新高考2022年高考数学一轮课时跟踪51《抛物线》练习题

新高考2022年高考数学一轮课时跟踪51

《抛物线》

一、选择题

1.抛物线y=2x2的准线方程是(　　)

A.x=        B.x=－      C.y=        D.y=－

2.已知抛物线C与双曲线x2－y2=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)

A.y2=±2x        B.y2=±2x      C.y2=±4x        D.y2=±4x

3.若抛物线x2=4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n=(　　)

A.        B.        C.3        D.4

4.抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　)

A.        B.－      C.±        D.－

5.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|=4，则直线AF的倾斜角等于(　　)

A.        B.      C.        D.

6.过抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|=4，则M到直线NF的距离为(　　)

A.        B.2       C.3        D.2

7.设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为(　　)

A.相离

B.相切

C.相交但不经过圆心

D.相交且经过圆心

8.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足

|NF|=|MN|，则点F到MN的距离为(　　)

A.        B.1        C.        D.2

9.已知直线l：x－y－a=0与抛物线x2=4y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，若|MN|=，则a=(　　)

A.－1        B.1      C.－2        D.2

10.已知抛物线C：y2=4x，点D(2,0)，E(4,0)，M是抛物线C上异于原点O的动点，连接ME并延长交抛物线C于点N，连接MD，ND并分别延长交抛物线C 于点P，Q，连接PQ，若直线MN，PQ的斜率存在且分别为k1，k2，则=(　　)

A.4        B.3       C.2        D.1

11.抛物线C：y2=4x的焦点为F，N为准线l上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为(　　)

A.        B.        C.        D.3

12.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|=|MF|=(O为坐标原点)，则·=(　　)

A.－        B.       C.        D.－

二、填空题

13.过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|=2|BF|=6，

则p=________.

14.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F与双曲线－y2=1的右焦点重合，若A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|=3，则直线AF的斜率为________.

15.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.若直线AF的斜率k=－，则线段PF的长为         .

16.如果点P1，P2，P3，…，P10是抛物线y2=2x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，…，x10，F是抛物线的焦点，若x1＋x2＋x3＋…＋x10=5，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P10F|=      .

0.答案解析

1.答案为：D；

解析：抛物线y=2x2的标准方程为x2=y，其准线方程为y=－.

2.答案为：D；

解析：由题意知双曲线的焦点为(－，0)，(，0).

设抛物线C的方程为y2=±2px(p＞0)，则=，所以p=2，

所以抛物线C的方程为y2=±4x.故选D.

3.答案为：D；

解析：抛物线x2=4y的准线方程为y=－1，根据抛物线定义可知，5=n＋1，得n=4，故选D.

4.答案为：B；

解析：将y=1代入y2=4x可得x=，即A（，1）.由题可知，直线AB经过焦点F(1,0)，

所以直线AB的斜率k==－，故选B.

5.答案为：B；

解析：由抛物线y2=4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x=－1，

由抛物线定义可知|PA|=|PF|=4，所以点P的坐标为(3,2)，

因此点A的坐标为(－1，2)，所以kAF==－，

所以直线AF的倾斜角等于，故选B.

6.答案为：B；

解析：∵直线MF的斜率为，MN⊥l，∴∠NMF=60°，又|MF|=|MN|，且|NF|=4，

∴△NMF是边长为4的等边三角形，∴M到直线NF的距离为2.故选B.

7.答案为：B；

解析：设圆心为M，过点A，B，M分别作准线 l的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，

则|MM1|=(|AA1|＋|BB1|).由抛物线定义可知|BF|=|BB1|，|AF|=|AA1|，

∴|AB|=|BB1|＋|AA1|，|MM1|=|AB|，即圆心M到准线l的距离等于圆的半径，

故以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切.

8.答案为：B；

解析：由题可知|MF|=2，设点N到准线的距离为d，由抛物线的定义可得d=|NF|，

因为|NF|=|MN|，所以cos∠NMF===，所以sin∠NMF==，

所以点F到MN的距离为|MF|sin∠NMF=2×=1，故选B.

9.答案为：D；

解析：∵直线l的方程为x－y－a=0，∴直线l的倾斜角为60°，

∵直线l与抛物线x2=4y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，

且|MN|=，∴|PQ|=sin 60°=8.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程，

得得x2－4x＋4a=0，由Δ＞0得a＜3，

∴x1＋x2=4，x1x2=4a，

∴|PQ|=·=8，即48－16a=16，∴a=2，故选D.

10.答案为：C；

解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，

则直线MD的方程为x=y＋2，代入抛物线C：y2=4x，

整理得y2－y－8=0，

所以y1y3=－8，即y3=－，从而x3=，故P，

同理可得Q，因为M，E，N三点共线，所以=，

得y1y2=－16，所以k2==，k1===，所以=2.故选C.

11.答案为：C；

解析：如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1,0)，

因为∠MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|=|EF|=|EN|，

又E在抛物线C上，所以EN⊥l，E，所以N(－1，)，M(0，2)，

所以|NF|=，|NM|=，所以△MNF的面积为，故选C.

12.答案为：A；

解析：不妨设M(m，)(m＞0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为，

因为|MO|=|MF|=，所以解得m=，p=2，

所以=，=，所以·=－2=－.故选A.

13.答案为：4.

解析：法一：设直线AB的倾斜角为α，分别过A，B作准线l的垂线AA′，BB′，

垂足分别为A′，B′，则|AA′|=6，|BB′|=3，过点B作AA′的垂线BC，垂足为C，

则|AC|=3，|BC|=6，∠BAC=α，

所以sin α==，所以|AB|==9，解得p=4.

法二：设直线AB的倾斜角为α，不妨设A在x轴上方，B在x轴下方，

则|AF|=，|BF|=，则有=2×，

解得cos α=，又|AF|==6，所以p=4.

法三：由结论＋=，得＋=，解得p=4.

14.答案为：－2.

解析：∵双曲线－y2=1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y2=8x，

∵|AF|=3，∴xA＋2=3，得xA=1，代入抛物线方程可得yA=±2.

∵点A在第一象限，∴A(1，2)，∴直线AF的斜率为=－2.

15.答案为：6；

解析：由抛物线方程为y2=6x，所以焦点坐标F，准线方程为x=－，

因为直线AF的斜率为－，

所以直线AF的方程为y=－，画图象如图.

当x=－时，y=3，所以A，

因为PA⊥l，A为垂足，所以点P的纵坐标为3，可得点P的坐标为，

根据抛物线的定义可知|PF|=|PA|=－=6.

16.答案为：10.

解析：由抛物线的定义可知，抛物线y2=2px(p>0)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离

|PF|=x0＋，在y2=2x中，p=1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|=x1＋x2＋…＋x10＋5p=10.