新高考2022年高考数学一轮课时跟踪61《古典概型与几何概型》练习题

这是一份新高考2022年高考数学一轮课时跟踪61《古典概型与几何概型》练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
已知函数f(x)=eq \f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )
A.eq \f(7,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(5,9) D.eq \f(2,3)
记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a=(m，n)与向量b=(1,0)的夹角为α，则α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))的概率为( )
A.eq \f(5,18) B.eq \f(5,12) C.eq \f(1,2) D.eq \f(7,12)
长郡中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这三个项目都有人参加的概率为( )
A.eq \f(8,9) B.eq \f(4,9) C.eq \f(2,9) D.eq \f(8,27)
从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,9) D.eq \f(1,8)
在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“lg0.5(4x－3)≥0”发生的概率为( ),
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4),
如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y)，则以x，y,1为边长能构成锐角三角形的概率为( ),
A.1－eq \f(π,4) B.1－eq \f(π,6) C.1－eq \f(π,3) D.eq \f(π,12)
如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP=eq \f(1,3)AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,7) D.eq \f(3,8)
《九章算术》中有如下问题：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步.现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A.eq \f(3π,10) B.eq \f(3π,20) C.1－eq \f(3π,10) D.1－eq \f(3π,20)
在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为eq \f(π,3)，
若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )
A.2－eq \f(3\r(3),π) B.4－eq \f(6\r(3),π) C.4eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),2π) D.4eq \f(2,3)
在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于eq \f(a,2)的概率是( )
A.eq \f(11,12)－eq \f(\r(3),6)π B.1－eq \f(\r(3),6)π C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使eq \r(x2＋y2)≤1成立的概率为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,5)
二、填空题
甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，
记甲、乙的平均成绩分别为eq \(x,\s\up6(－))甲，eq \(x,\s\up6(－))乙，则eq \(x,\s\up6(－))甲＞eq \(x,\s\up6(－))乙的概率是________.
口袋中有形状、大小完全相同的4个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________.
若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3=0与x轴，y轴围成的三角形的面积小于eq \f(9,8)的概率为________.
在不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0，))所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二象限的概率为________.
\s 0 答案解析
答案为：D
解析：对函数f(x)求导可得f ′(x)=x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2=0有两个不等实根，即Δ=4(a2－b2)＞0，即a＞b.又(a，b)的取法共有9种，其中满足a＞b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P=eq \f(6,9)=eq \f(2,3).
答案为：B
解析：由题意知，向量a=(m，n)共有6×6=36(个)，其中满足向量a=(m，n)与向量b=(1,0)的夹角α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，即n＜m的(m，n)可根据n的具体取值进行分类计数：
第一类，当n=1时，m有5个不同的取值；
第二类，当n=2时，m有4个不同的取值；
第三类，当n=3时，m有3个不同的取值；
第四类，当n=4时，m有2个不同的取值；
第五类，当n=5时，m有1个取值.
因此满足向量a=(m，n)与向量b=(1,0)的夹角α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))的(m，n)
共有1＋2＋3＋4＋5=15(个)，所以所求概率为eq \f(15,36)=eq \f(5,12).
答案为：B；
解析：从3名男教师和2名女教师中任选2人参加讲课比赛，基本事件总数为10，
选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数为6，
故选取的2人恰为一男一女的概率为P=eq \f(m,n)=eq \f(6,10)=eq \f(3,5).故选B.
答案为：B；
解析：基本事件总数n=34=81，这三个项目都有人参加所包含的基本事件个数m=Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)=36，
故这三个项目都有人参加的概率为P=eq \f(m,n)=eq \f(36,81)=eq \f(4,9).
答案为：C；
解析：从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有Ceq \\al(7,9)=36种，
从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选3组，有Ceq \\al(3,4)=4种选法，
故这7个数的平均数是5的概率为eq \f(4,36)=eq \f(1,9)，选C.
答案为：D.
解析：因为lg0.5(4x－3)≥0，所以0＜4x－3≤1，即eq \f(3,4)＜x≤1，
所以所求概率P=eq \f(1－\f(3,4),1－0)=eq \f(1,4).故选D.,
答案为：A,解析：连接AC，首先由x＋y＞1得构成三角形的点P在△ABC内，
若构成锐角三角形，则最大边1所对的角α必是锐角，cs α=eq \f(x2＋y2－12,2xy)＞0，
x2＋y2＞1，即点P在以原点为圆心，1为半径的圆外.
∴点P在边AB，BC及圆弧AC围成的区域内.∴所求概率为eq \f(12－\f(π,4)×12,12)=1－eq \f(π,4).故选A.
答案为：A；
解析：设OA=3，则AB=3eq \r(3)，AP=eq \r(3)，由余弦定理可求得OP=eq \r(3)，则∠AOP=30°，
所以扇形AOC的面积为eq \f(3π,4)，又扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为eq \f(\f(3π,4),3π)=eq \f(1,4).
答案为：D；
解析：直角三角形的斜边长为eq \r(82＋152)=17，
设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r=17，解得r=3.∴内切圆的面积为πr2=9π，
∴豆子落在内切圆外的概率P=1－eq \f(9π,\f(1,2)×8×15)=1－eq \f(3π,20).
答案为：B；
解析：设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积
S=24×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)πr2－\f(\r(3),4)r2))=4πr2－6eq \r(3)r2，圆的面积S′=πr2，
所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为eq \f(S,S′)=4－eq \f(6\r(3),π)，故选B.
答案为：B；
解析：如图，正△ABC的边长为a，分别以它的三个顶点为圆心，eq \f(a,2)为半径，
在△ABC内部画圆弧，得到三个扇形，则点P在这三个扇形外，
因此所求概率为eq \f(\f(\r(3),4)a2－\f(1,2)×π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2,\f(\r(3),4)a2)=1－eq \f(\r(3),6)π，故选B.
答案为：B
解析：如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，
使得eq \r(x2＋y2)≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的eq \f(1,4)与x轴正半轴，
y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P=eq \f(\f(π,4),1)=eq \f(π,4).故选B.
答案为：eq \f(2,5).
解析：设污损处的数字为m，由eq \f(1,5)(84＋85＋87＋90＋m＋99)=eq \f(1,5)(86＋87＋91＋92＋94)，
得m=5，即当m=5时，甲、乙两人的平均成绩相等.m的取值有0,1,2,3，…，9，
共10种可能，其中，当m=6,7,8,9时，eq \(x,\s\up6(－))甲＞eq \(x,\s\up6(－))乙，故所求概率为eq \f(4,10)=eq \f(2,5).
答案为：eq \f(2,3).
解析：从袋中一次随机摸出2个球，共有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}
6个基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有{1,4}，{2,3}，
{2,4}，{3,4}，共4个，因此摸出的2个球的编号之和大于4的概率为eq \f(4,6)=eq \f(2,3).
答案为：eq \f(2,3).
解析：对于直线方程(m＋2)x＋(3－m)y－3=0，令x=0，得y=eq \f(3,3－m)；令y=0，得x=eq \f(3,m＋2).
由题意可得eq \f(1,2)·|eq \f(3,m＋2)|·|eq \f(3,3－m)|＜eq \f(9,8)，因为m∈(0,3)，所以解得0＜m＜2，
由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是eq \f(2,3).
答案为：eq \f(2,9).
解析：画出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0，))表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，
因为S△ABC=eq \f(1,2)×3×eq \f(3,2)=eq \f(9,4)，S△AOD=eq \f(1,2)×1×1=eq \f(1,2)，
所以点P恰好落在第二象限的概率为 SKIPIF 1 < 0 =eq \f(\f(1,2),\f(9,4))=eq \f(2,9).