
5.已知方程，则它的两根的倒数和为 。
【能力提升】
用“转化”的数学思想尝试解方程
【例题精讲】
在一块长是32米、宽是24米的矩形空地内，要设计花圃，使花圃面积是矩形面积的一半。你能给出设计方案吗？
示范引领：在空地中间开辟一个矩形的花圃，
四周修筑同样宽的道路，道路的面积与花圃的
面积相等，求道路的宽。
【课后作业】
必做题
1.若等腰三角形底边长为8,腰长是方程的一个根，求这个三角形的周长。
2.某厂今年1月的产值为50万元,第一季度共完成产值182万元,今年前两个月平均每月增长的百分率是多少?
选做题
2、已知，求的值。
3、设m、n分别为的两个实数根，求的值。
三、对知识梳理过程中存在的问题在课后继续收看相关微课进行查漏补缺。一元二次方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
2y(y-3)= -4
一元二次方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
2y(y-3)= -4
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