新高考2022年高考数学一轮课时跟踪50《双曲线》练习题

这是一份新高考2022年高考数学一轮课时跟踪50《双曲线》练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y=－2x，则该双曲线的离心率是( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \r(3) C.eq \r(5) D.2eq \r(3)
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y2=16x的准线上，且双曲线的一条渐近线过点(eq \r(3)，3)，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,20)=1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)=1 C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)=1 D.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,4)=1
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,1－a2)=1(0＜a＜1)的离心率为eq \r(2)，则a的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(3),3)
已知F是双曲线C：x2－eq \f(y2,3)=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,2)
过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2=a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2 D.eq \r(5)
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \r(5)，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)=1 B.eq \f(x2,4)－y2=1 C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)=1 D.x2－eq \f(y2,4)=1
已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2=1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|=( )
A.1 B.2 C.4 D.eq \f(1,2)
设F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A.x±eq \r(2)y=0 B.eq \r(2)x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0
双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1=0垂直，F1，F2为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F1A|=2|F2A|，则cs∠AF2F1等于( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(5),4) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(1,4)
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \f(3,2)，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.
若△FOM的面积为eq \r(5)，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为( )
A.x2－eq \f(4y2,5)=1 B.eq \f(x2,2)－eq \f(2y2,5)=1 C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)=1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)=1
过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，
与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥eq \f(3,5)|CD|，则双曲线离心率取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，＋∞)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,4)))
若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5),2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(7),2))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)，＋∞))
二、填空题
在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py
(p＞0)交于A，B两点.若|AF|＋|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2)=1(a＞0)和抛物线y2=8x有相同的焦点，则双曲线的离心率为________.
已知F1(－c,0)、F2(c,0)为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过双曲线C的左焦点的直线与双曲线C的左支交于Q，R两点(Q在第二象限内)，连接RO(O为坐标原点)并延长交C的右支于点P，若|F1P|=|F1Q|，∠F1PF2=eq \f(2,3)π，则双曲线C的离心率为 .
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为 .
\s 0 答案解析
答案为：C；
解析：由双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y=±eq \f(b,a)x，且双曲线的一条渐近线方程为y=－2x，得eq \f(b,a)=2，则b=2a，则双曲线的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(a2＋b2),a)=eq \f(\r(a2＋4a2),a)=eq \f(\r(5)a,a)=eq \r(5).故选C.
答案为：C；
解析：双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y=±eq \f(b,a)x，
由双曲线的一条渐近线过点(eq \r(3)，3)，可得eq \f(b,a)=eq \r(3)，①
由双曲线的一个焦点(－c,0)在抛物线y2=16x的准线x=－4上，可得c=4，
即有a2＋b2=16，②
由①②解得a=2，b=2eq \r(3)，则双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)=1.故选C.
答案为：B；
解析：∵c2=a2＋1－a2=1，∴c=1，又eq \f(c,a)=eq \r(2)，∴a=eq \f(\r(2),2)，故选B.
答案为：D；
解析：法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x=2时，代入双曲线C的方程，
得4－eq \f(y2,3)=1，解得y=±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，
又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF=eq \f(1,2)|PF|·|AP|=eq \f(1,2)×3×1=eq \f(3,2).
法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x=2时，代入双曲线C的方程，
得4－eq \f(y2,3)=1，解得y=±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以eq \(AP,\s\up7(―→))=(1,0)，
eq \(PF,\s\up7(―→))=(0，－3)，所以eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(PF,\s\up7(―→))=0，所以AP⊥PF，所以S△APF=eq \f(1,2)|PF|·|AP|=eq \f(1,2)×3×1=eq \f(3,2).
答案为：A；
解析：连接OM.由题意知OM⊥PF，且|FM|=|PM|，∴|OP|=|OF|，
∴∠OFP=45°，∴|OM|=|OF|·sin 45°，即a=c·eq \f(\r(2),2)，∴e=eq \f(c,a)=eq \r(2).故选A.
答案为：D；
解析：因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|=b，|OA|=a，所以ab=2，
又双曲线C的离心率为eq \r(5)，所以 eq \r(1＋\f(b2,a2))=eq \r(5)，即b2=4a2，解得a2=1，b2=4，
所以双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,4)=1，故选D.
答案为：A；
解析：如图，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，
可知|PF1|=|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|=2，
从而|QF2|=2，在△F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|=1.故选A.
答案为：B；
解析：假设点P在双曲线的右支上，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝6a，,|PF1|－|PF2|＝2a，))∴|PF1|=4a，|PF2|=2a.
∵|F1F2|=2c＞2a，∴△PF1F2最短的边是PF2，
∴△PF1F2的最小内角为∠PF1F2.
在△PF1F2中，由余弦定理得4a2=16a2＋4c2－2×4a×2c×cs 30°，
∴c2－2eq \r(3)ac＋3a2=0，∴e2－2eq \r(3)e＋3=0，∴e=eq \r(3)，∴eq \f(c,a)=eq \r(3)，
∴c2=3a2，∴a2＋b2=3a2，∴b2=2a2，
∴eq \f(b,a)=eq \r(2)，∴双曲线的渐近线方程为eq \r(2)x±y=0，故选B.
答案为：C；
解析：因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1=0垂直，所以b=2a.又|F1A|=2|F2A|，
且|F1A|－|F2A|=2a，所以|F2A|=2a，|F1A|=4a，而c2=5a2，得2c=2eq \r(5)a，
所以cs∠AF2F1=eq \f(|F1F2|2＋|F2A|2－|F1A|2,2|F1F2||F2A|)=eq \f(20a2＋4a2－16a2,2×2\r(5)a×2a)=eq \f(\r(5),5)，故选C.
答案为：C；
解析：由题意可知e=eq \f(c,a)=eq \f(3,2)，可得eq \f(b,a)=eq \f(\r(5),2)，取一条渐近线为y=eq \f(b,a)x，
可得F到渐近线y=eq \f(b,a)x的距离d=eq \f(bc,\r(a2＋b2))=b，
在Rt△FOM中，由勾股定理可得|OM|=eq \r(|OF|2－|MF|2)=eq \r(c2－b2)=a，
由题意可得eq \f(1,2)ab=eq \r(5)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\f(\r(5),2)，,\f(1,2)ab＝\r(5)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\r(5)，))
所以双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)=1.故选C.
答案为：B；
解析：将x=c代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1得y=±eq \f(b2,a)，不妨取Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，
所以|AB|=eq \f(2b2,a).将x=c代入双曲线的渐近线方程y=±eq \f(b,a)x，得y=±eq \f(bc,a)，
不妨取Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(bc,a)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(bc,a)))，所以|CD|=eq \f(2bc,a).
因为|AB|≥eq \f(3,5)|CD|，所以eq \f(2b2,a)≥eq \f(3,5)×eq \f(2bc,a)，即b≥eq \f(3,5)c，则b2≥eq \f(9,25)c2，即c2－a2≥eq \f(9,25)c2，
即eq \f(16,25)c2≥a2，所以e2≥eq \f(25,16)，所以e≥eq \f(5,4).
答案为：C；
解析：由条件得|OP|2=2ab.又∵P为双曲线上一点，∴|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a.
又∵c2=a2＋b2≥a2＋eq \f(a2,4)=eq \f(5,4)a2，∴e=eq \f(c,a)≥eq \f(\r(5),2).∴双曲线离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，＋∞)).
答案为：y=±eq \f(\r(2),2)x
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知
|AF|=y1＋eq \f(p,2)，|BF|=y2＋eq \f(p,2)，|OF|=eq \f(p,2)，
由|AF|＋|BF|=y1＋eq \f(p,2)＋y2＋eq \f(p,2)=y1＋y2＋p=4|OF|=2p，得y1＋y2=p.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,x2＝2py))消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2=0，
所以y1＋y2=eq \f(2pb2,a2)，所以eq \f(2pb2,a2)=p，即eq \f(b2,a2)=eq \f(1,2)，故eq \f(b,a)=eq \f(\r(2),2)，
所以双曲线的渐近线方程为y=±eq \f(\r(2),2)x.
答案为：eq \r(2).
解析：易知抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，所以双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2)=1的焦点为(2,0)，
则a2＋2=22，即a=eq \r(2)，所以双曲线的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(2,\r(2))=eq \r(2).
答案为：eq \f(\r(57),6).
解析：如图，设|PF1|=x，则|PF2|=x－2a，作Q关于原点对称的点S，连接PS，RS，SF1.
因为双曲线关于原点中心对称，所以|PO|=|OR|，S在双曲线上，
所以四边形PSRQ是平行四边形，根据对称性知，F2在线段PS上，|F2S|=|QF1|=x，
则∠F1PS=eq \f(2π,3)，根据双曲线的定义，有|F1S|=x＋2a，所以在△PF1S中，
由余弦定理得(x＋2a)2=x2＋(2x－2a)2－2·x(2x－2a)·（- eq \f(1,2)），解得x=eq \f(7,3)a，
所以|PF2|=eq \f(1,3)a，所以在△PF1F2中，
由余弦定理得4c2=（eq \f(7,3)a）2＋（eq \f(1,3)a）2－2×（- eq \f(1,2)）×eq \f(7,3)a×eq \f(1,3)a，整理可得e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(57),6).
答案为：eq \f(5,3)；
解析：由定义，知|PF1|－|PF2|=2a.又|PF1|=4|PF2|，∴|PF1|=eq \f(8,3)a，|PF2|=eq \f(2,3)a.
当P，F1，F2三点不共线时，在△PF1F2中，由余弦定理，
得cs∠F1PF2=eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2·|PF1|·|PF2|)=eq \f(\f(64,9)a2＋\f(4,9)a2－4c2,2·\f(8,3)a·\f(2,3)a)=eq \f(17,8)－eq \f(9,8)e2，
即e2=eq \f(17,9)－eq \f(8,9)cs∠F1PF2.
∵cs∠F1PF2∈(－1,1)，∴e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3))).当P，F1，F2三点共线时，
∵|PF1|=4|PF2|，∴e=eq \f(c,a)=eq \f(5,3)，综上，e的最大值为eq \f(5,3).