2022年新高考一轮复习考点精选练习17《解三角形》（含详解）

2022年新高考一轮复习考点精选练习17

《解三角形》

一、选择题

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足：

sin B(1＋2cos C)=2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　)

A.a=2b          B.b=2a      C.A=2B          D.B=2A

2.地面上有两座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为(　 　)

A.50 m,100 m      B.40 m,90 m       C.40 m,50 m       D.30 m,40 m

3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，(b＋c＋a)(b＋c－a)=3bc，则△ABC的形状为(　 　)

A.直角三角形          B.等腰非等边三角形

C.等边三角形           D.钝角三角形

4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2＋c2－a2=bc，且b=a，

则下列关系一定不成立的是(　　)

A.a=c　         B.b=c        C.2a=c          D.a2＋b2=c2

5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=b，A=2B，则cosB=(　　)

A.       B.       C.        D.

6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2=ab=，则△ABC的面积为(　　)

A.          B.             C.           D.

7.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)

A.10海里      B.10海里    C.20海里      D.20海里

8.已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB=AD，BD=AD，BC=2AD，则sin C的值为(　　)

A.        B.         C.        D.

9.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(　 　)

A.a km        B.a km       C.a km       D.2a km

10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB－bcosA=c，

则tan(A－B)的最大值为(　 　)

A.       B.        C.          D.

11.线段的黄金分割点的定义：若点C在线段AB上，且满足AC2=BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点.在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点，利用上述结论，可以求出cos 36°=(　　)

A.      B.      C.        D.

12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2＋c2－a2=bc，·＞0，a=，则b＋c的取值范围是(　  )

A.       B.      C.        D.

二、填空题

13.已知△ABC中，交BC于D，则AD的长为          .

14.已知△ABC中，AB=AC=4，BC=2.点D为AB延长线上一点，BD=2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC=________.

15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(bcos A＋acos B)=c2，b=3，3cos A=1，则a的值为________.

16.在△ABC中，A=，b2sin C=4sin B，则△ABC的面积为________.

17.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC=135°.若山高AD=100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为       m/s(精确到0.1).

18.若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B=    ；取值范围是       .

0.答案解析

1.答案为：A；

解析：因为A＋B＋C=π，sin B(1＋2cos C)=2sin Acos C＋cos Asin C，

所以sin(A＋C)＋2sin Bcos C=2sin Acos C＋cos Asin C，

所以2sin B cos C=sin Acos C.

又cos C≠0，所以2sin B=sin A，所以2b=a，故选A.

2.答案为：B；

解析：设高塔高H m，矮塔高h m，在O点望高塔塔顶的仰角为β.

则tanα=，tan=，根据三角函数的倍角公式有=.①

因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，

所以在O点望矮塔塔顶的仰角为－β，

由tanβ=，tan=，得=.②

联立①②解得H=90，h=40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.

3.答案为：C；

解析：∵=，∴=，∴b=C.

又(b＋c＋a)(b＋c－a)=3bc，∴b2＋c2－a2=bc，∴cosA===.

∵A∈(0，π)，∴A=，∴△ABC是等边三角形.

4.答案为：B

解析：由余弦定理，得cos A===，则A=30°.又b=a，

由正弦定理得sin B=sin A=sin 30°=，所以B=60°或120°.

当B=60°时，△ABC为直角三角形，且2a=c，可知C，D成立；

当B=120°时，C=30°，所以A=C，即a=c，可知A成立.故选B.

5.答案为：B.

解析：由正弦定理，得sinA=sinB，

又A=2B，所以sinA=sin2B=2sinBcosB，所以cosB=.

6.答案为：B；

解析：依题意得cos C==，C=60°，

因此△ABC的面积等于absin C=××=.

7.答案为：A；

解析：画出示意图如图所示，易知，在△ABC中，AB=20海里，∠CAB=30°，

∠ABC=40°＋65°=105°，∴∠ACB=45°，

根据正弦定理得=，解得BC=10(海里).

8.答案为：A；

解析：设AB=AD=2a，则BD=a，则BC=4a，

所以cos∠ADB===，所以cos∠BDC==－，

整理得CD2＋3aCD－10a2=0，解得CD=2a或者CD=－5a(舍去).

故cos C===，而C∈，故sin C=.故选A.

9.答案为：B；

解析：由题图可知，∠ACB=120°，由余弦定理，得AB2=AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB

=a2＋a2－2·a·a·=3a2，解得AB=a(km).

10.答案为：A；

解析：由acosB－bcosA=c及正弦定理可得，

sinA·cosB－sinBcosA=sinC=sin(A＋B)=sinAcosB＋cosAsinB，

即sinAcosB=sinBcosA，得tanA=5tanB，从而可得tanA＞0，tanB＞0，

∴tan(A－B)===≤=，

当且仅当=5tanB，即tanB=时取得等号，

∴tan(A－B)的最大值为，故选A.

11.答案为：B；

解析：不妨设AB=2，利用黄金分割点的定义得AD=－1，易知∠A=∠ABD=36°，

故AD=BD=－1.在△ABD中，cos 36°==，故选B.

12.答案为：B；

解析：由b2＋c2－a2=bc得，cosA==，

∵0<A<π，则A=，由·＞0知，B为钝角，

又=1，则b=sinB，c=sinC，b＋c=sinB＋sinC

=sinB＋sin=sinB＋cosB=sin，

∵＜B＜，∴＜B＋＜，

∴＜sin＜，b＋c∈.

二 、填空题

13.答案为： ;

14.答案为：；.

解析：由余弦定理得cos∠ABC==，∴cos∠CBD=－，sin∠CBD=，

∴S△BDC=BD·BC·sin∠CBD=×2×2×=.

又cos∠ABC=cos 2∠BDC=2cos2∠BDC－1=，0＜∠BDC＜，∴cos∠BDC=.

15.答案为：3.

解析：由正弦定理可得2(sin Bcos A＋sin Acos B)=csin C，

∵2(sin Bcos A＋sin Acos B)=2sin(A＋B)=2sin C，∴2sin C=csin C，

∵sin C＞0，∴c=2，

由余弦定理得a2=b2＋c2－2bccos A=22＋32－2×2×3×=9，∴a=3.

16.答案为：2

解析：因为b2sin C=4sin B，所以b2c=4b，即bc=4，

故S△ABC=bcsin A=×4×=2.

17.答案为：22.6；

解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，

所以∠BAD=60°，∠CAD=45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC=14v.

在Rt△ADB中，AB===200.

在Rt△ADC中，AC===100.

在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，

所以(14v)2=(100)2＋2002－2×100×200×cos135°，

所以v=≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.

18.答案为：60°，(2，＋∞).

解析：△ABC的面积S=acsinB=(a2＋c2－b2)=×2accosB，所以tanB=，

因为0°<∠B<180°，所以∠B=60°.因为∠C为钝角，所以0°<∠A<30°，

所以0<tanA<，所以====＋>2，

故的取值范围为(2，＋∞).