初中数学人教版七年级上册4.3.1 角同步训练题

这是一份初中数学人教版七年级上册4.3.1 角同步训练题，共16页。试卷主要包含了知识点，考点点拨与训练等内容，欢迎下载使用。

专题4.3 角
典例体系(39页)

一、知识点
1. 角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。
2.角的表示：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
3.用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°
4.角的度量

角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。
把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。
1°=60’，1’=60”
5.角的性质
(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
(2)角的大小可以度量，可以比较
(3)角可以参与运算。
6.角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
7.余角和补角
①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°
②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°
③同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等。
二、考点点拨与训练
考点1：钟面上的角度计算
典例：(2020·福建宁化·初一期末)上午时，钟表的时针与分针的夹角为( )
A． B． C． D．
方法或规律点拨
此题考察的是求钟表的分针与时针的夹角问题，掌握钟表的特征和周角的定义是解决此题的关键．
巩固练习
1．(2020·全国单元测试)设时钟的时针与分针所成角是，则正确的说法是( )
A．八点一刻时，是平角 B．十点五分时，是锐角
C．十一点十分时，是钝角 D．十二点一刻时，是直角
2．(2020·内蒙古额尔古纳·期末)在上午八点半钟的时候，时针和分针所夹的角度是( )
A．85° B．75° C．65° D．55°
3．(2021·湖南长沙·明达中学月考)若钟表分针走30分钟，则钟表的时针转 ( )
A． B． C． D．
4．(2020·浙江青田·初一期末)上午，时钟上分针与时针之间的夹角为( )
A． B． C． D．
5．(2020·福建宁化·期中)某校七年级在下午5：00开展“阳光体育”活动，下午5：00时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于_______度．
6．(2020·浙江松阳·期末)上午8：25时，时钟的时针和分针的夹角(小于平角的角)度数是_______．
7．(2020·全国单元测试)由2点30分到2点55分，时钟的时针旋转了________度，分针旋转了________度，此刻时针与分针的夹角是_________度
8．(2020·全国单元测试)时钟的分针从4点整的位置起，顺时针方向转_______度时，分针才能第一次与时针重合．
10．(2020·湖北黄石·初一期末)如图，上午6：30时，时针和分针所夹锐角的度数是_____．

11．(2020·全国单元测试)钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成的角？分别是几点几分？
考点2：方位角及其应用
典例：(2020·全国单元测试)如图所示，点表示城，点表示城．

(1)如果城在城的南偏西方向，请画出从城到城方向的射线；
(2)如果城在城的北偏东方向，在城的南偏东方向，请确定城的位置．(用点表示)
要求：不写画法，保留画图痕迹，写出结论．
方法或规律点拨
此题考查的是根据方位角画图，掌握方位角的定义是解决此题的关键．
巩固练习
1．(2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考)如图所示，射线OP表示的方向是( )

A．东偏北65° B．北偏东25° C．北偏西65° D．北偏东65°
2．(2019·河北涿鹿·期末)如图，点A位于点O的

A．南偏东35°方向上 B．北偏西65°方向上
C．南偏东65°方向上 D．南偏西65°方向上
3．(2020·全国单元测试)射线位于北偏东方向，射线位于南偏东方向，则的度数是( )
A． B． C． D．
4．(2020·哈尔滨工业大学附属中学校初一开学考试)某人在点处看点在北偏东的方向上，看点在北偏西的方向上，则的度数为( )
A． B． C． D．
5．(2020·全国课时练习)如图所示，由点A测点B的方向是( )

A．南偏东38° B．南偏东52°
C．北偏西38° D．北偏西52°
6．(2020·全国课时练习)若点B在点A北偏东30°处，点C在点A南偏东40°处，那么的度数是( )
A．70° B．80°
C．100° D．110°
7．(2020·山东单县·初一期末)如图，是表示北偏东方向的一条射线，则的反向延长线表示的是( )

A．北偏西方向上的一条射线 B．北偏西方向上的一条射线
C．南偏西方向上的一条射线 D．南偏西方向上的一条射线
8．(2020·全国单元测试)若从点看点的方向是南偏东，那么从点看点的方向是_______．
9．(2020·全国单元测试)、两个城市的位置如图所示，那么城在城的_______方向．

10．(2020·全国单元测试)根据图填空：点A在点O的______________方向，点C在点O的______________方向．

11．(2020·辽宁北镇·期末)如图，直线与相交于点，，且平分，若，则的度数为_____．

考点3：角的运算
典例：(2020·巨野县育才实验学校初一月考)计算：
(1)
(2) 180º-(34º55′+21º33′)
方法或规律点拨
本题考查了度分秒的换算：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
巩固练习
1．(2020·全国初一课时练习)计算：的值为( )
A． B． C． D．
2．(2020·全国单元测试)(1)已知，，则_______；
(2)已知，，则_______．
3．(2020·全国单元测试)计算：________________；________________．
4．(2020·湖南雨花·初一期末)计算：48°37'+53°35'＝_____．
5．(2020·全国初一课时练习)计算：90°﹣18°35'＝__．
6．(2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末)计算30°52′+43°50′=______
7．(2020·全国单元测试)(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
考点4：与三角板有关的角度计算
典例：(2020·湖南天心·长郡中学初一期末)如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板(∠D＝30°)的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方．

(1)将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分∠BOC．
①此时t的值为　 ；(直接填空)
②此时OE是否平分∠AOC？请说明理由；
(2)在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由；
(3)在(2)问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由．
方法或规律点拨
本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，关键是根据线的运动得到角的等量关系，然后根据题意列出式子计算即可．
巩固练习
1．(2020·全国单元测试)用两个三角板(一个是，一个是)不可能画出的角度是( )
A． B． C． D．
2．(2020·山东莘县·期末)如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合与点O，若∠DOC＝28°，则∠AOB的度数为(　　)

A．62° B．152° C．118° D．无法确定
3．(2020·湖北荆州·月考)如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是(　　)

A．30° B．25°
C．20° D．15°
4．(2020·山西浑源·初一期末)如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1=27°40′，∠2的大小是( )

A．27°40′ B．57°40′
C．58°20′ D．62°20′
5．(2020·全国初一课时练习)如图，将两块三角尺AOB与COD的直角顶点O重合在一起，若∠AOD=4∠BOC，OE为∠BOC的平分线，则∠DOE的度数为(　　)

A．36° B．45° C．60° D．72°
6．(2020·广西平桂·期末)如图，将一副三角板叠放一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOD +∠COB的度数为___________度．

7．(2020·广东省汕头市潮阳区铜盂中学初三月考)如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，且∠AOB＝155°，则∠COD＝_____．

8．(2020·全国单元测试) 将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若∠AOD=127°，则∠BOC=_______．

9．(2020·全国单元测试)如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝_____．

10．(2019·广东郁南·初一期末)如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．

(1)判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；
(2)若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；
(3)猜想：∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系，并说明理由．
11．(2020·全国初二课时练习)将一副三角尺叠放在一起：

(1)如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE的度数；
(2)如图②，若∠ACE＝2∠BCD，请求出∠ACD的度数．
12．(2019·河北涿鹿·期末)把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．
(1)问题发现：如图①，当OB平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是 ；
(2)拓展探究：如图②，当OB不平分∠COD时，∠AOD+∠BOC的度数是多少？
(3)问题解决：当∠BOC的余角的4倍等于∠AOD时，求∠BOC的度数．

13．(2020·广东东莞·初一期末)直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．
(1)在图1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝　 　；
(2)在图1中，若∠BCE＝α，∠ACF＝　 　(用含α的式子表示)；
(3)将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，若∠BCE＝150°，试求∠ACF与∠ACE的度数．

考点5：与角平分线有关的证明与计算
典例：(2020·福建泉州五中月考)(问题提出)已知∠AOB＝80.5°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝3∠BOC(∠BOC＜50°)，求∠BOC的度数．

(问题思考)聪明的小明用分类讨论的方法解决．
(1)当射线OC在∠AOB的内部时，①若射线OD在∠AOC内部，如图1，可求∠BOC＝16.1°；问：当射线OC在∠AOB的内部时，②若射线OD在∠AOB外部，如图2，请你求出∠BOC的度数
(问题延伸)
(2)当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数
方法或规律点拨
本题主要考查角的和差倍分关系，关键是根据题意得到角之间的等量关系，然后列出算式进行求解即可．
巩固练习
1．(2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考)如图所示，，，平分，则的度数为( )

A． B． C． D．
2．(2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考)在同一平面内，若∠AOB＝90º，∠BOC＝40º，则∠AOB的平分线与∠BOC 的平分线的夹角等于( )．
A．65º B．25º C．65º或25º D．60º或20º
3．(2020·福建宁化·期中)如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于( ).

A．35° B．70°
C．110° D．145°
4．(2020·湖南天心·长郡中学初一期末)如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∠MON等于(　　)

A．90° B．135° C．150° D．120°
5．(2020·山东莘县·期末)如图，OA⊥OB，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，则∠BOD＝_____度．

6．(2020·全国单元测试)如图所示，已知，，成一直线，，且，，则_______．

7．(2020·全国单元测试)如图所示，是的平分线，是的平分线，是的平分线，那么_______．

8．(2020·陕西神木·初一期末)如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线．
(1)若∠AOC=120°，∠BOC=30°，求∠DOE的度数；
(2)若∠AOB=90°，∠BOC=α，求∠DOE的度数．

9．(2020·全国单元测试)如图所示，平分，、是的三等分线．

(1)如果，求的度数；
(2)如果，，求的度数．
考点6：与余角(补角)有关的证明与计算
典例：(2020·内蒙古海勃湾·初一期末)点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处．射线OC平分∠MOB．

(1)如图1，若∠AOM=30°，求∠CON的度数；
(2)在图1中，若∠AOM=a，直接写出∠CON的度数(用含a的代数式表示)；
(3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在射线OB上方，另一边ON在直线AB的下方．
①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②当∠AOC=3∠BON时，求∠AOM的度数．
方法或规律点拨
本题主要考查角度间的计算、余角补角的性质及角平分线的性质与一元一次方程的应用，综合性大，需综合运用所学知识求解.
巩固练习
1．(2020·湖北曾都·期末)如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD．如果∠1=35°，那么∠2的度数是(　　)

A．35° B．45° C．55° D．65°
2．(2020·山东莘县·期末)如图，直线BC与MN相交于点O，AO丄OC，OE平分∠BON，若∠EON=20°，求∠AOM 的度数．

3．(2020·福建宁化·期中)已知为直线上的一点，是直角，平分．
(1)如图1，若=°，则= °，与的数量关系为 ．
(2)当射线绕点逆时针旋转到如图2的位置时，(1)中与的关系是否仍然成立？如成立，请说明理由．
(3)在图3中，若=°，在的内部是否存在一条射线，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．

4．(2020·广西陆川·期末)如图，OD、OC、OB、OA分别表示东西南北四个方向，OM的方向是西偏北50°，OE的方向是北偏东15°，OE是∠MOG的平分线，∠MOH=∠NOH=90°.
(1)OH的方向是_______，ON的方向是________；
(2)通过计算，判断出OG的方向；
(3)求∠HOG的度数.

5．(2020·广西陆川·期末)一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角的余角和补角的度数．
6．(2020·全国单元测试)如果一个角的余角是这个角的，求这个角的度数．
7．(2020·全国单元测试)如图所示，已知、、在一直线上，、分别是和的角平分线．

(1)求的度数；
(2)分别写出的余角和补角．
8．(2020·全国单元测试)如图所示，已知点A、O、E在同一直线上，，，．
(1)写出图中的一对互余的角____________，一对互补的角______________．
(2)画出的角平分线．
(3)______________．

9．(2020·云南镇康·初一期末)一个角的余角比这个角的补角的还小10°，求这个角．
10．(2019·贵州花溪·初一学业考试)互补的两个角之差是，求其中较小角的余角度数．
11．(2020·苏州高新区实验初级中学初一期末)如图，O为直线AB上一点，∠AOC=48°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
(1)图中有　 　个小于平角的角；
(2)求出∠BOD的度数；
(3)试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．

12．(2020·江西育华学校初一期末)如图，已知，是的平分线．
(1)如图1，当与互补时，求的度数；
(2)如图2，当与互余时，求的度数．

13.(2020·广东郁南·初一期末)如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD.

(1)若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度数.
(2)若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度数.
(3)若∠AOC＝∠BOD＝α，当α为多少度时，∠AOD和∠BOC互余？并说明理由.
14．(2020·河南渑池·初一期末)点在直线上，射线上的点在直线上方，

(1)如图(1)，求的度数；
(2)如图(2)，点在直线上方，与互余，平分，求的度数；
(3)在(2)的条件下，点在直线下方，平分，若与互补，求的度数．
15．(2020·河北泊头·初一期末)如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD.
(1)若∠AOC＝70°，求∠DOE和∠EOF的度数；
(2)请写出图中∠AOD的补角和∠AOE的余角．

16．(2020·福建福州·初一月考)如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起．
(1)比较∠EOM与∠FON的大小，并写出理由；
(2)求∠EON+∠MOF的度数．