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2020年山东省潍坊市青州市九年级中考数学一模试卷 解析版
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这是一份2020年山东省潍坊市青州市九年级中考数学一模试卷 解析版，共33页。试卷主要包含了下列计算正确的是，《九章算术》中记载等内容，欢迎下载使用。
1．在实数﹣、、π、sin60°、中无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
3．下列计算正确的是（ ）
A．a6+a6＝2a12
B．2﹣2÷20×23＝32
C．（﹣ab2）•（﹣2a2b）3＝a3b3
D．a3•（﹣a）5•a12＝﹣a20
4．如图，已知AB∥CD，则∠α、∠β和∠γ之间的关系为（ ）
A．β+γ﹣α＝180°B．α+γ＝β
C．α+β+γ＝360°D．α+β﹣2γ＝180°
5．如图是由5个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的（ ）
A．主视图会发生改变B．俯视图会发生改变
C．左视图会发生改变D．三种视图都会发生改变
6．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现在一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元．问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有x个人，这个物品价格是y元．则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A．2B．C．D．1
8．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图已知一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象有2个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．b＞2B．﹣2＜b＜2C．b＞2或b＜﹣2D．b＜﹣2
10．小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数墨汁覆盖了，但小强己经计算出这组数据唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是（ ）
A．B．C．1D．
11．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
12．表中所列x、y的7对值是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7
根据表中提供约信息，有以下4个判断：
①a＜0；
②6＜m＜11；
③当x＝时，y的值是k；
④b2≥4a（c﹣k）；
其中判断正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二．填空题（共5小题）
13．若关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 ．
14．如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为 ．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是 ．
16．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，…，点A1，A2，A3，A4，…在直线l上，点C1，C2，C3，C4，…在x轴正半轴上，则
Bn的坐标是 ．
17．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D是BC边上一点，连接AD，若△ABD是准互余三角形，则BD的长为 ．
三．解答题（共8小题）
18．因式分解：（x﹣y）2+6（y﹣x）+9＝ ．
19．已知一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且满足x12+x1x2＝1，求m的值．
20．某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：
女生阅读时间人数统计表
根据图表解答下列问题：
（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝ ，n＝ ；
（2）此次抽样调查中，共抽取了 名学生，学生阅读时间的中位数在 时间段；
（3）从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？
21．遥感兴趣小组在如图所示的情景下，测量无人机的飞行高度，如图，点A，B，C在同一平面内，操控手站在坡度是i＝：1，坡面长4m的斜坡BC的底部C处遥控无人机，坡顶B处的无人机以0.3m/s的速度，沿仰角α＝38°的方向爬升，25s时到达空中的点A处，求此时无人机离点C所在地面的高度（结果精确到0.1m，参考数据：sin38°≈0.62，cs38°≈0.79，tan38°≈0.78，≈1.41，≈1.73）
22．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，过点C的切线交射线1于点F．
（1）求证：FC＝FD．
（2）当E是的中点时，
①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
②若＝，且AB＝30，则OP＝ ．
23．某超市销售一种商品，成本价为50元/千克，规定每千克售价不低于成本价，且不高于85元经市场调查，该商品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
（1）求y与x之间的函数表达式．
（2）设该商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元/千克时，超市每天能获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）如果超市要获得每天不低于1600元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品的售价x的取值范围是多少？请说明理由．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：
图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y＝﹣+bx+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求出抛物线表达式，并求出点A坐标．
（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为3，求出△BCD的面积；
（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在实数﹣、、π、sin60°、中无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：是分数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
π是无理数；
，是无理数；
是整数，属于有理数；
∴无理数有π、sin60°共2个．
故选：B．
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a6+a6＝2a12
B．2﹣2÷20×23＝32
C．（﹣ab2）•（﹣2a2b）3＝a3b3
D．a3•（﹣a）5•a12＝﹣a20
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A、a6+a6＝2a6，故此选项错误；
B、2﹣2÷20×23＝2，故此选项错误；
C、（﹣ab2）•（﹣2a2b）3＝（﹣ab2）•（﹣8a6b3）＝4a7b5，故此选项错误；
D、a3•（﹣a）5•a12＝﹣a20，正确．
故选：D．
4．如图，已知AB∥CD，则∠α、∠β和∠γ之间的关系为（ ）
A．β+γ﹣α＝180°B．α+γ＝β
C．α+β+γ＝360°D．α+β﹣2γ＝180°
【分析】此题主要是巧妙构造辅助线，根据平行线的性质，把要探讨的角联系起来．
【解答】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠γ+∠FEC＝180°∠FEA＝∠α，
∵∠AEF+∠FEC＝∠β，
∴∠γ+∠β﹣∠AEF＝180°，
∴γ+β﹣α＝180°，
故选：A．
5．如图是由5个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的（ ）
A．主视图会发生改变B．俯视图会发生改变
C．左视图会发生改变D．三种视图都会发生改变
【分析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．
故选：A．
6．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现在一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元．问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有x个人，这个物品价格是y元．则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设共有x个人，这个物品价格是y元，根据物品的价格不变列出方程．
【解答】解：设共有x个人，这个物品价格是y元，则．
故选：A．
7．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A．2B．C．D．1
【分析】由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠COD＝60°，在Rt△COD中，利用直角三角形30度的性质易求OD．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OD⊥弦BC，OB＝OC，
∴∠ODC＝90°，∠COD＝∠BOD＝60°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝OC＝1，
故选：D．
8．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图和选项进行判断．
【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选：C．
9．如图已知一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象有2个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．b＞2B．﹣2＜b＜2C．b＞2或b＜﹣2D．b＜﹣2
【分析】将一次函数解析式代入反比例函数解析式中整理后即可得出关于x的一元二次方程，由两函数图象有两个图象结合根的判别式即可得出关于b的一元二次不等式，解之即可得出b的取值范围．
【解答】解：将y＝﹣x+b代入y＝中，
得：﹣x+b＝，
整理，得：x2﹣bx+1＝0．
∵一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象有2个公共点，
∴方程x2﹣bx+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣b）2﹣4＞0，
解得：b＜﹣2或b＞2．
故选：C．
10．小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数墨汁覆盖了，但小强己经计算出这组数据唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是（ ）
A．B．C．1D．
【分析】根据已知条件得到被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，根据方差公式即可得到结论．
【解答】解：∵平均数是12，
∴这组数据的和＝12×7＝84，
∴被墨汁覆盖三天的数的和＝84﹣（11+12+13+12）＝36，
∵这组数据唯一众数是13，
∴被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，
∴S2＝[（11﹣12）2+（12﹣12）2+（10﹣12）2+（13﹣12）2+（13﹣12）2+（13﹣12）2+（12﹣12）2]＝，
故选：A．
11．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：
①0≤x≤2时，根据S△APQ＝AQ•AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；
②2≤x≤4时，根据S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【解答】解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；
②当2≤x≤4时，
y＝S△APQ
＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，
＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）
＝﹣x2+2x
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．
故选：A．
12．表中所列x、y的7对值是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7
根据表中提供约信息，有以下4个判断：
①a＜0；
②6＜m＜11；
③当x＝时，y的值是k；
④b2≥4a（c﹣k）；
其中判断正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】首先根据x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，其对应的函数值是先增大后减小，可得抛物线开口向下，所以a＜0；然后根据函数值是先增大后减小，可得6＜m＜14＜k；最后根据a＜0，可得二次函数有最大值，而且二次函数的最大值，所以b2≥4a（c﹣k），据此判断即可．
【解答】解：∵x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，其对应的函数值是先增大后减小，
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，①符合题意；
∴6＜m＜11＜k，
∴6＜m＜11，②符合题意；
根据图表中的数据知，只有当x＝＝x4时，抛物线的顶点坐标纵坐标是k，即y的值是k，③不符合题意；
∵≥k，a＜0，
∴4ac﹣b2≤4ak，
∴b2≥4a（c﹣k），④符合题意．
综上，可得判断正确的是：①②④．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
13．若关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 0≤a＜1 ．
【分析】分别解两个不等式，得到两个解集：x＞a和x≤2，根据不等式组有2个整数解，得到关于a的取值范围，即可得到答案．
【解答】解：解不等式得：x≤2，
解不等式得：x＞a，
∵不等式组有2个整数解，
∴不等式组的解集为：a＜x≤2，且两个整数解为：2，1，
∴0≤a＜1，
即a的取值范围为：0≤a＜1．
故答案为：0≤a＜1．
14．如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为 ．
【分析】利用弧长＝圆锥的底面周长这一等量关系可求解．
【解答】解：连接AB，过O作OM⊥AB于M，
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠BAO＝30°，AM＝，
∴OA＝2，
∵＝2πr，
∴r＝
故答案是：
15．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是 5 ．
【分析】首先连接EF交AC于O，由矩形ABCD中，四边形EGFH是菱形，易证得△CFO≌△AOE（AAS），即可得OA＝OC，然后由勾股定理求得AC的长，继而求得OA的长，又由△AOE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE＝OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
在△CFO与△AOE中，
，
∴△CFO≌△AOE（AAS），
∴AO＝CO，
∵AC＝＝4，
∴AO＝AC＝2，
∵∠CAB＝∠CAB，∠AOE＝∠B＝90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE＝5．
故答案为5．
16．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，…，点A1，A2，A3，A4，…在直线l上，点C1，C2，C3，C4，…在x轴正半轴上，则
Bn的坐标是 （2n﹣1，2n﹣1） ．
【分析】由已知分别求出B1（1，1），B2（3，2），B3（7，4），B4（15，8），…，再求点的坐标特点，可得到Bn（2n﹣1，2n﹣1）．
【解答】解：∵y＝x+1与y轴交于点A1，
∴A1（0，1），
∵正方形OA1B1C1，
∴OC1＝B1C1＝1，
∴C1（1，0），B1（1，1），
∴A2（1，2），
∵正方形C1A2B2C2，
∴C1A2＝C1C2＝2，
∴C2（3，0），B2（3，2），
同理，C3（7，0），B3（7，4），C4（15，0），B4（15，8），…，
∴Bn（2n﹣1，2n﹣1），
故答案为（2n﹣1，2n﹣1）．
17．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D是BC边上一点，连接AD，若△ABD是准互余三角形，则BD的长为 5或 ．
【分析】分两种情况画图说明，①根据△ABD是准互余三角形，可以证明AD是∠BAC的平分线，根据勾股定理即可求出BD的长；②可以根据△ABD是准互余三角形，证明△CAD∽△CBA，对应边成比例即可求出CD的长，进而求出BD的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10．
①如图1，
∵△ABD是准互余三角形，
∴∠B+2∠BAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
作DE⊥AB于点E，
则DC＝DE，AE＝AC＝6，
设DC＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
BE＝AB﹣AE＝4，
在Rt△BDE中，根据勾股定理，得
BD2＝DE2+BE2，
（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5；
②如图2，
∵△ABD是准互余三角形，
∴2∠B+∠BAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴＝，
∴CD＝，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣＝．
综上所述：BD的长为5或．
故答案为：5或．
三．解答题（共8小题）
18．因式分解：（x﹣y）2+6（y﹣x）+9＝ （x﹣y﹣3）2 ．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：（x﹣y）2+6（y﹣x）+9
＝（x﹣y）2﹣6（x﹣y）+9
＝（x﹣y﹣3）2．
故答案为：＝（x﹣y﹣3）2．
19．已知一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且满足x12+x1x2＝1，求m的值．
【分析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
（2）x1是方程的实数根，就适合原方程，可得到关于x1与m的等式．再根据根与系数的关系知，x1x2＝m﹣1，故可求得x1和m的值．
【解答】解：（1）根据题意得△＝b2﹣4ac＝4﹣4×（m﹣1）＞0，解得m＜2；
（2）∵x1是方程的实数根，
∴x12﹣2x1+m﹣1＝0 ①
∵x1，x2是方程的两个实数根
∴x1•x2＝m﹣1
∵x12+x1x2＝1，
∴x12+m﹣1＝1 ②
由①②得x1＝0.5，
把x＝0.5代入原方程得，m＝．
20．某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：
女生阅读时间人数统计表
根据图表解答下列问题：
（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝ 3 ，n＝ 30% ；
（2）此次抽样调查中，共抽取了 50 名学生，学生阅读时间的中位数在 1≤t＜1.5 时间段；
（3）从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？
【分析】（1）由0≤t＜0.5时间段的人数及其所占百分比可得女生人数，再根据百分比的意义求解可得；
（2）将男女生人数相加可得总人数，再根据中位数的概念求解可得；
（3）利用列举法求得所有结果的个数，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）女生总人数为4÷20%＝20（人），
∴m＝20×15%＝3，n＝×100%＝30%，
故答案为：3，30%；
（2）学生总人数为20+6+5+12+4+3＝50（人），
这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均落在1≤t＜1.5范围内，
∴学生阅读时间的中位数在1≤t＜1.5时间段，
故答案为：50，1≤t＜1.5；
（3）学习时间在2～2.5小时的有女生2人，男生3人．
共有20种可能情况，则恰好抽到男女各一名的概率是＝．
21．遥感兴趣小组在如图所示的情景下，测量无人机的飞行高度，如图，点A，B，C在同一平面内，操控手站在坡度是i＝：1，坡面长4m的斜坡BC的底部C处遥控无人机，坡顶B处的无人机以0.3m/s的速度，沿仰角α＝38°的方向爬升，25s时到达空中的点A处，求此时无人机离点C所在地面的高度（结果精确到0.1m，参考数据：sin38°≈0.62，cs38°≈0.79，tan38°≈0.78，≈1.41，≈1.73）
【分析】过B点作BD⊥CD，过A点作AE⊥CD于E，交FB的延长线于G，根据坡度的定义求出BD，可求EG，根据正弦的定义求出AG，再根据线段的和差关系计算即可求解．
【解答】解：过B点作BD⊥CD，过A点作AE⊥CD于E，交FB的延长线于G，
∵i＝：1，BC＝4m，
∴BD＝2m，
∴EG＝2m，
∵AB＝0.3×25＝7.5m，
在Rt△AGB中，AG＝AB•sin38°≈4.65（m）
∴AE＝AG+GE≈2+4.65≈8.1（m）．
故此时无人机离点C所在地面的高度大约为8.1m．
22．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，过点C的切线交射线1于点F．
（1）求证：FC＝FD．
（2）当E是的中点时，
①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
②若＝，且AB＝30，则OP＝ 9 ．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得出OC⊥CF以及∠OBC＝∠OCB得∠FCD＝∠FDC，可证得结论；
（2）①如图2，连接OC，OE，BE，CE，可证△BOE，△OCE均为等边三角形，可得OB＝BE＝CE＝OC，可得结论；
②设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），由勾股定理可求k＝6，可得AC＝18，BC＝24，由面积法可求PE，由勾股定理可求OP的长．
【解答】证明：（1）连接OC，
（1）证明：连接OC
∵CF是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OCB+∠DCF＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵PD⊥AB，
∴∠BPD＝90°，
∴∠OBC+∠BDP＝90°，
∴∠BDP＝∠DCF，
∵∠BDP＝∠CDF，
∴∠DCF＝∠CDF，
∴FC＝FD；
（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，
①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵点E是的中点，
∴∠BOE＝∠COE＝60°，
∵OB＝OE＝OC，
∴△BOE，△OCE均为等边三角形，
∴OB＝BE＝CE＝OC
∴四边形BOCE是菱形；
②∵，
∴设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），
由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝302，解得k＝6，
∴AC＝18，BC＝24，
∵点E是的中点，
∴OE⊥BC，BH＝CH＝12，
∴S△OBE＝OE×BH＝OB×PE，即15×12＝15PE，解得：PE＝12，
由勾股定理得OP＝＝＝9．
故答案为：9．
23．某超市销售一种商品，成本价为50元/千克，规定每千克售价不低于成本价，且不高于85元经市场调查，该商品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
（1）求y与x之间的函数表达式．
（2）设该商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元/千克时，超市每天能获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）如果超市要获得每天不低于1600元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品的售价x的取值范围是多少？请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况．
（3）求得W＝1600时x的值，再根据二次函数的性质求得W≥1600时x的取值范围，继而根据“每千克售价不低于成本且不高于85元”得出答案．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将（50，120）、（60，100）代入，
得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+220 （50≤x≤85）；
（2）W＝（x﹣50）（﹣2x+220）
＝﹣2x2+320x﹣11000
＝﹣2（x﹣80）2+1800，
∴当x＝80时，W取得最大值为1800元，
答：售价为80元时获得最大利润，最大利润是1800元．
（3）当W＝1600时，得：﹣2x2+320x﹣11000＝1600，
解得：x＝70或x＝90，
∵该抛物线的开口向下，
∴当70≤x≤90时，W≥16000，
又∵每千克售价不低于成本，且不高于85元，即50≤x≤85，
∴该商品每千克售价的取值范围是70≤x≤85．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：
图1中，线段PM与PN的数量关系是 PM＝PN ，位置关系是 PM⊥PN ；
（2）探究证明：
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）方法1：先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；
（2）△PMN是等腰直角三角形．
由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，
∴MN最大时，△PMN的面积最大，
∴DE∥BC且DE在顶点A上面，
∴MN最大＝AM+AN，
连接AM，AN，
在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，
∴AM＝2，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，
∴MN最大＝2+5＝7，
∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝．
方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD＝AB+AD＝14，
∴PM＝7，
∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y＝﹣+bx+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求出抛物线表达式，并求出点A坐标．
（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为3，求出△BCD的面积；
（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出B（6，0），C（0，4）并代入y＝﹣+bx+c，即可求出解析式；
（2）求出D（3，8），过点D作y轴的垂线交于点E，过点B作BF⊥DE交ED的延长线于点F；则E（0，8），F（6，8），所以S△BCD＝S梯形ECBF﹣S△CDE﹣S△BFD＝（EC+BF）×OB﹣×EC×ED﹣×DF×BF，再由所求点确定各边长即可求面积；
（3）点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似有两种情况：①△PAQ∽△CBO时，由＝，则＝，求出m；②△PAQ∽△BCO时，＝，则有＝，求出m．
【解答】解：（1）由已知可求B（6，0），C（0，4），
将点B（6，0），C（0，4）代入y＝﹣+bx+c，
则有，
解得，
∴y＝﹣x2+x+4，
令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
解得x＝﹣1或x＝6，
∴A（﹣1，0）；
（2）∵点D在抛物线上，且横坐标为3，
∴D（3，8），
过点D作y轴的垂线交于点E，过点B作BF⊥DE交ED的延长线于点F；
∴E（0，8），F（6，8），
∴S△BCD＝S梯形ECBF﹣S△CDE﹣S△BFD＝（EC+BF）×OB﹣×EC×ED﹣×DF×BF
＝×（4+8）×6﹣×4×3﹣×3×8
＝36﹣6﹣12
＝18；
（3）设P（m，﹣m2+m+4），
∵PQ垂直于x轴，
∴Q（m，0），且∠PQO＝90°，
∵∠COB＝90°，
∴点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似有两种情况：
①△PAQ∽△CBO时，
＝＝，
∴＝，
解得m＝5或m＝﹣1，
∵点P是直线BC上方的抛物线上，
∴0≤m≤6，
∴m＝5，
∴P（5，4）；
②△PAQ∽△BCO时，
＝＝，
∴＝，
解得m＝﹣1或m＝，
∵点P是直线BC上方的抛物线上，
∴0≤m≤6，
∴m＝，
∴P（，）；
综上所述：P（5，4）或P（，）时，点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似．
星期
日
一
二
三
四
五
六
个数
11
12
13
12
x
…
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
…
y
…
6
m
11
k
11
m
6
…
阅读时间t（小时）
人数
占女生人数百分比
0≤t＜0.5
4
20%
0.5≤t＜1
m
15%
1≤t＜1.5
5
25%
1.5≤t＜2
6
n
2≤t＜2.5
2
10%
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
120
100
80
星期
日
一
二
三
四
五
六
个数
11
12
13
12
x
…
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
…
y
…
6
m
11
k
11
m
6
…
阅读时间t（小时）
人数
占女生人数百分比
0≤t＜0.5
4
20%
0.5≤t＜1
m
15%
1≤t＜1.5
5
25%
1.5≤t＜2
6
n
2≤t＜2.5
2
10%
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
120
100
80
1．在实数﹣、、π、sin60°、中无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
3．下列计算正确的是（ ）
A．a6+a6＝2a12
B．2﹣2÷20×23＝32
C．（﹣ab2）•（﹣2a2b）3＝a3b3
D．a3•（﹣a）5•a12＝﹣a20
4．如图，已知AB∥CD，则∠α、∠β和∠γ之间的关系为（ ）
A．β+γ﹣α＝180°B．α+γ＝β
C．α+β+γ＝360°D．α+β﹣2γ＝180°
5．如图是由5个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的（ ）
A．主视图会发生改变B．俯视图会发生改变
C．左视图会发生改变D．三种视图都会发生改变
6．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现在一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元．问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有x个人，这个物品价格是y元．则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A．2B．C．D．1
8．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图已知一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象有2个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．b＞2B．﹣2＜b＜2C．b＞2或b＜﹣2D．b＜﹣2
10．小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数墨汁覆盖了，但小强己经计算出这组数据唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是（ ）
A．B．C．1D．
11．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
12．表中所列x、y的7对值是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7
根据表中提供约信息，有以下4个判断：
①a＜0；
②6＜m＜11；
③当x＝时，y的值是k；
④b2≥4a（c﹣k）；
其中判断正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二．填空题（共5小题）
13．若关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 ．
14．如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为 ．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是 ．
16．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，…，点A1，A2，A3，A4，…在直线l上，点C1，C2，C3，C4，…在x轴正半轴上，则
Bn的坐标是 ．
17．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D是BC边上一点，连接AD，若△ABD是准互余三角形，则BD的长为 ．
三．解答题（共8小题）
18．因式分解：（x﹣y）2+6（y﹣x）+9＝ ．
19．已知一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且满足x12+x1x2＝1，求m的值．
20．某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：
女生阅读时间人数统计表
根据图表解答下列问题：
（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝ ，n＝ ；
（2）此次抽样调查中，共抽取了 名学生，学生阅读时间的中位数在 时间段；
（3）从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？
21．遥感兴趣小组在如图所示的情景下，测量无人机的飞行高度，如图，点A，B，C在同一平面内，操控手站在坡度是i＝：1，坡面长4m的斜坡BC的底部C处遥控无人机，坡顶B处的无人机以0.3m/s的速度，沿仰角α＝38°的方向爬升，25s时到达空中的点A处，求此时无人机离点C所在地面的高度（结果精确到0.1m，参考数据：sin38°≈0.62，cs38°≈0.79，tan38°≈0.78，≈1.41，≈1.73）
22．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，过点C的切线交射线1于点F．
（1）求证：FC＝FD．
（2）当E是的中点时，
①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
②若＝，且AB＝30，则OP＝ ．
23．某超市销售一种商品，成本价为50元/千克，规定每千克售价不低于成本价，且不高于85元经市场调查，该商品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
（1）求y与x之间的函数表达式．
（2）设该商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元/千克时，超市每天能获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）如果超市要获得每天不低于1600元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品的售价x的取值范围是多少？请说明理由．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：
图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y＝﹣+bx+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求出抛物线表达式，并求出点A坐标．
（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为3，求出△BCD的面积；
（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在实数﹣、、π、sin60°、中无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：是分数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
π是无理数；
，是无理数；
是整数，属于有理数；
∴无理数有π、sin60°共2个．
故选：B．
2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．笛卡尔心形线
C．科克曲线D．斐波那契螺旋线
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a6+a6＝2a12
B．2﹣2÷20×23＝32
C．（﹣ab2）•（﹣2a2b）3＝a3b3
D．a3•（﹣a）5•a12＝﹣a20
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A、a6+a6＝2a6，故此选项错误；
B、2﹣2÷20×23＝2，故此选项错误；
C、（﹣ab2）•（﹣2a2b）3＝（﹣ab2）•（﹣8a6b3）＝4a7b5，故此选项错误；
D、a3•（﹣a）5•a12＝﹣a20，正确．
故选：D．
4．如图，已知AB∥CD，则∠α、∠β和∠γ之间的关系为（ ）
A．β+γ﹣α＝180°B．α+γ＝β
C．α+β+γ＝360°D．α+β﹣2γ＝180°
【分析】此题主要是巧妙构造辅助线，根据平行线的性质，把要探讨的角联系起来．
【解答】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠γ+∠FEC＝180°∠FEA＝∠α，
∵∠AEF+∠FEC＝∠β，
∴∠γ+∠β﹣∠AEF＝180°，
∴γ+β﹣α＝180°，
故选：A．
5．如图是由5个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的（ ）
A．主视图会发生改变B．俯视图会发生改变
C．左视图会发生改变D．三种视图都会发生改变
【分析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．
故选：A．
6．《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现在一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元．问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有x个人，这个物品价格是y元．则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设共有x个人，这个物品价格是y元，根据物品的价格不变列出方程．
【解答】解：设共有x个人，这个物品价格是y元，则．
故选：A．
7．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（ ）
A．2B．C．D．1
【分析】由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠COD＝60°，在Rt△COD中，利用直角三角形30度的性质易求OD．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OD⊥弦BC，OB＝OC，
∴∠ODC＝90°，∠COD＝∠BOD＝60°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝OC＝1，
故选：D．
8．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图和选项进行判断．
【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选：C．
9．如图已知一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象有2个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．b＞2B．﹣2＜b＜2C．b＞2或b＜﹣2D．b＜﹣2
【分析】将一次函数解析式代入反比例函数解析式中整理后即可得出关于x的一元二次方程，由两函数图象有两个图象结合根的判别式即可得出关于b的一元二次不等式，解之即可得出b的取值范围．
【解答】解：将y＝﹣x+b代入y＝中，
得：﹣x+b＝，
整理，得：x2﹣bx+1＝0．
∵一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝的图象有2个公共点，
∴方程x2﹣bx+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣b）2﹣4＞0，
解得：b＜﹣2或b＞2．
故选：C．
10．小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某一周每天做引体向上的个数，如下表：
其中有三天的个数墨汁覆盖了，但小强己经计算出这组数据唯一众数是13，平均数是12，那么这组数据的方差是（ ）
A．B．C．1D．
【分析】根据已知条件得到被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，根据方差公式即可得到结论．
【解答】解：∵平均数是12，
∴这组数据的和＝12×7＝84，
∴被墨汁覆盖三天的数的和＝84﹣（11+12+13+12）＝36，
∵这组数据唯一众数是13，
∴被墨汁覆盖的三个数为：10，13，13，
∴S2＝[（11﹣12）2+（12﹣12）2+（10﹣12）2+（13﹣12）2+（13﹣12）2+（13﹣12）2+（12﹣12）2]＝，
故选：A．
11．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：
①0≤x≤2时，根据S△APQ＝AQ•AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；
②2≤x≤4时，根据S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【解答】解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；
②当2≤x≤4时，
y＝S△APQ
＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，
＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）
＝﹣x2+2x
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．
故选：A．
12．表中所列x、y的7对值是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7
根据表中提供约信息，有以下4个判断：
①a＜0；
②6＜m＜11；
③当x＝时，y的值是k；
④b2≥4a（c﹣k）；
其中判断正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】首先根据x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，其对应的函数值是先增大后减小，可得抛物线开口向下，所以a＜0；然后根据函数值是先增大后减小，可得6＜m＜14＜k；最后根据a＜0，可得二次函数有最大值，而且二次函数的最大值，所以b2≥4a（c﹣k），据此判断即可．
【解答】解：∵x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，其对应的函数值是先增大后减小，
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，①符合题意；
∴6＜m＜11＜k，
∴6＜m＜11，②符合题意；
根据图表中的数据知，只有当x＝＝x4时，抛物线的顶点坐标纵坐标是k，即y的值是k，③不符合题意；
∵≥k，a＜0，
∴4ac﹣b2≤4ak，
∴b2≥4a（c﹣k），④符合题意．
综上，可得判断正确的是：①②④．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
13．若关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 0≤a＜1 ．
【分析】分别解两个不等式，得到两个解集：x＞a和x≤2，根据不等式组有2个整数解，得到关于a的取值范围，即可得到答案．
【解答】解：解不等式得：x≤2，
解不等式得：x＞a，
∵不等式组有2个整数解，
∴不等式组的解集为：a＜x≤2，且两个整数解为：2，1，
∴0≤a＜1，
即a的取值范围为：0≤a＜1．
故答案为：0≤a＜1．
14．如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为 ．
【分析】利用弧长＝圆锥的底面周长这一等量关系可求解．
【解答】解：连接AB，过O作OM⊥AB于M，
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠BAO＝30°，AM＝，
∴OA＝2，
∵＝2πr，
∴r＝
故答案是：
15．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是 5 ．
【分析】首先连接EF交AC于O，由矩形ABCD中，四边形EGFH是菱形，易证得△CFO≌△AOE（AAS），即可得OA＝OC，然后由勾股定理求得AC的长，继而求得OA的长，又由△AOE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE＝OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
在△CFO与△AOE中，
，
∴△CFO≌△AOE（AAS），
∴AO＝CO，
∵AC＝＝4，
∴AO＝AC＝2，
∵∠CAB＝∠CAB，∠AOE＝∠B＝90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE＝5．
故答案为5．
16．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，…，点A1，A2，A3，A4，…在直线l上，点C1，C2，C3，C4，…在x轴正半轴上，则
Bn的坐标是 （2n﹣1，2n﹣1） ．
【分析】由已知分别求出B1（1，1），B2（3，2），B3（7，4），B4（15，8），…，再求点的坐标特点，可得到Bn（2n﹣1，2n﹣1）．
【解答】解：∵y＝x+1与y轴交于点A1，
∴A1（0，1），
∵正方形OA1B1C1，
∴OC1＝B1C1＝1，
∴C1（1，0），B1（1，1），
∴A2（1，2），
∵正方形C1A2B2C2，
∴C1A2＝C1C2＝2，
∴C2（3，0），B2（3，2），
同理，C3（7，0），B3（7，4），C4（15，0），B4（15，8），…，
∴Bn（2n﹣1，2n﹣1），
故答案为（2n﹣1，2n﹣1）．
17．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D是BC边上一点，连接AD，若△ABD是准互余三角形，则BD的长为 5或 ．
【分析】分两种情况画图说明，①根据△ABD是准互余三角形，可以证明AD是∠BAC的平分线，根据勾股定理即可求出BD的长；②可以根据△ABD是准互余三角形，证明△CAD∽△CBA，对应边成比例即可求出CD的长，进而求出BD的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10．
①如图1，
∵△ABD是准互余三角形，
∴∠B+2∠BAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
作DE⊥AB于点E，
则DC＝DE，AE＝AC＝6，
设DC＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
BE＝AB﹣AE＝4，
在Rt△BDE中，根据勾股定理，得
BD2＝DE2+BE2，
（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5；
②如图2，
∵△ABD是准互余三角形，
∴2∠B+∠BAD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴＝，
∴CD＝，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣＝．
综上所述：BD的长为5或．
故答案为：5或．
三．解答题（共8小题）
18．因式分解：（x﹣y）2+6（y﹣x）+9＝ （x﹣y﹣3）2 ．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：（x﹣y）2+6（y﹣x）+9
＝（x﹣y）2﹣6（x﹣y）+9
＝（x﹣y﹣3）2．
故答案为：＝（x﹣y﹣3）2．
19．已知一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且满足x12+x1x2＝1，求m的值．
【分析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
（2）x1是方程的实数根，就适合原方程，可得到关于x1与m的等式．再根据根与系数的关系知，x1x2＝m﹣1，故可求得x1和m的值．
【解答】解：（1）根据题意得△＝b2﹣4ac＝4﹣4×（m﹣1）＞0，解得m＜2；
（2）∵x1是方程的实数根，
∴x12﹣2x1+m﹣1＝0 ①
∵x1，x2是方程的两个实数根
∴x1•x2＝m﹣1
∵x12+x1x2＝1，
∴x12+m﹣1＝1 ②
由①②得x1＝0.5，
把x＝0.5代入原方程得，m＝．
20．某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：
女生阅读时间人数统计表
根据图表解答下列问题：
（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝ 3 ，n＝ 30% ；
（2）此次抽样调查中，共抽取了 50 名学生，学生阅读时间的中位数在 1≤t＜1.5 时间段；
（3）从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？
【分析】（1）由0≤t＜0.5时间段的人数及其所占百分比可得女生人数，再根据百分比的意义求解可得；
（2）将男女生人数相加可得总人数，再根据中位数的概念求解可得；
（3）利用列举法求得所有结果的个数，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）女生总人数为4÷20%＝20（人），
∴m＝20×15%＝3，n＝×100%＝30%，
故答案为：3，30%；
（2）学生总人数为20+6+5+12+4+3＝50（人），
这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均落在1≤t＜1.5范围内，
∴学生阅读时间的中位数在1≤t＜1.5时间段，
故答案为：50，1≤t＜1.5；
（3）学习时间在2～2.5小时的有女生2人，男生3人．
共有20种可能情况，则恰好抽到男女各一名的概率是＝．
21．遥感兴趣小组在如图所示的情景下，测量无人机的飞行高度，如图，点A，B，C在同一平面内，操控手站在坡度是i＝：1，坡面长4m的斜坡BC的底部C处遥控无人机，坡顶B处的无人机以0.3m/s的速度，沿仰角α＝38°的方向爬升，25s时到达空中的点A处，求此时无人机离点C所在地面的高度（结果精确到0.1m，参考数据：sin38°≈0.62，cs38°≈0.79，tan38°≈0.78，≈1.41，≈1.73）
【分析】过B点作BD⊥CD，过A点作AE⊥CD于E，交FB的延长线于G，根据坡度的定义求出BD，可求EG，根据正弦的定义求出AG，再根据线段的和差关系计算即可求解．
【解答】解：过B点作BD⊥CD，过A点作AE⊥CD于E，交FB的延长线于G，
∵i＝：1，BC＝4m，
∴BD＝2m，
∴EG＝2m，
∵AB＝0.3×25＝7.5m，
在Rt△AGB中，AG＝AB•sin38°≈4.65（m）
∴AE＝AG+GE≈2+4.65≈8.1（m）．
故此时无人机离点C所在地面的高度大约为8.1m．
22．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，过点C的切线交射线1于点F．
（1）求证：FC＝FD．
（2）当E是的中点时，
①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
②若＝，且AB＝30，则OP＝ 9 ．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得出OC⊥CF以及∠OBC＝∠OCB得∠FCD＝∠FDC，可证得结论；
（2）①如图2，连接OC，OE，BE，CE，可证△BOE，△OCE均为等边三角形，可得OB＝BE＝CE＝OC，可得结论；
②设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），由勾股定理可求k＝6，可得AC＝18，BC＝24，由面积法可求PE，由勾股定理可求OP的长．
【解答】证明：（1）连接OC，
（1）证明：连接OC
∵CF是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OCB+∠DCF＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵PD⊥AB，
∴∠BPD＝90°，
∴∠OBC+∠BDP＝90°，
∴∠BDP＝∠DCF，
∵∠BDP＝∠CDF，
∴∠DCF＝∠CDF，
∴FC＝FD；
（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，
①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵点E是的中点，
∴∠BOE＝∠COE＝60°，
∵OB＝OE＝OC，
∴△BOE，△OCE均为等边三角形，
∴OB＝BE＝CE＝OC
∴四边形BOCE是菱形；
②∵，
∴设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），
由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝302，解得k＝6，
∴AC＝18，BC＝24，
∵点E是的中点，
∴OE⊥BC，BH＝CH＝12，
∴S△OBE＝OE×BH＝OB×PE，即15×12＝15PE，解得：PE＝12，
由勾股定理得OP＝＝＝9．
故答案为：9．
23．某超市销售一种商品，成本价为50元/千克，规定每千克售价不低于成本价，且不高于85元经市场调查，该商品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
（1）求y与x之间的函数表达式．
（2）设该商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元/千克时，超市每天能获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）如果超市要获得每天不低于1600元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品的售价x的取值范围是多少？请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况．
（3）求得W＝1600时x的值，再根据二次函数的性质求得W≥1600时x的取值范围，继而根据“每千克售价不低于成本且不高于85元”得出答案．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
将（50，120）、（60，100）代入，
得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+220 （50≤x≤85）；
（2）W＝（x﹣50）（﹣2x+220）
＝﹣2x2+320x﹣11000
＝﹣2（x﹣80）2+1800，
∴当x＝80时，W取得最大值为1800元，
答：售价为80元时获得最大利润，最大利润是1800元．
（3）当W＝1600时，得：﹣2x2+320x﹣11000＝1600，
解得：x＝70或x＝90，
∵该抛物线的开口向下，
∴当70≤x≤90时，W≥16000，
又∵每千克售价不低于成本，且不高于85元，即50≤x≤85，
∴该商品每千克售价的取值范围是70≤x≤85．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：
图1中，线段PM与PN的数量关系是 PM＝PN ，位置关系是 PM⊥PN ；
（2）探究证明：
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）方法1：先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；
（2）△PMN是等腰直角三角形．
由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，
∴MN最大时，△PMN的面积最大，
∴DE∥BC且DE在顶点A上面，
∴MN最大＝AM+AN，
连接AM，AN，
在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，
∴AM＝2，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，
∴MN最大＝2+5＝7，
∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝．
方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD＝AB+AD＝14，
∴PM＝7，
∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y＝﹣+bx+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求出抛物线表达式，并求出点A坐标．
（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为3，求出△BCD的面积；
（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出B（6，0），C（0，4）并代入y＝﹣+bx+c，即可求出解析式；
（2）求出D（3，8），过点D作y轴的垂线交于点E，过点B作BF⊥DE交ED的延长线于点F；则E（0，8），F（6，8），所以S△BCD＝S梯形ECBF﹣S△CDE﹣S△BFD＝（EC+BF）×OB﹣×EC×ED﹣×DF×BF，再由所求点确定各边长即可求面积；
（3）点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似有两种情况：①△PAQ∽△CBO时，由＝，则＝，求出m；②△PAQ∽△BCO时，＝，则有＝，求出m．
【解答】解：（1）由已知可求B（6，0），C（0，4），
将点B（6，0），C（0，4）代入y＝﹣+bx+c，
则有，
解得，
∴y＝﹣x2+x+4，
令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
解得x＝﹣1或x＝6，
∴A（﹣1，0）；
（2）∵点D在抛物线上，且横坐标为3，
∴D（3，8），
过点D作y轴的垂线交于点E，过点B作BF⊥DE交ED的延长线于点F；
∴E（0，8），F（6，8），
∴S△BCD＝S梯形ECBF﹣S△CDE﹣S△BFD＝（EC+BF）×OB﹣×EC×ED﹣×DF×BF
＝×（4+8）×6﹣×4×3﹣×3×8
＝36﹣6﹣12
＝18；
（3）设P（m，﹣m2+m+4），
∵PQ垂直于x轴，
∴Q（m，0），且∠PQO＝90°，
∵∠COB＝90°，
∴点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似有两种情况：
①△PAQ∽△CBO时，
＝＝，
∴＝，
解得m＝5或m＝﹣1，
∵点P是直线BC上方的抛物线上，
∴0≤m≤6，
∴m＝5，
∴P（5，4）；
②△PAQ∽△BCO时，
＝＝，
∴＝，
解得m＝﹣1或m＝，
∵点P是直线BC上方的抛物线上，
∴0≤m≤6，
∴m＝，
∴P（，）；
综上所述：P（5，4）或P（，）时，点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似．
星期
日
一
二
三
四
五
六
个数
11
12
13
12
x
…
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
…
y
…
6
m
11
k
11
m
6
…
阅读时间t（小时）
人数
占女生人数百分比
0≤t＜0.5
4
20%
0.5≤t＜1
m
15%
1≤t＜1.5
5
25%
1.5≤t＜2
6
n
2≤t＜2.5
2
10%
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
120
100
80
星期
日
一
二
三
四
五
六
个数
11
12
13
12
x
…
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
…
y
…
6
m
11
k
11
m
6
…
阅读时间t（小时）
人数
占女生人数百分比
0≤t＜0.5
4
20%
0.5≤t＜1
m
15%
1≤t＜1.5
5
25%
1.5≤t＜2
6
n
2≤t＜2.5
2
10%
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
120
100
80
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